新课标版2019年全国各地中考真题分类详解 - —— 与圆有关的位置关系

新课标版2019年全国各地中考真题分类详解
与圆有关的位置关系
一、选择题 5．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．54 ° B ．36° C ．32 ° D ．27°
（第5题）
【答案】D
【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC =∠AOB =27°，故选D ． 1. （2019·无锡）如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ） A.20° B.25° C.40° D.50°
【答案】B 【解析】∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA
⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =
OB ，∴∠B =∠OAB
=∠AOP =25°．故选B ．
2.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直
线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）
x y
O
-6O
O B
C
A A
B
E F
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】∵A（8，0），B（0，8），∠AOB=900，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=，∠OBA=450，
取D（-5，0），当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时，∵线段DH是Rt△CFD斜边上中线，
∴DH=CF=10，
故D在以H为圆心,半径为5的圆上运动，
当AD与圆H相切时，△ABE的面积最小.
在Rt△ADH中，AH=OH+OA=13,
∴AD=.
∵∠AOE=∠ADH=900，∠EAO=∠HAD，
∴△AOE∽△ADH，
∴，即，
∴OE=，
∴BE=OB-OE=.
∵S△ABE=BE·OA=AB·EG，
∴EG=.
在Rt△BGE中，∠EBG=450，
∴BG=EG=，
∴AG=AB-BG=.
在Rt△AEG中，
tan∠BAD=.
故选B.
3. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC
相切,则 O的半径为( )
A. B.3 C.4 D.4
【答案】A
【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,
∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO＝OA,又∵在Rt△AOB中,
AO==∴OD＝故选A.
4.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，
若∠C＝40°则∠B的度数为（）
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
【答案】Ｂ
【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC 是⊙O 的切线，A 为切点，所以∠BAC ＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C ＝40°则∠B 的度数为50°. 故选Ｂ．
5. （2019·重庆A 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交
于点D ，连结
OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD
的度数为
（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．80°
D ．100°
【答案】C
【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．
二、填空题
1.（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号） ①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ； ③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为
3
； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM
．
A
【答案】①②④
【解析】连接OM，BM
∵PE是⊙O的切线，
∴OM⊥PE．
∵AC⊥PE，
∴AC∥OM．
∴∠CAM＝∠AMO．
∵OA＝OM，
∴∠AMO＝∠MAO．
∴∠CAM=∠MAO．
∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，
∴∠AMB=90º=∠ACM．
∵∠CAM=∠MAO，
∴△AMC∽△ABM．
∴AC AM AM AB
=．
∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，
∴∠MOP=60°．
∵AB=4，
∴半径r=2．
∴
6022
1803
BM
l
π
π
⨯
==．选项③错误；
∵BD ∥OM ∥AC ，OA =OB ， ∴CM =MD ．
∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°， ∴∠CAM ＝∠BMD ． ∵∠ACM =∠BDM =90°， ∴△ACM ∽△MDB ． ∴
AC CM
DM BD
=． ∴CM ·DM =3×1=3．
∴CM =DM
综上所述，结论正确的有①②④．
2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，O 在△ABC 内自由移动，
若
O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为
10
3
，则△ABC 的周长为__________.
【答案】25
【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1
得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53
，O 2O 3=4，O 1O 3=
13
3
，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四
边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =2
3
，ED =1，∴
ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =5
3
，解得m =
5
6
，△ABC 的周长=30m
=25.
3. （2019·济宁）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC
，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是．
【解析】在Rt △ABC
中，∵tan BC A AC =
=，∴∠A ＝30°． ∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ． 设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r
=
=-，解得r
＝3
2，
∴阴影的面积是S ＝60360×π×
)2＝6－33
4π．
4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB
中，OA =OB =O 的半径为2，点P 是
AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点
Q 为切点），则线段PQ 长的最
小值为．
A
C
【答案】【解析】连接OQ ，如图所示，
∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段
PQ 最短，
∵在Rt △AOB 中，OA=OB=OA=8，∴S △AOB =
12OA•OB=1
2
AB •OP ，即OP=OA OB
AB
∙=4，
∴PQ=
5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线
段AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.
【答案】
13
2
或【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论:
①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在;
②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P
为AD 中点,∴AP ＝113
=22
AD ;
③当
P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△
APF ∽△ADG ∽△ABC,∴
PF AC AP AB
=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB
＝
,∴AP
＝综上所述,AP 的长为13
2
或
三、解答题 23．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°． 在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ． ∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．
又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线； （2）由半径为8，所以OA =OB =8．
在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝
．
由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝
∴∆OBD 的面积为
12
OAB 的面积为1
6×π×82＝323
π， ∴阴影部分的面积为
－
323
π
． 24．（2019·淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，垂足为E.
(1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF 的长
.
第24题图
【解题过程】（1）直线DE与⊙O相切.理由如下：
第24题答图1
如图所示，连接OD，则OA=OD，
∴∠ODA=∠BAD.
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠BAD.
∴∠FAD=∠ODA，
∴OD∥AF.
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴直线DE与⊙O相切.
（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
第24题答图1
∵AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°， ∴∠FAD=∠BAD=30°，∠B=60°， ∴∠DFE=∠B=60°. ∵⊙O 的半径为2， ∴AB=4，
∴322
3
430cos =⨯
=︒⋅=AB AD ， ∴32
1
3230sin =⨯
=︒⋅=AB DE ， ∴13
3
60tan ==︒=
DE EF .
22．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．
【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ，
∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．
（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB
＝＝5，
图6
C
B
O
E
D
C
B
A
∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴
BD OD BC AC =
，∴43
8AC
=，∴AC ＝6．
21．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，
分别交AM 、BN 于D 、C 两点 （1） 如图1，求证：AB 2
＝4AD ·BC
（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积
图 1
图2
【解题过程】 证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ． ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，
∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝1
2
∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝
1
2
（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．
∴
OE EC
ED OE
=
，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2
＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，
∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

∵OE ⊥CD ，∴CD 垂直平分OF ．
∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠OFD ＝30°，∠BOE ＝120°．
∴3tan30AD
r OA ===，BC ＝OB ⋅tan60°＝3．
∴S 阴影＝2S △OBC －
S 扇形OBE ＝π．
图1 图2
26．（2019·陇南）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 在BC 边上，⊙D 经过点A 和点B 且与BC 边相交于点E ． （1）求证：AC 是⊙D 的切线； （2）若CE ＝2
，求⊙D 的半径．
（1）证明：连接AD ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°， ∵AD ＝BD ，
∴∠BAD ＝∠B ＝30°， ∴∠ADC ＝60°，
∴∠DAC ＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AC 是⊙D 的切线； （2）解：连接AE ， ∵AD ＝DE ，∠ADE ＝60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝DE ，∠AED ＝60°， ∴∠EAC ＝∠AED ﹣∠C ＝30°， ∴∠EAC ＝∠C ， ∴AE ＝CE ＝2
，
∴⊙D的半径AD＝2．
24．(2019·泰州,24题,10分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,D为弧AC 的中点,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为5,AB＝8,求CE的长.
第24题图
【解题过程】(1)DE为⊙O的切线,理由如下:连接O D,∵AC为⊙O的直径,D为弧AC的中点,∴弧AD＝弧CD,所以AD＝DC,因为AO＝OC,所以OD⊥AC,∴∠AOD＝∠C OD＝90°,又∵DE∥AC,∴∠EDO＝∠A OD＝90°,所以OD⊥DE,∴DE为⊙O的切线;
第24题答图
(2)∵DE∥AC,∴∠EDC＝∠ACD,∵∠ACD＝∠ABD,所以∠EDC＝∠ABD,又∵∠DCE＝∠
BAD,∴△DCE∽△BAD,CE DC
AD AB
,∵半径为5,∴AC＝10,∵D为弧AC的中点,∴AD＝CD
＝∴CE＝25 4
1. （2019·金华）如图，在Y OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D.
（1）求
»BD的度数；
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F.若EF=AB，求∠OCE的度数.
解：1）连结OB．
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形
∴OA∥BC，∴OB⊥OA．
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠ABO＝45°．
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠ABO＝45°．
∴BD的的度数为45°；
（2）连结OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，∵OH⊥EC，
∴EF＝2HE＝2t，
∵四边形OABC是平行四边形
∴AB＝CO＝EF＝2t，
∵△AOB是等腰直角三角形．
∴⊙O的半径OA
．
∴在R t△EHO中，OH
＝t
在R t△OCH中，∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°．
2.（2019·湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(－3，0)、
B(0，3)．
（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
（2）如图2，已知直线l2：y＝3x－3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2
上的一个动点，以Q为圆心，
为半径画圆．
C
C
①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
②设⊙Q与直线l1相交于点M，N，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，
使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说
明理由．
解：（1）如答图1，连接PO、PB．
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴AB⊥BP．
∵A(－3，0)、B(0，3)，
∴OA＝OB＝3．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°．
∴∠PBO＝45°．
∵PB＝PO，
∴∠OPB＝90°．
在Rt△POB中，由sin∠PBO＝PO
OB
，得PO＝OB•sin∠PBO＝3×sin45°＝
2
．
∴⊙P的直径为．
（2）①如答图2，过点C作CE⊥AB于点E．易知C(1，0)，从而AC＝3＋1＝4．
在Rt△ACE中，由sin∠CAE＝CE
AC
，得CE＝AC•sin∠CAE＝4×sin45°
＝．
∵⊙Q的半径为，且点Q与点C重合，
∴⊙Q与直线l1相切．
②假设存在符合条件的等腰直角三角形，令直线l1、l2相交于点F．
易求直线AB的解析式为y＝x＋3．
分两种情况讨论如下：
若点Q在线段CF上，如答图3，由∠MNQ＝∠NAG＝45°，得∠
AGN＝90°，从而点Q、N两点的横坐标相等，不妨令Q(m，3m
－3)，则N(m，m＋3)，于是由NQ＝，得(m＋3)－(3m－3)＝
，解得m ＝3，故Q (3，6－)．
若点Q 在线段CF 的延长线上，如答图4，由可知(3m －3)－(m ＋3)＝，
解得m ＝3，故Q (3，6＋)．
综上，存在符合条件的点Q 有两个：Q 1(3，6－)，Q 2(3，
6＋)．
3. （2019·天津）已知PA,PB 分别与⊙O 相切于点A,B ，∠APB=80°，C 为⊙O 上一点， (1)如图①，求∠ACB 的大小；
(2)如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB=AD ，求∠EAC 的大小.
解：（1）如图，连接OA,OB ∵PA,PB 分别是切线 ∴OA ⊥PA,OB ⊥PB, 即∠PAO=∠PBO=90° ∵∠APB=80°
∴在四边形OAPB 中，∠AOB=360°-90°-90°-80°=100° ∴∠ACB=
2
1
∠AOB=50°.
（2）如图，连接CE, ∵AE 为直径， ∴∠ACE=90°，
由（1）知，∠ACB=50°， ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°， ∴∠BAE=∠BCE=40°， ∵在△ABD 中，AB=AD, ∴∠ADB=∠ABD=70°
∵△ACD中，∠ADB是外角，
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°
24．（2019·娄底）如图（12），点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线．
（2）求证：CD BE AD DE
=．
【解题过程】
证明：（1）如图，连结OD，
∵在⊙O中，有OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
又∵DC⊥AC
∴∠ADC+∠ADO＝90°
∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD；
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）如图，连结BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°．
又∵DC⊥AC
∴∠ACD ＝∠BDE．
∵BE为⊙O的切线，DC⊥AC，AD平分∠BAC，
∴∠E＝∠ADC
∴△ACD∽△BDE
∴CD DE AD BE
=
∴CD BE AD DE
=．
4. （2019·攀枝花）
如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心O（保留作图痕迹，不写做法）
如图2，设AB是该残缺圆⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAB的角平分线AD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；（2）若DE＝3，AC＝2，求残缺圆的半圆面积．
解：图1问题解答如下:如图，
点即为所求．
图2问题解答如下：
（1）证明：连接OD 交BC 于H ． ∵AB 是该残缺圆⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∵DE 为⊙O 的切线 ∴OD ⊥DE ． ∵AD 平分∠CAB ∴∠CAD ＝∠DAB ． ∵OD ＝OA ,
∴∠DAB ＝∠ODA ＝∠CAD ． ∴OD ∥AE ． ∴AE ⊥DE ．
（2）∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB ＝90°． ∵OD ∥AE , ∴OD ⊥BC ．
图1
图2
∴BC ＝2CH ．
∴四边形CEDH 为矩形． ∵DE ＝3，
∴CH ＝ED ＝3,∴BC ＝6, ∵AC ＝2，
∴AB ＝
∴AO ∴S 半圆＝1
2
π·AO 2＝5π．
5. （2019·凉山）
如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F . （1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若OB =BF ，EF =4，求 AD 的长.
解：（1）证明：连接OD .∵⊙O 的切线，∴BC ⊥OB ，∴∠OBC =90°.∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∵∠ADB +∠CDB =180°，∴∠CDB =90°.∵E 是BC 的中点，∴ED =EB =
2
1
BC ，∴∠EDB =∠EBD .∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∴∠ODF =∠OBC =90°,∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；
（2）由（1）知∠ODB =90°，∵OD =OB =BF ，∴sin ∠F =
2
1
=OF OD ,∴∠F =30°，∵∠DOB +∠F =90°，∴∠DOB =60°，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD =60°，∴tan ∠OBD =
BD
AD
=3，∴AD =3BD .∵BC ⊥AF ，∴
=BF BE sin ∠F =2
1
,∵EF =4，∴BE =2，∴BF =22BE EF -=23=OB =DB ，∴AD =3BD =6.
6.（2019·乐山）已知关于x 的一元二次方程04)4(2
=++-k x k x . （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足
4
31121=+x x ，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求∆
Rt ABC 的内切圆半径.
解：（1）证明： 0)4(16816)4(2
2
2
≥-=+-=-+=∆k k k k k ， ∴无论k 为任何实
数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， 431121=+x x
，4
3
2121=⋅+∴x x x x ，即4
3
44=+k k ， 解得：2=k ； （3）解方程得：41=x ，k x =2， 根据题意得：2
2
2
54=+k ，即3=k ， 设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：5)4()3(=-+-r r ，∴直角三角
形ABC 的内切圆半径r =
12
5
43=-+；
第23题答图
24．（2019·乐山）如图，直线l 与⊙O 相离，l OA ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5=OA .
C 是直线l 上一点，连结CP 并延长交⊙O 于另一点B ，且AC AB =. （1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，求线段BP 的长.
第24题图
解：
证明：(1)如图，连结OB ，则OB OP =，∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠，
AC AB =，ABC ACB ∠=∠∴，而l OA ⊥，即︒=∠90OAC ，
︒=∠+∠∴90CPA ACB ，即︒=∠+∠90OBP ABP ，︒=∠∴90ABO ， AB OB ⊥∴，故AB 是⊙O 的切线；
(2)由(1)知：︒=∠90ABO ，而5=OA ，3==OP OB ，由勾股定理，得：4=AB ， 过O 作PB OD ⊥于D ，则DB PD =， 在ODP ∆和CAP ∆中，CPA OPD ∠=∠ ，
︒=∠=∠90CAP ODP ，ODP ∆∴∽CAP ∆， CP
OP
PA PD =∴
， 又4==AB AC ，2=-=OP OA AP ，5222=+=∴AP AC PC ，55
3
=⋅=
∴CP PA OP PD ，55
6
2=
=∴PD BP . 4
3
l
7. （2019·达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC 于点E，过点D作直线DF∥BC.
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，AE=
53
12
，CE=
57
4
，求BD的长.
解：(1)DF与O相切.
理由：证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD CD
，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，所以DF为⊙O的切线．
（2）∵∠EAC=∠DBE，∠C=∠ADB l
∴△AEC ∽△BED ∴
DE
BE
EC AE = ∵5312=
AE 5
7
4=EC ∴5
7
453
12=DE BE 721
3=
∵∠BDE=∠ADB ∠DBE=∠BAD ∴△ABD ∽△BED ∴
DE BE
BD AB = ∴
=BD
67213
∴3
212=
BD
8. (2019·枣庄)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作O ，点D 为O 上一
点，且CD ＝DB ，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E. (1)判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由； (2)若BE ＝2，DE ＝4，求圆的半径及AC 的长.
解：(1)连接CO ∵点D 在圆上,∴OD ＝OB,∵CD ＝CB,CO ＝CO,∴△COD ≌COB(SSS),∵∠ABC ＝90°,∴∠D ＝∠ABC ＝90°,∴OD ⊥DC,∴直线CD 与O 相切;
(2)设OD ＝OB ＝x,∵DE ＝4,∴OE ＝4－x,在Rt △OBE 中,BE 2+BO 2＝OE 2,即22+x 2＝(4－x)2,解之,得,x ＝1.5,∴OD ＝OB ＝1.5,AB ＝2OB ＝3,∵CB,CD 是圆的切线,∴设CB ＝CD ＝y,在Rt △CDE
中,CD2+DE2＝CE2,即y2+42＝(y+2)2,解之,得,y＝3,∴BC＝3,在Rt△ABC中,AC 5.
9.(2019·聊城)如图,△ABC内接于O,AB为直径,作OD⊥AB于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.
(1)求证：EC＝ED；
(2)如果OA＝4,EF＝3,求弦AC的长.
解：(1)连接OC,∵CE与O相切,OC是O的半径,∴OC⊥CE,∴∠OCA+∠ACE＝90°,∵OA ＝OC,∴∠A＝∠OCA,∴∠ACE+∠A＝90°,∵OD⊥AB,∴∠ODA+∠A＝90°,∵∠ODA＝∠CDE,∴∠CDE+∠A＝90°,∴∠CDE＝∠ACE,∴EC＝ED;
第24题答图
(2)∵AB为直径,∴∠ACB＝90°,在Rt△DCF中,∠DCE+∠ECF＝90°,∠DCE＝∠CDE,∴∠CDE+∠ECF＝90°,∵∠CDE+∠F＝90°,∴∠ECF＝∠F,∴EC＝EF,∵EF＝3,∴EC＝DE＝3,在Rt△OCE
中,OC＝4,CE＝3,∴OE＝＝5,∴OD＝OE－DE＝2,在Rt△OAD中,AD＝
,在Rt△AOD和Rt△ACB中,∵∠A＝∠A,∴Rt△AOD∽Rt△ACB,∴
AO AD AC AB
,∴AC .。