2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.1曲线与方

2.6.1 曲线与方程
学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．
知识点曲线与方程的概念
思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．
梳理如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件②，即完备性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．
1．过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3.(√)
2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－2.(×)
3．方程x
y－2
＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．(×)
类型一 曲线与方程的概念
例1 命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号) ①方程f (x ，y )＝0的曲线是C ； ②方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ； ③f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；
④以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上． 答案 ②
解析 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．
反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
跟踪训练1 设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，给出下列命题： ①坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ②曲线C 上的点的坐标都不满足方程f (x ，y )＝0；
③坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上； ④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0. 其中判断正确的是________．(填序号) 答案 ④
解析 “坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，
y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”
两种情况，故①③错，②显然错． 类型二 点与曲线的位置关系
例2 方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0表示的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5
3，－74，D (8,0)中的________个．
答案 2
解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，
∴A (0，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5
3
，－74不符合要求；
将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．
反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可． 跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2
＋y 2
＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．
解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 2
0＋y 2
0＝5，也就是x 2
0＋y 2
0＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2
＋y 2
＝25的解．
(2)设(x 0，y 0)是方程x 2
＋y 2
＝25的解，那么x 2
0＋y 2
0＝25，两边开方取算术平方根，得x 2
0＋y 2
0＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点． 由(1)，(2)可知，x 2
＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．
把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2
＋y 2
＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点
M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，(－25，
2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上． 类型三 曲线与方程关系的应用
例3 判断下列结论的正误，并说明理由． (1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；
(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；
(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.
解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误． (2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．
(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．
反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．
跟踪训练3 若曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2
＋a 2
＋2a ＋k ＝0.
∴k ＝－2a 2
－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12
.
∴k ≤12
，
∴k 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12.
1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0； ②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；
④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0. 答案 ③
2．已知方程9(x －1)2＋y
2
4＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)
①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1) 答案 ①③
解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．
3．若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2，－m 在方程x 2＋(y －1)2
＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.
答案 －18
5
或2
解析 依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22
＋(－m －1)2
＝10，
解得m ＝2或m ＝－18
5.
所以m 的值为2或－18
5
.
4．方程4x 2
－y 2
＋6x －3y ＝0表示的图形为________． 答案 两条相交直线
解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，
∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0. 5．方程(x 2
－4)2
＋(y 2
－4)2
＝0表示的图形是________．
答案 4个点
解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－4＝0，
y 2
－4＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，y ＝2
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2，y ＝－2
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－2，y ＝－2，
∴方程(x 2
－4)2
＋(y 2
－4)2
＝0表示的图形是4个点．
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
一、填空题
1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号) ①一条直线 ②一条射线 ③一条线段 ④不能确定
答案 ②
解析 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线．
2．曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是________．(填序号) ① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4) 答案 ③
解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．
3．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________． 答案 2
解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，
故其面积为2.
4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)
①y ＝a log a x ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x
；④y ＝3x 3. 答案 ③④
解析 由y ＝log a a x
＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线． 5．方程(x －1)2
＋y －2＝0表示的是____________． 答案 点(1,2)
解析 由(x －1)2
＋y －2＝0，知(x －1)2
＝0，且y －2＝0，即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2
＋y －2＝0表示的是点(1,2)．
6．若点M 到两坐标轴的距离的积为2016，则点M 的轨迹方程是________． 答案 xy ＝±2016
解析 设M (x ，y )，则由题意得|x |·|y |＝2016， 所以xy ＝±2016.
7．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2
＝4x ，则“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分
解析 由(kx ＋1)2
＝4x ，得k 2x 2
＋2(k －2)x ＋1＝0， 则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2
－4k 2
＝16(1－k )>0， 得k <1且k ≠0，
故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件． 8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 2
4＝1有一个公共点，则k 的值为________．
答案 ±
54
解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋3，x 216＋y
2
4
＝1，消去y 并整理，得
(4k 2
＋1)x 2
＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2
－5)＝0， 即k ＝±
5
4
时，直线与椭圆有一个公共点． 9．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法： ①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0； ②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；
③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上； ④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．
其中正确的是________．(填序号) 答案 ④
10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________． 答案 4π
解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ， ∴(x ＋2)2
＋y 2
＝4(x －1)2
＋4y 2
， ∴(x －2)2
＋y 2
＝4.
∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， ∴所围成的面积S ＝π·22
＝4π.
11．下列命题正确的是________．(填序号)
①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；
③曲线2x 2
－3y 2
－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案 ③
解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的． 二、解答题
12．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2
，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．
解 由x ＝4－y 2
，得x 2
＋y 2
＝4.
又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2
表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝1
2π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，
y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．
证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，
所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，
y 0)＝0，
故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解， 故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上． 三、探究与拓展
14．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2
＝0；④x
y
＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． 答案 ①
解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2
－y 2
＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y
＝1. 15．方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，
所以可得⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3y －5＝0，
x －3≥0，
或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方
程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。