湖南省长郡中学高三第六次月考(数学文)

湖南省长郡中学2008届高三第六次月考
数学文科试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．右图中阴影部分表示的集合是（ A ）
A ．Q C P U ⋂
B ．Q P
C U ⋂ C ．()Q P C U ⋂
D ．()Q P C U ⋃
2．若,x R ∈则4x <成立的一个必要不充分条件是 （ B ）
A ．3x <
B ．4x <
C ． 50<<x
D ．2
16x <
3．在等比数列{n a }中，n a ＞0（1≥n 且N n ∈）.若===⋅5451,8,4a a a a 则（ C ）
A ．4
B ．16
C ．32
D ．64
4．若()4
21x
+的展开式的第3项为12，则x 等于 （ B ）
A ．
3log 312 B ． 2
1
C ． 6log 4
D ． 2 5．设f(x)=tan3x+
tan3x
，则f(x)为 （ A ）
A ．周期函数，最小正周期为
3
π B ．周期函数，最小正周期为32π
C ．周期函数，最小正周期为6
π
D ．非周期函数
6．将点(2,0)A 按向量 a 平移至点B ，若过点B 有且只有一条直线l 与圆
2222x y x y +-+60-=相切，则当||a 最小时，直线l 的方程是 （ D ）
A ．4y x =-
B ．4y x =--
C ．4y x =+
D ．4y x =-+
7．2006年度某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如下：
人
数百分比
在6000，10000，14000，18000这四个数据中, 与成绩高于11级分的考生数最接近的是（ B ）
A ．6000
B ．10000
C ．14000
D ．18000
8．以椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭
圆的右准线交于不
同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ C ）
A ．1(0,
)2 B ．1(,1)2 C ．1
(,1)2
D ．1)2
9．如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 是正方形，⊥PA 底面ABCD ，M 、AB PA ,=N 分别是PC 、PD 的中点，则异面直线CN BM 与所成角的余弦值大小为 （D ）
A ．
33 B ．4
2 C ．3
2
-
D ．
3
2 10．已知函数x
x x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=21)(3，实数a 、b 、c 满足c b a <<且0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若
实数0x 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是
（ D ） A ．a x <0 B ．b x >0 C ．c x <0 D ．c x >0
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．已知函数f(x)=log 3
1x+2的定义域为]3,0(，则它的反函数f －
1(x)定义域为 ．[),1+∞
12．已知正数x 、y 满足⎩
⎨
⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21()41(⋅=的最小值为______161
13．在平行四边形ABCD 中，已知2||=AB ，1||=AD ，︒=∠60BAD ，点E 是BC 的中点，则=⋅ －3
14.设平面α∩平面l =β，点∈B ,A 平面α，∈C 平面β，且三点C B A ,,都不在直线l 上，
给出下列四个命题：① βα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥AC AB l l ②⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥αBC l AC l 面ABC
③ //AB//l l ⇒平面ABC ，其中正确的命题是______．②③
15．在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有_____种不同的试种方案。

(11种)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
如右图所示，已知函数()f x =sin cos (,,0)a x b x a b R ωωω+∈>的一部分图象. （1）求,,a b ω的值，
（2）求函数)(x f y =的单调递增区间
16解．(1)
由题意得())f x ωϕ+. 当x R ∈时，
()f x 的最大值22b a +
与最小值()f x 的最小正周期为T ，由图知32422
T ππ
π=-=，得6T π=.
又2||T πω=, 0ω>，
于是26ππω=，得1
3
ω=. ……2分
这时，11()sin cos 33f x a x b x =+，它经过两点(,0)2
π
, (2,2)π得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=+=+232cos 32sin 06cos 6sin ππππb a b a 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+2212
302321b a b a
，解之，得1a b ==- ……6分 (2) ()f x =
3sin 31x －cos 31x=2sin(31x －6
π
)， ……9分
[]()Z k k k ∈+-ππππ26,6上单调递增. ……12分
17．（本小题满分12分） 一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p ，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为
2
1
. (1) 若3
2
p =
，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率; (2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过18
5
，求p 的取值范围.
解：(1) 记该学生在第i 个交通岗遇到红灯i A )5,,2,1i ( =，
.12
1
21)211()321()A A A (P 321=⨯-⨯-=⋅⋅
答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为.12
1
……………6分
(2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为A ）或恰好遇到一次红灯（记为B ）
,)p 1(8
1)211(C )p 1(C )A (P 230
3
202-=--=……………7分
=-⋅-+-⋅-=30
3
12213202)2
11(C )p 1(p C )211(C )p 1(C )B (P ).p 1(p 41
)p 1(832-+-…………………9分 +-2)p 1(81.3
8p 31185)p 1(p 41)p 1(832≤≤⇒≤-+-……………11分 又,1p 0≤≤ 所以p 的取值范围是].1,3
1
[ ……………12分
18（本小题满分12分）
如图所示，曲线段OMB 方程是 ：()602<<=x y x 在点t x =（即点M ）处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，且x BA ⊥轴于A ，
(1)试用t 表示切线PQ 的方程；
(2)求QAP ∆的面积()t g 的最大值同时指出()t g 在（n m ,）
上单调递减时n m -的最小值
解：（I ）∴='x y 2 K=t x y ='| = 2 t,切线方程为 ()t x t t y -=-22,
即()6022<<
-=t t tx y …4分 (II)在切线方程中
令0=y 得 2t x =
)12,6(,126),0,2
(2
2t t Q t t y x t p -∴-==∴，得令 )60(3664
1)12)(26(21||||21)(2
32<<+-=--=⋅=∴t t t t t t t AQ AP t g … 6分
400)(;640)(60,
36124
3)(2
<<>'<<<'∴<<+-=
't t g t t g t t t t g 得令得令 ∴函数)(t g 在()4,0上单调递增；在()6,4上单调递减
64)4()(max ==g t g 故 … 10分 上单调递减在又),()(n m t g
依题知.4),6,4(),(的最小值为m n m ∴⊆n 的最大值是6，
故n m - 的最小值是2- … 13分
19．（本小题满分13分）
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD DC CB a ===，060ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AE a =．
（1）求证：BC ⊥平面ACEF ；
（2）求二面角B EF D --的大小． 解：（1）证明：在梯形ABCD 中，
60,,//=∠===ABC a CB DC AD CD AB ， .BC AC ⊥∴………………………………3分
又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，
.ACFE BC 平面⊥∴ ------------------5分
（2）取EF 中点G ，EB 中点H ，连结DG ，
.
,//.,.,.,.,GH EF FB GH FB EF FC EF EF BC ACFE BC EF DG DF DE DH GH ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥⊥∴= 又又平面
D EF B DGH --∠∴是二面角的平面角
-----------------------9分
在BE a DB a DE BDE ,3,2,==
∆中 .522a AB AE =+=
90=∠∴EDB ..25a DH =
∴又.2
2
,25a GH a DG == .10
10
arccos ,1010cos ,=∠=∠∆∴DGH DGH DGH 由余弦定理得中在
即二面角B —EF —D 的大小为10
10
arccos
. ------------------------------------13分 注：① 可以C 点为原点建系，用向量法解，酌情记分。

② （2）中所求二面角可转求两个二面角C EF B --、D EF C --的和，为
452
1
arctan
+ 或用异面直线上两点间的距离公式求。

20．（本小题满分13分）
已知曲线C 是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的右支，它的右准线方程l ：2
1
=x ，一条渐近线方程是x y 3=，线段PQ 是过曲线C 右焦点F 的一条弦.
(1)求曲线C 的方程；
(2)若R 为PQ 中点，且在直线l 的左侧能作出直线m ：a x =，使点R 在直线m 上的射影S 满足QS PS ⋅=0，当P 在曲线C 上运动时，求a 的取值范围；
解： (1)13
2
2
=-y x (x ≥1) …… 4分 (2) ⋅=0，即QS PS ⊥，PQ RS 2
1
= …… 6分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=⎪⎭⎫
⎝⎛-+2121222121x e x e a x x
a x x 2221-=+,又421≥+x x ∴a ≤－1 ……12分
21．（本小题满分13分）
已知一列非零向量n a 满足：()
1,11y x a =，
()()()2,2
1
,1111≥+-==----n y x y x y x a n n n n n n n （1）证明：{|n a |}是等比数列； （2）求向量1n a -与n a 的夹角（n≥2）
（3）设1a ＝(1，2)，将1a ，2a ，…，n a …中所有与1a 共线的向量按原来的顺序排成一列，记为1b ，2b ，…，n b ，…，令12n n OB b b b =++⋅⋅⋅+，O 为坐标原点，求点n B 坐标．
解：（1
）||n a
2
1212
2--=
+n n y x ，
2
2
=
且10a ………4分 （2）1n a -·n a 1111111(,)(,)2
n n n n n n x y x y x y ------=⋅-+222
211111
()||2
2
n n n x y a ---=+=
， ∴ (
)
2
2,cos 1=
=-n n a a ，∴ 1(,)4n n a a π-=． ∴ 1n a -与n a 的夹角为
4
π
． ………8分
（3）由（2）可知相邻两向量夹角为
4
π
，而44
π
π⨯
=，所以每相隔3个向量的两
个向量必共线，且方向相反，所以与向量1a 共线的向量为{1a ，5a ，9a ，13a ，…}＝{1b ，2b ，3b ，4b ，…}，
∴114311111()(,)()(1,2)44
n n n n b a a x y ---==⋅-=-． 设n OB ＝(n t ，n s )
则21111[1()()()]444n n t -=+-+-+⋅⋅⋅+-11()414[1()]1541()4
n
n --=
=----． 同理81[1()]54
n n S =--．
∴4181([1(),[1()])5454
n n n B ----． ………13分。