2019年数学选修1-1常考题1841

2019年数学选修1-1常考题
单选题（共5道）
1、已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（）
A
B2
C或2
D或
2、若双曲线的渐近线l方程为，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为（）
A2
B
C
D2
3、函数y=f（x）的图象过原点且它的导函数y=f′（x）的图
象是如图所示的一条直线，y=f（x）的图象的顶点在（）
A第Ⅰ象限
B第Ⅱ象限
C第Ⅲ象限
D第Ⅳ象限
4、已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+x2，则f′（1）=
[]
A-1
B-2
C1
D2
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；
其中真命题的个数是
[]
A4
B3
C2
D1
简答题（共5道）
6、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。

7、设函数f（x）=e2x-4aex-2ax，g（x）=x2+5a2，a∈R
（1）若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（2）记F（x）=f（x）+g（x），求证：F（x）≥．
8、已知函数（x∈R），其中a∈R，
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；(Ⅱ)当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值。

9、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。

10、（本小题满分12分）
求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。

填空题（共5道）
11、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且
的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是．
12、函数（0＜x＜1）的最小值为______．
13、函数在区间上的最大值是．
14、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且
的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是．
15、设为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且
的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是．
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1-答案：tc
解：∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=-3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是=2．则离心率为或2．故选C．
2-答案：tc
解：∵双曲线的渐近线方程为，∴解得：m=5，∴双曲线的焦点坐标为：（-，0），（，0）所以根据距离公式可得：焦点F到渐近
线的距离==．故选C．
3-答案：tc
解：由导函数的图象和y=f（x）的图象过原点，设f（x）=ax2+bx，所以f′（x）=2ax+b，由图得a＞0，b＞0，则＜0，=＜0则函数f（x）=ax2+bx 图象的顶点（，）在第三象限，故选：C．
4-答案：B
5-答案：B
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1-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略
2-答案：解：（1）f′（x）=2e2x-4aex-2a=2（ex-a）2-2a2-2a；当a≤0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，当ex=a时，-2a2-2a＜0，故不存在a，使2（ex-a）2-2a2-2a≥0恒成立；故a的取值范围为（-∞，0]；
（2）证明：F（x）=f（x）+g（x）=e2x-4aex-2ax+x2+5a2=（ex-2a）2+（x-a）2，
（ex-2a）2+（x-a）2可看成函数y=ex与y=2x上的点的距离的平方；故令y′=ex=2得，x=ln2，故点的坐标为（ln2，2）；故d=；故F（x）≥（）
2=．
解：（1）f′（x）=2e2x-4aex-2a=2（ex-a）2-2a2-2a；当a≤0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，当ex=a时，-2a2-2a＜0，故不存在a，使2（ex-a）2-2a2-2a≥0恒成立；故a的取值范围为（-∞，0]；
（2）证明：F（x）=f（x）+g（x）=e2x-4aex-2ax+x2+5a2=（ex-2a）2+（x-a）2，
（ex-2a）2+（x-a）2可看成函数y=ex与y=2x上的点的距离的平方；故令y′=ex=2得，x=ln2，故点的坐标为（ln2，2）；故d=；故F（x）≥（）
2=．
3-答案：解：(Ⅰ)当a=1时，，又
，所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的
切线方程为，即6x+25y-32=0。

(Ⅱ)
，由于a≠0，以下分两种情况讨论， (1)当a ＞0时，令f′（x）=0，得到，当x变化时，f′（x），f（x）的变化
情况如下表：所以f（x）在区间
内为减函数，在区间内为增函数，函数f（x）在处取得极小值；函数f（x）在处取得极大值f（a），且f（a）=1； (2)当a＜0时，令f′（x）=0，得到，当x变化时，f′（x），f（x）的
变化情况如下表：所以f（x）在区间
内为减函数，在区间内为增函数，函数f（x）在处取得极
大值f（a），且f（a）=1；函数f（x）在处取得极小值。

4-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略
5-答案：设所求双曲线的方程为，将点代入得，所求双曲线的标准方程为略
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1-答案：试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的左右焦点分
别为F1，F2，P为双曲线左支上的任意一点，∴|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，∴(当且仅当时取等号)，所以
|PF2|=2a+|PF1|=4a，∵|PF2|-|PF1|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，所以e∈（1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。

解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。

2-答案：9
解：由题意得，==，令f′（x）=0，即3x2+2x-1=0，解得x=-1或，当0＜x时，f′（x）＜0；当x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上递减，在（，1）上递增，则当x=时，函数取到最小值为=9，故答案为：9．
3-答案：试题分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间[
上的极值，本题极大值就是最大值．解：∵y=x+2cosx，∴y′=1-2sinx，令y′=0而x∈[0，]则x=当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．
4-答案：试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上的任意一点，∴|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，∴(当且仅当时取等号)，所以
|PF2|=2a+|PF1|=4a，∵|PF2|-|PF1|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，所以e∈（1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。

解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。

5-答案：试题分析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上的任意一点，∴|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，∴(当且仅当时取等号)，所以
|PF2|=2a+|PF1|=4a，∵|PF2|-|PF1|=2a＜2c，|PF1|+|PF2|=6a≥2c，所以e∈（1，3]。

点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。

解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。