2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(理)讲义：第三篇 专题四 第二讲 椭圆、双曲

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第二讲椭圆、双曲线、抛物线
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以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点．
考点一圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
（1)椭圆：｜PF1｜＋|PF2｜＝2a(2a>|F1F2|）；
(2)双曲线:｜|PF1｜－｜PF2||＝2a（2a<｜F1F2｜）;
（3)抛物线：|PF｜＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l 于M。

2．焦点三角形的结论
椭圆中，焦点三角形的面积S△F1PF2＝b2·tan错误!;双曲线中，焦点三角形的面积S△F1PF2＝错误!(其中P为椭圆(双曲线）上的点，F1,F2分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，θ＝∠F1PF2)．
1．（2019·江西上饶联考）过点A(3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆方程为( )
A。

错误!＋错误!＝1 B.错误!＋错误!＝1
C.错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1
[解析］解法一：设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a〉
b〉0),则a2－b2＝c2＝5，且错误!＋错误!＝1，解方程组错误!得a2＝15，b2＝10，故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
解法二：椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标为(±错误!，0),设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1(λ〉0)，代入(3,－2），得错误!＋错误!＝1（λ〉0），解得λ＝10或λ＝－2(舍去），故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
［答案] A
2．（2019·河南安阳一模）设双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0)的虚轴长为4,一条渐近线的方程为y＝错误!x，则双曲线C的方程为( ）
A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1
C。

错误!－错误!＝1 D．x2－错误!＝1
［解析] 由双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝错误! x＝错误!x，所以a＝4，所以双曲线C的方程为错误!－错误!＝1,故选A.
[答案］A
3．(2019·湖南湘东六校联考）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为（)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝－4y D．x2＝－8y
[解析］依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py（p>0），则错误!＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y,故选C.
［答案] C
4．(2019·长春检测）已知O为坐标原点,设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则｜OH|＝( )
A．1 B．2
C．4 D。

错误!
[解析] 如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q,可知｜PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义,得|PF2|－｜PF1|＝2，从而|QF2｜＝2，在△F1QF2中，易知OH 为中位线，故|OH|＝1.故选A.
[答案] A
5．(2019·全国卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若｜AF2|＝2｜F2B|,|AB|＝｜BF1|，则C的方程为( )
A。

错误!＋y2＝1 B.错误!＋错误!＝1
C.错误!＋错误!＝1
D.错误!＋错误!＝1
［解析] 设｜F2B｜＝x（x>0），则｜AF2｜＝2x，｜AB｜＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－（|AB|＋|BF1|）＝4a－6x。

由椭圆的定义知｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝4x，所以｜
AF1｜＝2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1｜2＝｜BF2｜2＋|F1F2｜2－2|F2B|·｜F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1，①
在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2｜2－2｜AF2|·｜F1F2|cos∠AF2F1，
即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②
由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!,a＝错误!,
所以b2＝a2－c2＝2。

所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

故选B。

［答案］B
6．（2019·郑州一中摸底测试）从抛物线y＝错误!x2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且｜PM｜＝5.设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．
[解析］由题意，得x2＝4y，则抛物线的准线方程为y ＝－1。

从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设P（x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，所以|x0|＝4，所以S△MPF＝错误!×｜PM|×｜x0｜＝错误!×5×4＝10.
[答案] 10
圆锥曲线的定义、标准方程的关注点（1）准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2）求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结
合草图确定．
（3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．（4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用,根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．
考点二圆锥曲线的几何性质
1．在椭圆中:a2＝b2＋c2，离心率为e＝错误!＝错误!。

2．在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝c
a
＝错误!.
3．双曲线错误!－错误!＝1(a>0,b〉0）的渐近线方程为y ＝±错误!x,双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0）的渐近线方程为y＝±错误!x。

【例1】（1)(2019·宁夏银川二模）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0)的左、右顶点分别为M，N，若在椭圆C 上存在点H，使k MH k NH∈错误!,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A.错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
（2）(2019·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B两点．若错误!＝错误!,错误!·错误!＝0，则C的离心率为________．
［解析] （1)设H (x 0，y 0）,则y 错误!＝错误!(a 2
－x 错误!)，而M （－a,0)，N （a,0），∴k MH ·k NH ＝错误!·错误!＝错误!＝－错误!∈错误!,∴错误!∈错误!。

∴e ＝错误!∈错误!.故选A 。

（2)解法一:如图，由F 1A →
＝错误!知A 为线段F 1B 的中点， ∵O 为线段F 1F 2的中点，∴OA ∥F 2B ， ∵错误!·错误!＝0，∴F 1B ⊥F 2B ， ∴OA ⊥F 1A 且∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∵∠BOF 2＝∠AOF 1,∴∠BOF 2＝∠OF 2B ，
又易知|OB |＝|OF 2|＝c ，∴△OBF 2为正三角形， 可知错误!＝tan60°＝错误!,∴e ＝错误!＝错误!＝2。

解法二:双曲线错误!－错误!＝1(a 〉0,b 〉0)的渐近线方程为y ＝±错误!x ,
∵错误!·错误!＝0，∴F 1B ⊥F 2B ,
∴点B 在⊙O ：x 2
＋y 2
＝c 2
上，如图所示，
不妨设点B在第一象限，由错误!得点B(a,b），
∵错误!＝错误!，∴点A为线段F1B的中点，
∴A错误!，将其代入y＝－错误!x得错误!＝错误!×错误!.
解得c＝2a,故e＝错误!＝2。

［答案］（1）A （2)2
应用圆锥曲线性质的2个要点
（1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组）或不等式（组），再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组）或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
（2)求双曲线渐近线方程关键在于求错误!或错误!的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到．
1．（2019·河北衡水中学五调)与椭圆错误!＋y2＝1有相同的焦点且与直线l:x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为（)
A.
2
2
B.错误!
C.12 D 。

15
[解析］ 因为所求椭圆与椭圆x 2
2＋y 2
＝1有相同的焦点，
所以可设所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝1(a >1)，联立得方程组错误!⇒（2a 2
－1)x 2
＋6a 2
x ＋10a 2
－a 4
＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4
－4（2a 2
－1）(10a 2
－a 4
)＝0,化简得a
4
－6a 2
＋5＝0,即a 2
＝5或a 2
＝1（舍)．则a ＝错误!.又c ＝1，所以e ＝错误!＝错误!＝错误!.故选B.
[答案] B
2．(2019·广东惠州一调）已知F 1，F 2是双曲线错误!－错误!
＝1（a >0,b 〉0）的两个焦点,过其中一个焦点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点
M 在以线段F 1F 2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是
（ ）
A ．(1，2）
B ．（2，＋∞）
C ．（1,错误!)
D ．(错误!，＋∞)
[解析] 如图，不妨设F 1（0，c )，F 2(0，－c )，则过点
F 1与渐近线y ＝a
b
x 平行的直线为y ＝错误!x ＋c ，由错误!解得错误!
即M 错误!。

因为M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2
＋y 2
＝c 2
内,所以
错误!
2
＋错误!2<c 2，化简得b 2〈3a 2，即c 2－a 2〈3a 2
，即错误!〈4,
解得错误!<2，又双曲线的离心率e ＝错误!〉1，所以双曲线离心率的取值范围是（1,2)．故选A 。

［答案］A
考点三抛物线中的最值问题
求最值问题
主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离；二是把抛物线上的点到抛物线的准线距离转化为抛物线上的点到焦点的距离．在解题时要准确把握题设条件,进行有效转化,探求最值问题．【例2】（1)（2019·山东省实验中学一诊)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，F为焦点，Q为圆C：x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）
A．25－1 B．2错误!－2
C.错误!－1 D。

错误!－2
（2）（2019·陕西咸阳模拟)若点A的坐标是（3,2），F 是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动,为使得|PA｜＋｜PF|取得最小值,则P点的坐标是（）
A．(1,2）B．(2，1)
C．(2,2）D．(0，1)
[解题指导］
[解析] (1)由题意得圆x2＋(y－4）2＝1的圆心A(0,4），半径r＝1，抛物线的焦点F(1，0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝错误!－1＝错误!－1。

选C.
(2）过P作PM⊥l于M,则由抛物线定义知|PM｜＝|PF|，故|PA|＋｜PF|＝|PA|＋｜PM｜.
当A、P、M三点共线时，
|PA｜＋｜PM|最小，此时点P坐标为（2,2），故选C.
[答案] (1）C （2）C
与抛物线最值有关问题的两种转化
（1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．
1．(2019·郑州检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为（）A。

错误! B.错误! C．1 D．2
［解析] 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A 作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB 的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1,则
|MM1｜＝错误!。

因为｜AB｜≤｜AF|＋｜BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF｜＋|BF｜≥6，所以|AA1｜＋｜BB1｜≥6，2|MM1|≥6,｜MM1｜≥3，故点M到x轴的距离d≥2,选D.
[答案］D
2．(2019·石家庄二中月考）已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上,且|AF｜＝4，则|PA｜＋｜PO｜的最小值为（)
A．6 B．2＋4错误!
C．213 D．4错误!
［解析］由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F（－2，0），准线方程为x＝2.设点A的坐标为（x0，y0）,根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4，0），则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，｜PA|＋|PO｜有最小值，且最小值为｜AO′|＝2错误!。

[答案] C
1．（2019·全国卷Ⅱ）若抛物线y2＝2px(p〉0)的焦点
是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点，则p ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
[解析] ∵抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点坐标为错误!， ∴由已知得椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点为错误!， ∴3p －p ＝错误!，又p 〉0,∴p ＝8. [答案] D
2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C :错误!－错误!＝1(a 〉0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆
x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF ｜，则C 的离心率为
（ ）
A.错误! B 。

错误! C ．2 D.错误!
［解析］ 如图，∵|PQ ｜＝｜OF |＝c ，∴PQ 过点错误!.
∴P 错误!.
又∵｜OP ｜＝a ，
∴a 2＝错误!2＋错误!2
＝错误!，
∴错误!2
＝2，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。

［答案］ A
3．（2018·全国卷Ⅱ）已知F 1,F 2是椭圆C ：x 2a
2＋错误!＝1
（a >b >0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为错误!的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P ＝120°，则
C的离心率为( ）
A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
[解析] 由题意易知直线AP的方程为y＝错误!(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝错误!（x－c)．②
联立①②得y＝错误!(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线,垂足为H，则｜PH｜＝错误!（a ＋c)．
因为∠PF2H＝60°，|PF2|＝|F1F2｜＝2c，｜PH|＝错误!(a ＋c),
所以sin60°＝错误!＝
错误!＝错误!，
即a＋c＝5c,即a＝4c，
所以e＝错误!＝错误!.故选D.
［答案] D
4．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲
线x2－y2
b2
＝1(b〉0)经过点（3,4)，则该双曲线的渐近线方程
是________．
[解析］由双曲线x2－错误!＝1（b>0）经过点(3,4)，得9－
错误!＝1，
解得b＝±错误!，又b〉0，所以b＝错误!，
易知双曲线的焦点在x轴上，
故双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x。

[答案] y＝±错误!x
5．(2018·北京卷)已知椭圆M：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0），双曲线N：错误!－错误!＝1。

若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
［解析］解法一:如图是一个正六边形，A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M 的两个焦点．
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝错误! x，
∴错误!＝错误!。

设m＝k，则n＝错误!k，则双曲线N的离心率e2＝错误!＝2。

连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°,∠CF1F2＝30°。

设椭圆的焦距为2c，则｜CF2|＝c,｜CF1｜＝错误!c，再由椭圆的定义得｜CF1|＋|CF2｜＝2a，即(错误!＋1）c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1。

解法二：双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为错误!，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系,联立得方程组错误!
解得错误!＝错误!－1错误!。

［答案］错误!－1 2
圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
热点课题5 平面几何情境下的圆锥曲线问题
1．（2019·福建福州质检)已知双曲线E：错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6,P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若｜AQ｜＝错误!,则E的离心率是( ) A．2错误! B.错误! C.错误! D。

错误!
［解析］如图所示，设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N，依题意,有|MA｜＝｜AQ｜,｜NP|＝|MP｜，|NF2|＝｜QF2｜，｜AF1|＝｜AF2|＝|QA|＋｜QF2｜,2a＝|PF1｜－|PF2|＝（｜AF1｜＋|MA｜＋|MP｜)－（|NP｜＋|NF2|)＝2|QA|＝2错误!,故a＝错误!，从而e＝错误!＝错误!＝错误!，故选C。

［答案] C
2。

（2019·贵阳监测）已知点P是双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0）左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点（如图），点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是________．
[解析］由题意可知，ON为△PF1F2的中位线，∴PF1∥ON，
∴tan∠PF1F2＝tan∠NOF2＝k ON＝错误!，
∴错误!
解得错误!
又|PF2|－|PF1｜＝2a，∴2b－2a＝2a，b＝2a，c＝错误!＝错误!a，e＝错误!＝错误!.
[答案］错误!
专题强化训练(二十二)
一、选择题
1．（2019·广东惠州一调)抛物线x＝8y2的准线方程为( )
A．y＝错误!B．y＝－2
C．x＝－错误!D．x＝错误!
[解析] 将x＝8y2化为标准形式为y2＝错误!x,所以2p＝
错误!,p＝错误!，开口向右，所以抛物线的准线方程为x＝－错误!。

［答案] C
2．（2019·河南南阳一中1月月考）点P是椭圆x2
9
＋
y2
5
＝
1上的点,F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，则△PF1F2的周长是( ）
A．12 B．10 C．8 D．6
[解析］由椭圆方程知a＝3,c＝错误!＝2.由椭圆的定义，知｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝6，所以△PF1F2的周长为|PF1｜＋｜PF2|＋｜F1F2｜＝2a＋2c＝6＋4＝10，故选B.
［答案] B
3．(2019·豫北五校联考）在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－错误!＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3），则双曲线C的焦距为( )
A。

错误! B．2错误! C．3错误! D．4错误!
［解析］依题意,设双曲线C的方程为x2－错误!＝λ（λ≠0)，则由双曲线C过点P（－2，错误!)得(－2）2－错误!＝λ，λ＝3。

因此，双曲线C的方程为x2－错误!＝3,即错误!－
错误!＝1，双曲线C的焦距为2错误!＝4错误!，故选D。

［答案] D
4．(2019·郑州一测)椭圆x2
25
＋错误!＝1的焦点为F1,F2，
P为椭圆上一点,若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( ）A。

错误! B.错误! C．16错误! D．32错误!
［解析] 解法一：由椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1，F2知，|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，不妨设|PF1｜＝m，｜PF2｜
＝n，则|PF1|＋｜PF2｜＝m＋n＝2a＝10，在△F1PF2中,由余弦定理|F1F2｜2＝|PF1|2＋|PF2｜2－2|PF1｜·｜PF2|cos∠F1PF2，得（2c)2＝m2＋n2－2m·n cos60°，即4c2＝（m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，解得mn＝错误!，所以S△F1PF2＝
错误!·|PF1|·｜PF2｜·sin∠F1PF2＝错误!mn sin60°＝错误!.故选A.
解法二:由椭圆的焦点三角形的面积公式S△F1PF2＝
b2·tan错误!(其中P为椭圆上的点,F1，F2分别为椭圆的左、
右焦点，θ＝∠F1PF2)得S△F1PF2＝b2·tan错误!＝16×tan错误!
＝错误!.故选A.
［答案］A
5．(2019·石家庄二中3月模拟)已知F1,F2分别为椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0）的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则错误!＝（）
A。

错误! B.错误! C.错误! D．3
[解析] 如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭
圆的定义，得｜BF1|＋｜BF2|＝2a，｜AF1｜＋｜AF2|＝2a，
由题意知|AB｜＝｜AF2｜,所以｜BF1｜＝｜BF2|＝a，|AF1|＝错误!，｜AF2｜＝错误!。

所以错误!＝错误!。

故选A。

[答案] A
6．(2019·天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准
线为l。

若l与双曲线x2
a2
－错误!＝1(a〉0，b>0)的两条渐近线
分别交于点A和点B,且｜AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为( ）
A。

错误! B.错误! C．2 D.错误!
［解析］如图，由题意可知抛物线的焦点为F(1，0），准线方程为x＝－1，
∵|AB｜＝4|OF|＝4，
∴A(－1，2)，
又点A在直线y＝－b
a
x上，
∴2＝－错误!·（－1），∴错误!＝2，
∴双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!。

故选D.
[答案] D
7．（2019·陕西西安三模）已知圆x2＋y2－4x＋3＝0与双曲线错误!－错误!＝1的渐近线相切,则双曲线的离心率为（）
A.错误! B．2错误! C．2错误! D。

错误!
［解析] 将圆的一般方程x2＋y2－4x＋3＝0化为标准方程(x－2)2＋y2＝1.由圆心（2,0）到直线错误!x－y＝0的距离为1,得错误!＝1，解得错误!2＝错误!，所以双曲线的离心率为
e＝错误!＝错误!.故选D.
[答案］D
8．（2019·辽宁省五校联考)抛物线C:y2＝4x的焦点为F,N为准线上一点，M为y轴上一点,∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为（）A。

错误! B。

错误! C。

错误! D．3错误!
[解析] 如图，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F（1，0)，因为∠MNF为直角,点E为线段MF的中点，所以|EM｜＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上,所以EN垂直准线x ＝－1，E错误!，所以N(－1，错误!)，M（0，2错误!），所以|NF|＝错误!，｜NM|＝错误!,所以△MNF的面积为错误!，故选C.
［答案］C
9．（2019·武汉模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F,点A（5,3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上,则△MAF 周长的最小值为（)
A．10 B．11 C．12 D．13
[解析］当｜MA|＋｜MF｜的值最小时，△MAF的周长最小．设点M在抛物线的准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知｜MD｜＝｜MF｜,因此｜MA|＋｜MF｜的最小值,即｜MA｜＋｜MD|的最小值，根据平面几何的知识可得，当D，M,A三点共线时，｜MA|＋｜MD｜最小，最小值为x A－（－1）＝5＋1＝6。

又|FA|＝5－12＋3－02＝5，所以△MAF
周长的最小值为6＋5＝11。

［答案] B
10．（2019·宁夏银川一中二模）已知直线y＝错误!x和椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)交于不同的两点M，N,若M，N 在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( ）
A.错误! B。

错误! C.错误! D。

错误!
［解析］由题意可知，M,N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点,则M点坐标为错误!，则错误!＝错误!c，则3b2＝2错误!ac,即3c2＋2错误!ac－3a2＝0.
上式两边同除以a2,整理得3e2＋23e－3＝0，解得e＝－错误!或e＝错误!.由0〈e〈1，得e＝错误!.故选C。

［答案] C
11．(2019·杭州第一次质检）设双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则｜BF2|＋｜AF2|的最小值为（)
A。

错误! B．11 C．12 D．16
［解析］由双曲线定义可得｜AF2|－｜AF1｜＝2a＝4,｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝4，两式相加可得｜AF2｜＋｜BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦,而|AB｜min＝错误!＝3，故|AF2|＋｜BF2|＝|AB｜＋8≥3＋8＝11.故选B.
［答案］B
12．（2019·安徽宣城二模)椭圆G：错误!＋错误!＝1(a>b>0）的两个焦点为F1（－c，0)，F2(c,0),M是椭圆上的一点，且满足错误!·错误!＝0。

则椭圆离心率e的取值范围为( )
A.错误!
B.错误!
C.错误! D 。

错误!
[解析］ 解法一：设点M 的坐标为（x 0，y 0)，∵错误!·错误!＝0，F 1（－c,0)，F 2（c ，0），∴(x 0＋c )·(x 0－c )＋y 错误!＝0，即x 错误!＋y 错误!＝c 2
，① 又知点M 在椭圆G 上，∴x 2
0a 2＋错误!＝1，② 由①②联立结合a 2－b 2＝c 2
解得x 错误!＝错误!,
由椭圆的性质可得0≤x 错误!≤a 2，即错误!即错误!所以c 2≥b 2。

又知b 2＝a 2－c 2,∴c 2≥a 2－c 2，即2c 2≥a 2，解得e 2≥错误!,又知0<e 〈1，∴错误!≤e <1，故选D.
解法二：∵椭圆G 上存在点M 使错误!·错误!＝0,
∴MF 1⊥MF 2，即△MF 1F 2是以M 为直角顶点的直角三角形,∵|MF 1|＋|MF 2｜＝2a ，|F 1F 2｜＝2c ,
∴椭圆的离心率e ＝错误!＝错误!,
又知(|MF 1|＋｜MF 2｜）2≤2（|MF 1|2＋｜MF 2｜2)
＝2｜F 1F 2|2＝8c 2，∴|MF 1|＋｜MF 2|≤2错误!c ，
∴e ＝|F 1F 2||MF 1｜＋|MF 2|
≥错误!＝错误!， 当且仅当｜MF 1|＝|MF 2｜＝错误!c 时，等号成立，
又知0<e <1,∴e ∈错误!。

故选D.
[答案] D
二、填空题 13．(2019·武汉调研）已知双曲线x 2
a 2－y 2＝1(a >0）的一条渐近线为错误!x ＋y ＝0，则a ＝________.
[解析］双曲线的两条渐近线为y＝±错误!x，错误!x＋y ＝0可化为y＝－错误!x，所以－错误!＝－错误!，得a＝错误!。

［答案] 错误!
14．(2019·福州3月质检)若抛物线y2＝2px(p〉0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为________．
[解析］因为抛物线y2＝2px(p〉0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，若设该点为P，则P(x0，±6）．因为P到抛物线焦点F错误!的距离为10，根据抛物线的定义得x0＋错误!＝10.①
因为P在抛物线上,所以36＝2px0。

②
由①②解得p＝2,x0＝9或p＝18,x0＝1，所以抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
[答案] y2＝4x或y2＝36x
15．(2019·重庆一中月考）如图，F1，F2分别为椭圆C：
错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点，P为椭圆C上的点，Q是线段PF1上靠近F1的三等分点,△PQF2为正三角形,则椭圆
C的离心率为________．
［解析］解法一：由椭圆的定义知,|PF1|＋｜PF2|＝
2a，则错误!｜PQ｜＋|PF2｜＝2a，因为△PQF2为正三角形，所
以｜PF2|＝错误!，|PF1｜＝错误!。

在△PF1F2中，由余弦定理，
得4c2＝错误!a2＋错误!a2－2×错误!×错误!×cos60°＝错误!a2，则
e2＝错误!，e＝错误!。

解法二:由椭圆的定义知，｜PF1｜＋|PF2｜＝2a，由已知得,错误!·|PQ｜＋｜PF2｜＝2a，因为△PQF2为正三角形，所以|PF2|＝错误!，|PF1|＝错误!，由|PF1|·｜PF2｜＝错误!,可得
错误!＝错误!，错误!＝错误!,e＝错误!＝错误!。

[答案] 错误!
16．(2019·太原五中月考)如图，双曲线的中心为原点
O,A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶
点，F为双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D.若双曲
线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．
[解析] 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1（a>0，b>0），由e＝错误!＝2知，c＝2a，又c2＝a2＋b2,则b＝错误!a.所以A(0，错误!a），C（0，－错误!a)，B（－a，0),F(－2a，0），则错误!＝(a，错误!a)，错误!＝（－2a，错误!a)，结合图象可知，cos∠BDF＝cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!。

［答案］错误!。