2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性 课件(48张)

为非奇非偶函数．
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5．设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数，且 f(1)＝2，则 f(2 023) ＋f(2 024)＋f(2 025)＝________________．
答案 0 解析 ∵函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数， ∴f(0)＝0.且 f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)， ∴f(2 023)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2 025)＝f(0) ＝0， ∴f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝0.
则 f(2 024)＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
B ∵f(x)的周期为 2，∴f(2 024)＝f(0)＝20＝1.故选 B.
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4 ． 函 数 f(x) ＝ (x ＋ 1)
x－1 x＋1
是 ________________ 函 数 ． ( 填
“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案 非奇非偶
解析 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．故 f(x)
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[常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，那么一定有 f(0)＝0；如 果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在 两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
奇 f(x)的定义域是 A，如果对任意的 x∈A，有－x∈A，且______f(_－__x_)＝__－__f_(_x_) _____，那么
关 于 原__点__
轴对称
称函数 f(x)为奇函数．
偶函数
一般地，设函数 f(x)的定义域是 A，如果对任意的 x∈A，有－x∈A，且_____f_(－__x_)_＝__f(_x_)______，那么称
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－ex＋1
D 设 x<0，则－x>0，因为函数 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ e－x－1，可得 f(x)＝－f(－x)＝－(ex－1)＝－ex＋1.故选 D.
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3．若 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，
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探究·核心考点
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考点一 函数的奇偶性
命题点 1 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 3－x2 ＋ x2－3 ；
(2)f(x)＝lg
（1－x2） |x－2|－2
；
(3)f(x)＝x－2＋x2＋x，xx，<x0>，0； (4)f(x)＝log2(x＋ x2＋1 ).
关 于 _y_轴__
对称
函数 f(x)为偶函数．
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当函数 f(x)是奇函数或偶函数时，称 f(x)具有奇__偶__性__．奇函数和偶函数 的定义域关于_原_点__对称．
2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数 y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常 数 T，使得对任意的 x∈D，都有 x＋T∈D，且满足 f(x＋T)＝f(x)，那么函 数 y＝f(x)称作周期函数，非零常数 T 称作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_最__小_的正 数，那么这个_最__小__正__数_就叫做 f(x)的最小正周期．
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[对点查验]
1．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝ 2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
D ∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)＝2x＋2－x 是偶函数，故选 D.
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2．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝e－x－1，则当 x<0 时，f(x)＝( )
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解 (1)由3x2－－x32≥ ≥00， ， 得 x2＝3，解得 x＝± 3 ， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3 ， 3 }， 从而 f(x)＝ 3－x2 ＋ x2－3 ＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， 所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
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(2)由1|x－－x22|>≠0，2， 得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．
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2．与函数周期有关的结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2a； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2a； (3)若 f(x＋a)＝－f（1x） ，则函数的周期为 2a； (4)若 f(x＋a)＝f（1x） ，则函数的周期为 2a.
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3．函数对称性(异号对称) (1)轴对称：若函数 f(x)关于直线 x＝a 对称，则 ①f(a＋x)＝f(a－x)，②f(x)＝f(2a－x)，③f(－x)＝f(2a＋x). (2)点对称：若函数 f(x)关于点(a，0)对称，则 ①f(a＋x)＝－f(a－x)，②f(x)＝－f(2a－x)，③f(－x)＝－f(2a＋x). (3)点对称：若函数 f(x)关于点(a，b)对称，则 ①f(a＋x)＝－f(a－x)＋2b，②f(x)＝－f(2a－x)＋2b，③f(－x)＝－f(2a ＋x)＋2b.
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第二章 函 数 第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数周期性、对称性 及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．
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夯实·主干知识
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1．函数的奇偶性
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 若函数 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.( ) (2)函数 y＝x2，x∈(0，＋∞) 是偶函数．( ) (3)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( ) (4)若函数 f(x)满足 f(4－x)＝f(x)，则 f(x)的图象关于 x＝2 对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√