2016届高考数学大一轮总复习配套课件 4.7 正弦定理、余弦定理

题型分类·深度剖析
解析
思维升华
(2)与面积有关的问题，一 般要用到正弦定理或余弦 定理进行边和角的转化.
第四十三页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
第四十四页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
解析 因为 B＝π6，C＝π4，所以 A＝71π2.
由正弦定理得 b π＝ c π，解得 c＝2 2. sin 6 sin 4
要考虑用余弦定理；如果式
子中含有角的正弦或边的一
次式时，则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则要
考虑两个定理都有可能用到.
第十四页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
例1 (2)求sin(A－B)的值.
解析
思维升华
第十五页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
例1 (2)求s期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
例1 (2)求sin(A－B)的值.
解析
思维升华
(2)三角形解的个数的判断：已知 两角和一边，该三角形是确定的， 其解是唯一的；已知两边和一边 的对角，该三角形具有不唯一性， 通常根据三角函数值的有界性和 大边对大角定理进行判断.
第十九页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
第三十四页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
第三十五页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析 题型三 和三角形面积有关的问题
第三十六页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
1＋cos 2A 1＋cos 2B 解 (1)由题意得 2 － 2
π 6
＝12×23×12＝16.
第四十七页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
易错警示系列6 三角变换不等价致误 典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A
＋B)，试判断△ABC的形状.
易错分析
规范解答
温馨提醒
第四十八页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
B)，试判断△ABC的形状.
易错分析
规范解答
温馨提醒
方法一 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
8分
第五十一页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
解析
思维升华
题型一 利用正弦定理、余
弦定理解三角形
第十一页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
题型一 利用正弦定理、余
弦定理解三角形
解析
思维升华
解 (1)由余弦定理得：
a2＋c2－b2 cos B＝ 2ac ＝a2＋2ac2c－4＝97，
∴即(aa＋2＋cc)22－－24a＝c－1944a＝c. 194ac，
2 9
＝2 3
2 .
又 A＝C，∴0<A<π2，
∴cos A＝ 1－sin2A＝13，
第十七页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
例1 (2)求sin(A－B)的值.
解析
思维升华
∴sin (A－B)＝sin Acos B －cos Asin B
＝2 3 2×79－13×4 9 2 ＝1027 2.
＝
3 2 sin
2A－
3 2 sin
2B，
即
3 2 sin
2A－12cos
2A
＝
3 2 sin
2B－12cos
2B，
第三十七页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
sin2A－π6＝sin2B－π6.
由 a≠b，得 A≠B. 又 A＋B∈(0，π)，得 2A－6π＋2B－π6＝π， 即 A＋B＝23π，所以 C＝π3.
的区别.
第三十一页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
第三十二页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
所以cos Bsin A<0. 又sin A>0， 于是有cos B<0，B为钝角， 所以△ABC是钝角三角形. 答案 A
第三十三页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
2Rsin C
2Rsin B
变形
sin A∶sin B∶sin C
知识梳理
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
第四页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
基础知识·自主学习
知识梳理
图形
A为锐角
A为钝角或直角
第五页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
基础知识·自主学习
知识梳理
关系式 a＝bsin A
解的 个数
一解
bsin A<a<b 两解
a≥b a>b 一解 一解
第六页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
基础知识·自主学习
思考辨析
√
知识梳理 √ √
第七页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
基础知识·自主学习
思考辨析
×
× ×
知识梳理
第八页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
＝45×153＋35×1123＝5665.
由正弦定理知sinb B＝sinc C，
∴c＝bssiinnBC＝3×125665＝154. 13
答案
14 5
第二十三页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
题型二 利用正、余弦定理判
定三角形的形状 例2 在△ABC中，a，b，c分别 为角A，B，C的对边，且2asin A ＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小；
第三十八页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
第三十九页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
解 (2)由 c＝ 3，sin A＝54，
a sin
A＝sinc
C，得
a＝85.
由 a<c，得 A<C， 从而 cos A＝35，
故 sin B＝sin(A＋C)＝
(3)结论表述不规范.
第四十九页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
易错警示系列6 三角变换不等价致误
典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋ B)，试判断△ABC的形状.
易错分析
规范解答
温馨提醒
解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
第四十六页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
(2)(2014·山东)在△ABC
1
中，已知A→B·A→C＝tan
A，当
A＝6π时，
△ABC 的面积为 6 .
解析 已知 A＝π6，
由题意得|A→B||A→C|cos |A→B||A→C|＝23，
π6＝tan
π6，
所以△ABC 的面积 S＝12|A→B||A→C|sin
数学 A（文）
第四章 三角函数、解三角形
§4.7
正弦定理、余弦定理
第一页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
➢ 基础知识·自主学习
➢ 题型分类·深度剖析 ➢ 思想方法·感悟提高 ➢ 练出高分
第二页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
基础知识·自主学习
知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
4分
第五十页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
易错警示系列6 三角变换不等价致误 典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋
题型分类·深度剖析
易错警示系列6 三角变换不等价致误
典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋
题型分类·深度剖析
第二十页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝94c22＋×c232－c24c2 ＝－34c32c2＝－14.
答案 －14
第二十一页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
第二十二页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
解析
思维升华
解 (2)在△ABC 中，cos B
＝79， ∴sin B ＝ 1－cos2B ＝
1－792＝4
9
2 .
由
正
弦
定
理
得
：
a sin
A
＝
b sin
B，
第十六页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
例1 (2)求sin(A－B)的值.
解析
思维升华
∴sin
A ＝ asibn
B＝
3×4 2
题型分类·深度剖析
易错警示系列6 三角变换不等价致误 典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)， 试判断△ABC的形状.
易错分析
规范解答
温馨提醒
(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
第二十七页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
第二十八页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
第二十九页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
三角形的形状按边分类主要有：
等腰三角形，等边三角形等；
题型分类·深度剖析
题型二 利用正、余弦定理判
定三角形的形状
例2 在△ABC中，a，b，c分别 为角A，B，C的对边，且2asin A＝ (2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小；
解析
思维升华
边角转化的工具主要是正弦
定理和余弦定理.
第二十六页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
按角分类主要有：直角三角形，
锐角三角形，钝角三角形等.
判断三角形的形状，应围绕三
角形的边角关系进行思考，主
要看其
第三十页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
是不是正三角形、等腰三角
形、直角三角形、钝角三角
形或锐角三角形，要特别注
意“等腰直角三角形”与
“等腰三角形或直角三角形”
sin Acos C＋cos Asin C
第四十页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
4＋3 3 ＝ 10 ，
所以，△ABC 的面积为
S＝12acsin
8 B＝
3＋18 25 .
第四十一页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
第四十二页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
所以三角形的面积为12bcsin A＝12×2×2
2sin
7π 12.
因为 sin 71π2＝sinπ3＋π4＝ 23× 22＋ 22×12
第四十五页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
＝
2 2
23＋12，
所以21bcsin A＝2
2×
2 2
23＋21＝
3＋1，故选 B.
答案 B
解析
思维升华
第二十四页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
题型分类·深度剖析
题型二 利用正、余弦定理判 定三角形的形状
例2 在△ABC中，a，b，c分别 为角A，B，C的对边，且2asin A＝ (2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小；
解析
思维升华
第二十五页，编辑于星期五：二十点 五十六分 。
∴ac＝9.
第十二页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析 题型一 利用正弦定理、余
弦定理解三角形
解析
思维升华
a＋c＝6， 由ac＝9， 得 a＝c＝3.
第十三页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
题型一 利用正弦定理、余 弦定理解三角形
解析
思维升华
(1)解三角形时，如果式子中 含有角的余弦或边的二次式，
基础知识·自主学习
题号
1 2 3 4
答案
D B
C 2
考点自测
解析
第九页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
方法一 因为 bcos C＋ccos B＝2b， a2＋b2－c2 a2＋c2－b2
所以 b· 2ab ＋c· 2ac ＝2b， 化简可得ab＝2.
第十页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
题型分类·深度剖析
△ABC外接圆半径，则
定理 内容
正弦定理
余弦定理
a sin
A＝
b sin
B
＝
c
sin C ＝2R
a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ c2＋a2－2cacos B ； c2＝_a_2＋__b_2_－__2_ab_c_o_s_C___
第三页，编辑于星期五：二十点 五十六分。
基础知识·自主学习