2025高考数学一轮复习课件题组层级快练39

∴an＝n（n2＋1）＝21n－n＋1 1，
∴Sn＝2[11－12＋21－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1]＝n2＋n1.
13．已知数列{an}满足 a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝2n，则数列{an}的通项公 式为_a_n_＝__21_n __．
解析 ∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2①，
解析 设 f(x)＝x＋9x0(x>0)，运用基本不等式得 f(x)≥6 10，当且仅当 x＝
3
10时，等号成立．因为
an＝n＋19n0，所以
y＝f（1x）≤6
1 ，由于 10
n∈N*，不
难发现当 n＝9 或 n＝10 时，an＝119为最大项．
2x－1 15．已知函数 f(x)＝ x ，设数列{an}的通项公式为 an＝f(n)，其中 n∈N＋.
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A．30
B．90
√C．170
D．341
解析 由题意，a8＝a6＋27，a6＝a4＋25，a4＝a2＋23＝2 ＋23，所以 a8＝2＋23＋25＋27＝170.故选 C.
二、多项选择题 9．已知数列{an}对∀n∈N*，满足 an＝logn＋1(n＋2)，设 Tn 为数列{an}的前
n 项之积，则下列结论正确的有( )
A．2 022×2 023
B．2 021×2 022
C√．2 020×2 021
D．2 022×2 022
7．(2024·河北邯郸部分学校联考)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，“对任意正
整数 n，均有 an<0”是“{Sn}为递减数列”的( )
A√．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
(1)求 a2 的值；
答案
3 2
解析 由题意得 an＝2n－ n 1＝2－n1，所以 a2＝2－12＝32.
(2)求证：1≤an<2； 答案 证明见解析 解析 证明：由(1)知，an＝2－1n，因为 n 为正整数，所以 n≥1，0<1n≤1， 即 1≤2－1n<2，所以 1≤an<2.
(3)判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． 答案 见解析
将以上 n 个等式两端分别相乘，整理得 an＝n（n＋ 2 1）.
17 ． 数 学 家 祖 冲 之 曾 给 出 圆 周 率 π 的 两 个 近 似 值 ： “ 约 率 ” 272 与 “ 密
率”315153.它们可用“调日法”得到：称小于 3.141 592 6 的近似值为弱率，大于
3.141
592
＋a5＝28.故选 B.
4．正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＝2Sn－n，则 a5＝( )
A．0 C．5
√B．1
D．6
解析 当 n＝1 时，a1＝1，当 n≥2 时，an－1＝2Sn－1－(n－1)，与已知式子联 立作差得 an＋an－1＝1，故 a5＝1.故选 B.
5. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方“帕斯卡三角形” 早了 300 多年．如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 an 为图中虚 线上的数 1，3，6，10，…构成的数列{an}的第 n 项，则 a100 的值为( )
题组层级快练(三十九)
一、单项选择题
1．在数列 1，2， 7， 10， 13，…中，2 19是这个数列的( )
A．第 16 项
B．第 24 项
√C．第 26 项
D．第 28 项
解析 设题中数列为{an}，则 a1＝1＝ 1，a2＝2＝ 4，a3＝ 7，a4＝ 10，
a5＝ 13，…，所以 an＝ 3n－2.令 3n－2＝2 19＝ 76，解得 n＝26.故选 C.
由31<π<156可得，a5＝31＋＋156＝169>3.141 592 7，即 a5 为强率； 由31<π<169可得，a6＝31＋＋169＝272>3.141 592 7，即 a6 为强率，所以 m＝6； 由31<π<272可得，a7＝31＋＋272＝285＝3.125<3.141 592 6，即 a7 为弱率； 由285<π<272可得，a8＝285＋＋722＝4175.
2．(2024·安徽淮南一模)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和．若 a1＝21，an＋1＝1－a1n， 则 S2 021＝( )
A.2
017 2
√B．1 009
2 019 C. 2
D．1 010
解析 在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－a1n，则 a2＝1－a11＝－1，a3＝1－a12＝ 2，a4＝1－a13＝12，以此类推可知，对任意的 n∈N*，an＋3＝an，即数列{an}是以 3 为周期的周期数列．又 2 021＝3×673＋2，因此 S2 021＝673S3＋a1＋a2＝674S3 －a3＝674×21－1＋2－2＝1 009.故选 B.
8．(2024·辽宁沈阳市郊联体期中) 九连环是一种流传于我国民间的传统智 力玩具，有多种玩法．在如图所示的九连环中，已知解下 1 个圆环最少需要移 动圆环 1 次，解下 2 个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 an 为解下 n 个圆环需要 移动圆环的最少次数，且 an＝an－2＋2n－1(3≤n≤9，n∈N*)，则解下 8 个圆环所 需要移动圆环的最少次数为( )
3．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且满足 Sn＝n2＋4n＋1，则 a1＋a3＋a5 ＝( )
A．27
√B．28
C．29
D．30
解析 因为 Sn＝n2＋4n＋1，当 n＝1 时，a1＝S1＝6，当 n≥2 时，an＝Sn－
Sn－1＝2n＋3.经检验，a1＝6 不符合上式，所以 an＝62，n＋n＝3，1，n≥2，所以 a1＋a3
解析 {an}是递增数列． 理由如下：an＝2－1n，an＋1－an＝n1－n＋1 1＝n（n＋1 1）>0，所以{an}是递增 数列．
n＋2 16．已知在数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 Sn＝ 3 an. (1)求 a2，a3； 答案 a2＝3，a3＝6 解析 由 S2＝43a2，得 3(a1＋a2)＝4a2，解得 a2＝3a1＝3； 由 S3＝53a3，得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得 a3＝32(a1＋a2)＝6.
(2)求证：Sn<1.
答案 证明见解析 证明 由cnc＋n1＋－1 1＝cnc－n2 1可得 cnc＋n1＋－1－1＋1 1＝cn2c－n－1＋1 1，即cn＋11－1＝cn＋cn－1 1， 所以 cn＝cn＋11－1－cn－1 1， 所以 Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝c2－1 1－c1－1 1＋c3－1 1－c2－1 1＋…＋cn＋11－1－cn－1 1 ＝cn＋11－1－c1－1 1＝cn＋11－1＋2， 又c1n≥c11＝2，所以 cn＋1∈0，12， 所以cn＋11－1<－1，即 Sn<1.
(2)求{an}的通项公式．
答案 解析
n（n＋1）
an＝
2
由题设知 a1＝1.
当 n≥2 时，有 an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1，整理，得 an＝nn＋ －11an－1.
于是 a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2，…，an－1＝n－n 2an－2，an＝nn－＋11an－1.
D．既不充分也不必要条件
解析 当 an<0 时，则 Sn－Sn－1＝an<0(n≥2，n∈N*)，所以 Sn<Sn－1，则“对 任意正整数 n，均有 an<0”是“{Sn }为递减数列”的充分条件；若数列{an}为 0， －1，－2，－3，－4，…，显然数列{Sn}是递减数列，但是 a1＝0，所以“对任 意正整数 n，均有 an<0”不是“{Sn}为递减数列”的必要条件，所以“对任意正 整数 n，均有 an<0”是“{Sn}为递减数列”的充分不必要条件．故选 A.
三、填空题与解答题
16
11．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 2an＋Sn＝3，则 a5的值为__8_1_____．
解析 当 n＝1 时，2a1＋S1＝3，即 3a1＝3，所以 a1＝1；当 n≥2 时，2an－1 ＋Sn－1＝3，2an＋Sn＝3，两式相减，得 2an－2an－1＋an＝0，易知 an≠0，故aan－n1＝ 23，所以数列{an}是以 1 为首项，32为公比的等比数列，则 an＝32n－1，所以 a5＝23 4＝1861.
12．已知数列{an}中，a1＝1，an1＋1－a1n＝n＋1，则其前
n
项和
2n
Sn＝n_＋__1_____．
解析 ∵a12－a11＝2，a13－a12＝3，a14－a13＝4，…，a1n－an1－1＝n，
累加得a1n－a11＝2＋3＋4＋…＋n，得a1n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1），
A．5 049 C．5 051
√B．5 050
D．5 101
解析 由题意得 a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，
a4＝10＝1＋2＋3＋4，…，观察规律可得 an＝1＋2＋3＋…＋n
＝n（n＋ 2 1），所以
100×101 a100＝ 2 ＝5
050.
6．已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝an＋2n，则 a2 022 等于( )
7
的近似值为强率．由13<π<41，取
3
为弱率，4
为强率，得
3＋4 a1＝1＋1＝
72，故 a1 为强率，与上一次的弱率 3 计算得 a2＝13＋＋27＝130某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似
值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，
∴当 n≥2 时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－2 1②，
①－②得 2n－1an＝21，∴an＝21n(n≥2)③，
又 a1＝12也满足③式，∴an＝21n.
14．若数列{an}的通项公式为 an＝n2＋n 90，则数列{an}中的最大项是第
1
___9_或__1_0_项，该项为___1_9____．
√A．a1>a2
√B．a1>a7
√C．T6＝3
D．T7<T6
解析 因为 a1＝log23>log22 2＝23，a2＝log34<log33 3＝32，所以 a1>a2，故
A 正确；a7＝log89＝32log23<a1，故 B 正确；T6＝log23×log34×…×log78＝log28
＝3，故 C 正确；T7＝T6×log89，因为 T6>0，log89>1，所以 T7>T6，故 D 错误．
18．(2024·长沙模拟)已知数列{cn}满足 c1＝12，cnc＋n1＋－1 1＝cnc－n21，n∈N＋，Sn 为该数列的前 n 项和．
(1)求证：数列c1n为递增数列； 答案 证明见解析
证明 因为 c1＝12，cnc＋n1＋－1 1＝cnc－n2 1， 所以 cn≠1，cn≠0， 两边分别取倒数可得 1－cn1＋1＝c1n－c1n2， 整理可得cn1＋1－c1n＝c1n－12>0， 所以数列c1n为递增数列．
10．在数列{an}中，an＝(n＋1)78n，则数列{an}中的最大项可以是(
)
A．第 6 项
C√．第 8 项
B√．第 7 项
D．第 9 项
解析 假设 an 最大，则有aann≥ ≥aann＋ －11， ， 即（（nn＋＋11））7878nn≥≥（n·n78＋n－21），78n＋1， 所以n78＋（1n≥ ＋781（）n≥＋n2，）， 即 6≤n≤7，所以最大项为第 6 项和第 7 项．
依此类推，已知
am＝272，则
47
m＝____6____；a8＝___15_____．
解析 因为 a2 为强率，由31<π<130可得，a3＝31＋＋130＝143>3.141 592 7，即 a3 为强率；由13<π<143可得，a4＝31＋＋143＝156>3.141 592 7，即 a4 为强率；