最新牧场管理-数学建模

摘要
本文共分两个模型，分别针对放牧的羊数和每年保留的羊数，夏季要供给冬季的草量进行讨论
第一个模型，我们以养一种羊的方式，即第一年只养1龄羊，第二年只养2龄羊（小羊在秋季卖出），而到第五年的时候将所有的5龄羊全卖，第六年又重新循环。

如此再根据所给的条件来对牧场所能放牧多少羊进行求解
第二个模型，在第一个模型的前提下，我们改进第一个模型，因为我们计算出秋季草量过剩而春季不足，，而且考虑到鲜草和甘草的转化问题，所以我们提出相应的假设进行求解。

最后在第二个模型的基础上，分别回答题目所提的三个问题。

关键词: 线性规划优化牧场管理
一、问题重述
有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用.
为解决这些问题调查了如下的背景材料：
（1）本地环境下这一品种草的日生长率为
季节冬春夏秋
日生长率（g/m2） 0 3 7 4
（2）羊的繁殖率通常母羊每年产1~3只羊羔，5岁后被卖掉。

为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。

每只母羊的平均繁殖率为
年龄 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
产羊羔数 0 1.8 2.4 2.0 1.8
（3) 羊的存活率不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为
年龄 1~2 2~3 3~4
存活率 0.98 0.95 0.80
（4）草的需求量母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为
季节冬春夏秋
母羊 2.10 2.40 1.15 1.35
羊羔 0 1.00 1.65 0
二、模型建立与分析
针对以上问题，我们对其数据进行了分析，并建立了线性规划模型，以下是我们的建模过程：
（一）、按照以下假设建模：
1.1、模型假设：
（1）只考虑羊的数量，不考虑体重。

（2）母羊只在春季产羊羔，公母羊羔各占一半，当年秋季将全部公羊羔和部分母羊羔卖掉，以保持母羊（每个年龄的）数量不变。

（3）假设牧场的面积为:A=10000002m；
1.2、符号说明：
0—0.5年龄段母羊羔为：x0
0.5—1年龄段母羊为：x1
1—2年龄段母羊为：x2
2—3年龄段母羊为：x3
3—4年龄段母羊为：x4
4—5年龄段母羊为：x5
春季产草量：n1
夏季产草量：n2
秋季产草量：n3
冬季产草量：n4
春季羊吃草总量：m1
夏季羊吃草总量：m2
秋季羊吃草总量：m3
冬季羊吃草总量：m4
1.3、计算各个年龄段羊的数量：
x2=x1;
由1—2年龄段母羊存活率为0.98可得：
x3=0.98x2；
由2—3年龄段母羊存活率为0.95可得：
x4=0.95*x3；
由3—4年龄段母羊存活率为0.80可得：
x5=0.80*x4；
每年龄段的母羊所生羊羔数的总和：
x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5；
1.4、计算每季节的产草量：
n1=90*3*A/1000（kg）；
n2=90*7*A/1000（kg）；
n3=90*4*A/1000（kg）；
n4=0（kg）；
1.5、计算每季节羊吃草量：
m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90(kg)
m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90(kg)
m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90(kg)
m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90(kg)
1.6、一年下来羊吃的草量不能大于一年草的总产量
m3
+
+
+
m1
m4
m2
n1
+
n4
n3
+
+
n2
<=
1.7、所要求的羊的总数为：
max=x1+x2+x3+x4+x5
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧n4
+n3+n2+n1<=m4+m3+m2+m190*2.1*x5)+x4+x3+x2+(x1=m490
*1.35*x5)+x4+x3+x2+(x1=m390*1.65*x0+90*1.15*x5)+x4+x3+(x2=m290*1*x0+90*2.4*x5)+x4+x3+(x2=m10
=n4A/1000*4*90=n3A/1000
*7*90=n2A/1000*3*90=n1x5
*1.8+x4*2.0+x3*2.4+x2*1.8=x00.80x4=x50.95x3
=x40.98x2=x3x1
=x2100000=A
由上述线性规划模型可得出：
解得：
A=1000000
x0=2118
x1=288
x2=288
x3=282
x4=268
x5=214
m1=418052.2752
m2=423515.32992
m3=162915.7536
m4=253424.5056
n1=270000
n2=630000
n3=360000
n4=0
所以，每年所保留下来的母羊羔为288(x1),此牧场能放牧的羊数为1340只（x1+x2+x3+x4+x5）。

但此模型缺少夏季供给冬季的草量，再加上考虑鲜草向甘草的转化率，因此我们引入模型二。

（二）、在模型一的基础上，我们加上如下条件：
仔细观察上面模型，可以发现一个问题，我们不难发现草的产量每个季节是不一样的，尤其冬季草是完全不生长的，所以必须调节每季节的草，于是，我们添加假设：
2.1、模型假设：
（4）春季秋季生长出的草自给自足
（5）冬季所需的草由夏季提供
（6）夏季保存到冬季的草重量不变，只剩50%的能量
2.2、符号说明：
0—0.5年龄段母羊羔为：x0
0.5—1年龄段母羊为：x1
1—2年龄段母羊为：x2
2—3年龄段母羊为：x3
3—4年龄段母羊为：x4
4—5年龄段母羊为：x5
春季产草量：n1
夏季产草量：n2
秋季产草量：n3
冬季产草量：n4
春季羊吃草总量：m1
夏季羊吃草总量：m2
秋季羊吃草总量：m3
冬季羊吃草总量：m4
夏季保存给冬季的草的质量：t
2.3、计算各个年龄段羊的数量：
x2=x1;
由1—2年龄段母羊存活率为0.98可得：
x3=0.98x2；
由2—3年龄段母羊存活率为0.95可得：
x4=0.95*x3；
由3—4年龄段母羊存活率为0.80可得：
x5=0.80*x4；
每年龄段的母羊所生羊羔数的总和：
x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5；
2.4、各季节羊的吃草量
春季羊的吃草量：m1=x0*1*90+(x2+x3+x4+x5)*2.4*90 (kg)
夏季羊的吃草量：m2=x0*1.65*90+(x2+x3+x4+x5)*1.15*90 (kg) 秋季羊的吃草量：m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90 (kg)
冬季羊的吃草量：m4=2*(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90 (kg)
计算每季节的产草量：
n1=90*3*A/1000（kg）；
n2=90*7*A/1000（kg）；
n3=90*4*A/1000（kg）；
n4=0（kg）；
春季羊的吃草量不能大于本季节产草量：
m1<=n1
夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量加上留给冬季的草量：
m2+t<=n2
秋季羊的吃草量不能大于本季节产草量：
m3<=n3
冬季羊的吃草量等于夏季留下来的草量：
m4=t
通过以上分析可以得到如下
max x1+x2+x3+x4+x5
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧t
=m4n3<=m3n2<=t +m2n1<=m190*2.1*x5)+x4+x3+x2+(x1*2=m490*1.35*x5)+x4+x3+x2+(x1=m390
*1.65*x0+90*1.15*x5)+x4+x3+(x2=m290*1*x0+90*2.4*x5)+x4+x3+(x2=m10
=n4A/1000*4*90=n3A/1000*7*90=n2A/1000*3*90=n1x5
*1.8+x4*2.0+x3*2.4+x2*1.8=x00.80x4=x50.95x3
=x40.98x2=x3x1=x2100000=A
解得：
x0=1367
x1=186
x2=186
x3=182
x4=172
x5=137
m1=269992.0944
m2=273520.31724
m3=105216.4242
m4=327339.9864
n1=270000
n2=630000
n3=360000
n4=0
t=327339.9864
所以，每年所保留下来的母羊羔为186(x1),此牧场能放牧的羊数为863（x1+x2+x3+x4+x5）。

夏季保存在冬季的草量为：t=327339.9864。

由结果可知春季的产草量为n1=270000kg，羊吃的总草量为：m1=269992.0944kg，所以春季基本上没什么浪费。

夏季的产草量为：n2=630000kg，夏季和冬季羊的总吃草量为：m2+m4=600860.30354kg。

浪费了：n2- m2-m4=29139.69636kg
秋季的产草量为：n3=360000kg，羊的吃草量为：m3=105216.4242kg。

；浪费了：n3-m3=253783.5758kg。

可见浪费了很多，这也是本模型的缺点。

冬季羊吃的草由夏季提供、没什么浪费。

因此，我们引入模型三来解决草量的浪费问题。

（三）、模型三：
3.1模型假设：
在模型二的基础上假设六删除；
3.2 模型求解：
将各个季节的吃草量与产草量之间的关系改为：
夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量：
m2<=n2
秋季吃草量小于等于秋季羊的产草量家上夏季留下来的草量：
m3<=n3+n2-m2
冬季羊的吃草量小于等于秋季留下来的草量：
m4<=n3+n2-m2-m3
春季羊的吃草量不能大于本季节产草量加上冬季吃剩的草量：
m1<=n1+n2-m2+n3-m3
通过以上分析可以得到如下
max x1+x2+x3+x4+x5
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++<=+<=+<=<=m3
-n3m2-n2n1m1m3-m2-n2n3m4m2-n2n3m3n2m290*2.1*x5)+x4+x3+x2+(x1=m490*1.35*x5)+x4+x3+x2+(x1=m390
*1.65*x0+90*1.15*x5)+x4+x3+(x2=m290*1*x0+90*2.4*x5)+x4+x3+(x2=m10
=n4A/1000*4*90=n3A/1000*7*90=n2A/1000*3*90=n1x5
*1.8+x4*2.0+x3*2.4+x2*1.8=x00.80x4=x50.95x3
=x40.98x2=x3x1=x2100000=A
解得：
A=1000000
x0=2118
x1=288
x2=288
x3=282
x4=268
x5=214
m1=418052.2752
m2=423515.32992
m3=162915.7536
m4=253424.5056
n1=270000
n2=630000
n3=360000
n4=0
结果分析：
夏季的时候产草量是n2=630000（kg），吃草量是m2=423515.32992（kg）；
留下了630000－423515.32992＝206484.67008（kg）草给秋季。

秋季的产草量是n3=360000（kg），吃草量是m3=162915.7536（kg）；
留下了360000+206484.67008-162915.7536＝403568.91648（kg）草给冬季。

冬季的产草量为0，吃草量为m4=253424.5056（kg），
留下了403568.91648－253424.5056＝150144.41088（kg）草给春季。

春季的产草量为n1=270000（kg），吃草量为m1=418052.2752（kg）。

全年下来浪费的草量为150144.41088+270000－418052.2752＝2092.13568（kg）。

三、三个模型的结果比较
模型一：是把一年看成一个整体来求解得出的结果不是很符合实际。

存在缺陷。

因此引入模型二。

模型二：在模型一的基础上改善，把四个季节都作为约束，从而保证每个季节的羊都能吃到草，符合实际。

情况较好。

但模型二浪费很严重。

对农民来说会有很大的损失。

考虑到此点，我们引入模型三。

模型三：综合考虑模型一个模型二的所有问题。

引入每个季节剩下的草将会留给
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下给季节用。

此假设合理，符合实际。

得出的结果，草的浪费比较少。

结果令人满意。

四、参考文献
1、姜启源谢金星等编，数学模型，第四版，北京：高等教育出版社。

2、赵静但琦主编数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2008.1
3、杨桂元黄己立主编数学建模，合肥：中国科学技术大学出版社，2008.8
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