湖北省安陆市第一高级中学高三考前冲刺考试数学(文)试题(j)

高中数学学习材料
（灿若寒星 精心整理制作）
文科练习题(J)
1．复数z 满足(1)2z i -=（i 是虚数单位），则z =（ ）
A ．1i -
B ．1i -+
C ．1i --
D ．1i +
2．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则以下是真命题的命题是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∨
D ．()()p q ⌝∧⌝
3．集合{|sin ,},{|228}x
M x x R N x θθ==∈=≤≤，则M N ⋂=（ ）
A ．1[,2]2
B ．[1,3]-
C ．1[1,]2-
D ．1[,1]2
4．如图所示，矩形长为4，宽为2，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，据此可以估计椭圆的面积约为（ ）
A.6.2
B.6.4
C.7.2
D.7.6
5．函数x
x x f 1
log )(2-
=的零点所在区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 6．下列叙述中正确的是（ ）
A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若2
1x =，则1x ≠” B ．“1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件
C ．命题“2000,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2
,10x R x x ∀∈++<”
D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
7．已知在等差数列{}n a 中，前10项的和等于5项的和，若0m a =，则m =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．5
（16
直观图
俯视图
侧视图
正视图
8．已知双曲线2221(0)x y a a
-=>的右焦点与抛物线2
45y x =的焦点重合，则此双曲线
的渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．5y x =±
C ．1
2
y x =±
D ．55y x =± 9．已知点(1,0),(1,0)A B -，过定点(0,2)M 的直线l 上存在点P ，使得0PA PB ⋅<，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A ．2(
,)33
ππ B ．2[,]33ππ C ．2[0,][,)33πππ⋃ D ．2[0,)(,)33ππ
π⋃
10．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时1
2
()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是（以下k Z ∈）（ ） A ．11(2,2)44k k -+ B ．15(2,2)22k k ++ C ．11(4,4)44k k -+ D ．19
(4,4)22
k k ++
11．具有线性相关关系的变量,x y ，满足一组数据，如下表所示，若y 与x 的回归直线方
程为3
ˆ32
y
x =-，则m =_____；
12.执行如下程序框图，输出的i =______；
13．用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题： ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是_______；
14．数列{n a }中，11=a ，且对所有n N *
∈, 满足212n a a a n ⋅⋅
⋅=，则
=+53a a ____；
15．在三棱锥ABC P -中，侧棱PC PB PA ,,两两垂直，3,2,1===PC PB PA ，则三棱锥的外接球的表面积为
16．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图．．．中椭圆的离心率为_____；
x
0 1 2 3 y 1- 1 m 8
17．设点1122(,),(,)A x y B x y 是函数()12()y f x x x =<图象上的两点，O 为坐标原点，且点N 满足(1)([0,1])ON OA OB λλλ=+-∈，点(,)M x y 在函数()y f x =的图象上，且满足12(1)x x x λλ=+-，则称MN 的最大值为函数()y f x =在12[,]x x 的“高度”． （1）函数()2f x x =在[1,1]-上的“高度”为 ； （2）函数()2
f x x bx c
=
++在[,](,,,d d p b c d p +是常数，0p >）上的“高度”为 ______．
18．已知向量(sin(),1),(3,cos())(0)33
m x n x π
π
ωωω=+
-=+>，函数()f x m n =⋅的图象的对称中心和对称轴的最小距离为
4
π
． （1）求ω的值，并求函数()f x 在区间[0,]π上的单调增区间；
（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3
()1,cos 5
f A C ==
，53a =，求b ．
19．数列{}n a 前n 项和为n S ，满足1a r =，1132
n n S a +=-
． （1）确定r 的值，使{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的条件下，设2log n n b a =，求数列{||}n b 的前n 项和n T ．
20. 如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为AB 的中点．
（1）求证：BC 1∥平面A 1CM ；
（2）若CA=CB ，A 1在平面ABC 的射影为M ， 求证: 平面A 1CM ⊥平面ABB 1 A 1．
21．函数3ln(1),0()1,03
x x f x x ax x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()1x
g x e =-．
（1）当0a >时，求函数()f x 的极值；
（2）当a 在R 上变化时，讨论函数()f x 与()g x 的图象公共点的个数；
22．已知点,A B 的坐标分别为(2,0),(2,0)-．直线,AT BT 交于点T ，且它们的斜率之积为常数(0,1)λλλ->≠，点T 的轨迹以及,A B 两点构成曲线C ． （1）求曲线C 的方程，并求其焦点坐标；
（2）若01λ<<，且曲线C 上的点到其焦点的最小距离为1．设直线:l 1x my =+交曲线
C 于,M N ，直线AM 、BN 交于点P ．
（ⅰ）当0m =时求点P 的坐标；（ⅱ）求证：当m 变化时， P 总在直线4x =上．
文科参考答案
1-10：DBDBB DCAAC
B 1
A 1
A
B
C 1
C
M
11.012.6 13.②④ 14.61
16
15.14π 16.22 17.（1）1；（2）24p
18．解：（1）()3sin()cos()2sin()336f x m n x x x π
ππ
ωωω=⋅=+
-+=+……2分 由于图象的对称中心和对称轴的最小距离为4
π
，所以24,24T πππωω==⋅==……3分
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
,k Z ∈……5分
又[0,]x π∈，所以所求单调增区间为2[0,],[
,]6
3
π
π
π……6分 （2）1()2sin(2)1,sin(2),2266266f A A A A k π
ππππ=+
=+=+=+或526
k π
π+
A k π=或3
k ππ+
，()k Z ∈，又(0,)A π∈，故3
A π
=
，…………8分
34334
cos ,(0,),sin ,sin sin()sin()55310C C C B A C C ππ+=∈∴==+=+=…10分
由正弦定理得
53sin ,334sin sin sin b a B
b B A A
=∴==+…………12分 19．解：（1）当1n =时，122111
,3232
S a a a =-=+，
当2n ≥时，11
32
n n S a -=-
，与已知式作差得1n n n a a a +=-，即12(2)n n a a n +=≥ 欲使{}n a 为等比数列，则2122a a r ==，又211
32
a a =+，132r ∴=…………5分
故数列{}n a 是以
132
为首项，2为公比的等比数列，所以6
2n n a -=…………6分 （2）6n b n =-，6,6||6,6n n n b n n -<⎧=⎨-≥⎩
若6n <，2
1112n n n n T b b -=---=………9分
若6n ≥，215611302n n n n T b b b b -=--
-++
+=+2
211,621130,6
2
n n n n T n n n ⎧-<⎪⎪
∴=⎨-⎪+≥⎪⎩…12分
20.证：（1）连接1AC 交1A C 于点N ，则N 为1A C 的中点．
∵M 为AB 的中点，∴1//MN BC ．
又∵1MN ACM ⊂平面， 11
BC ACM ⊄平面， ∴11
//BC ACM 平面．……………………………………6分 （2）∵CA CB =，M 为AB 的中点，∴CM AB ⊥． ∵1A 在平面ABC 的射影为M ，
∴1A M ACB ⊥平面，∴1A M AB ⊥，又1CM
A M M =，
∴1
AB ACM ⊥平面，又11AB ABB A ⊂平面， ∴111.ACM ABB A ⊥平面平面 …………………………12分 21.解：（1）当0x ≥时，0a >，()01
a
f x x '=
>+，()f x 在[0,)+∞递增，当0x <时，2()f x x a '=-，(,0),()0,()x a f x f x '∈-<递减，(,),()0,(
)x a f x f x '∈-∞->递增；
故()f x 在(,)a -∞-，[0,)+∞递增，(,0)a -递减，（不必说明连续性）
故2
[()](0)0,[()]()3
f x f f x f a a a ===-=
极小值极大值．……4分 （2）即讨论()()()h x g x f x =-的零点的个数，(0)0h =，故必有一个零点为0x =.
①当0x >时，()()()1ln(1)x
h x g x f x e x =-=--+，1()1
x
h x e x '=-
+ 而
1
11
x e x <<+，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞递增，()(0)0h x h >=，故()h x 在(0,)+∞无零点；………………7分
②当0x <时，3
1()()()13
x
h x g x f x e x ax =-=--
+ 2()x h x e x a '=-+， 设()()x h x θ'=，()20x
x e x θ'=->对0x <恒成立，
故2
()x h x e x a '=-+在(,0)-∞递增，()(0)1h x h a ''<=+，且x →-∞时，
()h x '→-∞；
（ⅰ）若10a +≤，即1a ≤-，则()(0)10h x h a ''<=+≤，故()h x 在(,0)-∞递减，所以()(0)0h x h >=，()h x 在(,0)-∞无零点； …………10分
（ⅱ）若10a +>，即1a >-，则0(,0)x ∃∈-∞使0()0h x '=，进而()h x 在0(,)x -∞递减，在0(,0)x 递增，0()(0)0h x h <=，且x →-∞时，
21
()(1)(3)3
x h x e x x a =---→+∞，()h x 在0(,)x -∞上有一个零点，在0[,0)x 无零点，
故()h x 在(,0)-∞有一个零点 …12分
综合①②，当1a ≤-时有一个公共点；当1a >-时有两个公共点………………13分
22．解：（1）设(,)T x y ，则
22y y
x x λ⋅=-+-，化简得221(2)44x y x λ+=≠±，又,A B 的坐标(2,0),(2,0)-也符合上式，故曲线:
C 22
1(0,1)44x y λλλ
+=>≠……3分 当01λ<<时，曲线C 是焦点在横轴上的椭圆，焦点为(21,0),(21,0)λλ---…4分 当1λ>时，曲线C 是焦点在纵轴上的椭圆，焦点为(0,21),(0,21)λλ---……5分 （2）由于01λ<<，曲线C 是焦点在横轴上的椭圆，其焦点为
(21,0),(21,0)λλ---，椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的
最小距离，故2211λ--=，3
4λ∴=，曲线C 的方程为22143x y +=………………6分 （ⅰ）联立221,143x y x =+=解得33(1,),(1,)22M N -或33
(1,),(1,)22
N M - 当3
3(1,),(1,)22M N -时，13
:(2),:(2)22
AM y x BN y x =
+=-，解得(4,3)P 当33
(1,),(1,)2
2
N M -时，由对称性知，(4,3)P -，所以点P 坐标为(4,3)或(4,3)-…9分
（ⅱ）以下证明当m 变化时，点P 总在直线4x =上．
设1122(,),(,)M x y N x y ，联立22
143
x y +=及1x my =+，消去x 得： 22(34)690m y my ++-=，121222
69
,3434
m y y y y m m +=-
=-++ 直线12
12:(2),:(2)22
y y AM y x BN y x x x =
+=-+-…………10分 消去y 得12211212
211212
2(2)2(2)426(2)(2)3y x y x my y y y x y x y x y y -++-+==+--+
以下只需证明
1212
121212
426446()03my y y y my y y y y y -+=⇔-+=+※对于m R ∈恒成立
而22
12122229
6363646()4()6()0343434
m m m my y y y m m m m -+-+=⋅-
-⋅-==+++ 所以※式恒成立，即点P 横坐标总是4，点P 总在直线4x =上
故存在直线:4l x '=，使P 总在直线l '上．………………14分。