江苏省扬中二中2021届高三上学期数学周练(二)含答案

江苏省扬中二中2020-2021第一学期高三数学周练2
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．已知X 服从二项分布：1
(4,)4
X
B ，则(3)P X == （ ）
A ．164
B ．364
C ．1256
D ．3256
2．函数()2f x x x =-⋅的单调减区间为 （ ） A ．[1,0]- B ．[1,2] C ．[0,2] D ．[2,)+∞ 3．函数
()ln 1f x x =-的图象大致是 （ ）
A. B. C. D.
4．在10个排球有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品比次品数少的概率为 （ ）
A ．
435 B ．542 C ．821
D ．1942
5．已知0,0a b >>，若不等式313m
a b a b
+≥+恒成立，则m 的最大值为 （ ）
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
6．在等比数列{}n a 中，144,32a a ==，则数列{}n a 的前10项的和为 （ ） A ．1122- B ．1222- C ．1124- D ．1224- 7．函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，0A >，0>ω） 的部分图象如图，则()0f 的值是 （ ） A ．
3 B ．3 C ．2 D ．6 8．如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过椭圆
上的点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形12F F PQ 为菱形，则该 椭圆的离心率为 （ ） A ．
21
2
- B ．312- C ．21- D ．31-
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项
填涂在答题卡相应的位置上）
9．满足方程2
55
1616
x x x C C --=的x 的值可能为 （ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7-
10．一组数据12321,21,21,,21n x x x x ++++的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,x x x +++
,32n x +的平均数为a ，方差为b ，则 （ ）
A ．7a =
B ．11a =
C ．12b =
D ．9b =
11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 是1DD 的中点，则 （ ） A ．直线1//B C 平面1A BD B ．11B C BD ⊥
C ．三棱锥11C B CE -的体积为
1
3
D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为045
12．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知21()()ln ,(1)2
x f x xf x x f '+==
， 则下列结论不正确的是 （ ） A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增 B ．()xf x 在(0,)+∞单调递减
C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值
12 D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12
二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 13．已知()1,2sin a θ=，3sin ,13b πθ⎛
⎫⎛
⎫=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，R θ∈，a b ⊥，则tan θ的值为 __. 14．在ABC △中，若4C π=，且1tan 1sin 2tan A A B =+
，则BC
AC
的值为_ _. 15．若函数2(2),2
()(3)5,2
x x f x a x a x ⎧--<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有
1212
()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是 .
16．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1,1]x a a ∀∈-+，都有
[1,1]y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”.以下函数：①1
y x
=
，②221y x =-③sin y x =④ln(2)y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是 .已知点(,)A a b 在函数2x y =的图象上，若函数2x y =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是 .
三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如下图所示的22⨯列联表.
（1）将22⨯列联表补充完整，判断是否有0090的把握认为学生按成绩分组与性别有关？
（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率. 附：
甲组 乙组 合计 男生
3
女生
13
参考数据及公式：
2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++
18．设椭圆22
22:1(0)x x C a b a a +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,下项点为,A O 为坐标原点，点O 到直
线2AF 的距离为2
2
，12MF F ∆为等腰直角三角形.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若倾斜角为045的直线经过椭圆C 的右焦点2F ，且与椭圆C 交于,M N 两点(M 点在N 点的上方)，求线段2MF 与2NF 的长度之比.
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21.n n S a n =+-
（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T
20．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华民族的团结和伟大，特别是医务工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉。

现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设,X Y 分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望().E ξ
21. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，42AB =,,M N 分别是1,AB CC
的中点，且11A M B C ⊥. （1）求1A A 的长度；
（2）求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值.
22． 已知函数2()ln ,.a
f x x a R x
=+
∈ （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,]e 是的最小值为3，求实数a 的值.
参考答案
13. 3
； 14
15. [2,3)-；
16．①②③，(,0]-∞； 三、解答题
17． 解：（1） 22⨯列联表补充如下：
根据列联表中的数据，得到2K 的观测值
2
2
60(2717313)14.730302040
K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，
因为14.7 2.706>
所以有0090的把握认为学生按成绩分组与性别有关. （2）因为甲组有
40人，乙组有20人， 若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人， 则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，
从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为242620
121
C P C =-=,
答：至少有1人在甲组的概率为20.21
18．解：（1）由题意可知：直线2AF 的方程为1,0x y
bx cy bc c b
+=-++=-即， 22
bc =
= 又因为12MF F ∆为等腰直角三角形，所以b c =，
1a b c ∴=
==，
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=；
（2）联立2
22
1
13210,131
2
y x y y y y x y =-⎧⎪⇒+-=∴=-=⎨+=⎪⎩或 所以2211()
13
.1(1)3
MF NF -==--
19．解：（1）证明：①当1n =时，
1111121,211,0,11n n S a n a S a a a =+-∴==+-∴=∴+=
②当2n ≥时，
11121,21(1)22n n n n n S a n S a n a n ---=+-∴=+--=+-，
111221,21n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=--∴=+，
则111
12(1),=21
n n n n a a a a --++=++即
，
所以数列{}1n a +是以1为首项，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可得：1111(1)22()n n n a a n N --*
+=+⋅=∈,
1(1)2()n n n b n a n n N -*∴=+=⋅∈， 01231
122232422n n T n -∴=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅①
12312122232(n 1)22n n
n T n -=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅②
①减去②得：
00123
1
2(12)
(22222
)22(1)2112
n n n
n n n T n n n -⋅--=++++
+-⋅=-⋅=-⋅--，
(1)21n n T n ∴=-⋅+.
20．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院”为事件A ，
7名医学专家被分配到“雷神山”、“火神山”两家医院共有72128=种等可能的基本事件，
其中事件A 包含2
721C =种情况，
所以21()128
P A =
， 答：7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为
21128
； （2）若要求每家医院至少1人共有722126-=种等可能的基本事件，
随机变量ξ的所有取值为1,3,5，
3477705
(1)1261269C C P ξ+====,
2577421
(3)1261263C C P ξ+====,
1677141
(5)1261269
C C P ξ+====,
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 1 3 5
P
5
9
1
3 19
数学期望()1359399
E ξ=⨯+⨯+⨯=,
答：数学期望()E ξ的值为19
.9
21．解：（1）在ABC ∆中，4,42AC BC AB ===， 则222AB AC BC =+，所以090ACB ∠=， 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA a =，
则1(4,0,0),(0,4,0),(0,0,0),A (4,0,),B(0,4,),M(2,2,0)A B C a a ， 所以11(2,2,),(0,4,)AM a BC a =--=--，
因为11,(2)02(4)()()0A M B C a a ⊥∴-⨯+⨯-+-⨯-=， 解得122,a AA =即的长为22； （2）由（1）知，1(0,0,2)C ， 由N 是1CC 的中点，得(0,0,2)N ， 所以11(4,4,22),(0,4,2)B A B N =-=--， 设平面1B AN 的法向量1111(,,)n x y z =， 由1111,n B A n B N ⊥⊥，
得11111144220,(1,1,22)420
x y z n y z ⎧-++=⎪=-⎨--=⎪⎩取，
又1
(0,4,22),(2,2,0)BC CM =--=，
设平面1B MC 的法向量2222(,,)n x y z =， 由212,n BC n CM ⊥⊥，
得2122240,(1,220
y n x y ⎧--=⎪
=-⎨
+=⎪⎩取 ， 设平面1AB N 与平面1B MC 所成锐二面角的大小为θ ， 则121212
310
cos cos ,n n n n n n θ
⋅=<>=
=
⋅ ， 所以平面1AB N 与平面1B MC
22．解：（1）由22122()0a x a f x x x x
-'=
-=≥在[2,)+∞上恒成立， 即2a x ≤在[2,)+∞上恒成立， 所以22,1a a ≤∴≤；
（2）由22()0,2x a
f x x a x -'===得，
①当1
212a a ≤≤，即时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,]e 上单调递增，
所以min 231
()(1)23,122a f x f a a ====∴=>，舍去，
②当22
e
a e a ≥≥，即时，()0f x '≤，所以()f x 在[1,]e 上单调递减，
所以min 2()()13,2
a e
f x f e a e e ==+=∴=>，符合条件，
③当112
e
a e a <<<<
，即时，可列下表：
所以2min
2()(2)ln(2)3,222
a e e
f x f a a a a ==+=∴=>，舍去，
综上所述，.a e =。