浙江省瑞安市第七中学2017届高三理科数学周四测

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2017届高三理科数学周四测
一、选择题(共12小题,每题5分) 1.已知集合}1|{2<=x x A ,}1122
|{>+=x x B ,则B A =( ) A .)2
1
,21(-
B .)21,0(
C .)1,2
1(
D .)2
1
,
1(- 2.下列命题中的假命题是( )
A .02,1>∈∀-x x R
B .0)1(*,2>-∈∀x N x
C .1lg ,<∈∃x R x
D .2tan ,=∈∃x R x
3.已知复数ai
i
z +-=13是纯虚数,则实数a =( ) A .3 B .-3 C .
3
1
D .3
1-
4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的 函数是( ) A .2
)(x x f = B .x
x f 1)(=
C .x e x f =)(
D .x x f sin )(=
5.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为)2,2(),3,1(),1,1(C B A ,对于ABC ∆(含边界)内的任意一点y ax z y x +=),,(的最小值为-2,则a =( ) A .-2
B .-3
C .-4
D .-5
6.如图,某几何体的三视图外形都是边长为2cm 的正方形,则该几何体的体积是( ) A .3
4cm
B .3
8cm
C .
3
3
16cm D .
3
3
32cm 7.已知在ABC ∆中,︒
=∠90ACB ,6=BC ,8=AC ,P 是线段AB 上的点,则P 到BC
AC ,的距离的乘积的最大值为( ) A .12
B .8
C .38
D .36
8.如图,过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点,,B A 交其准线于点C ,若
||2||BF BC =,且3||=AF ,则此抛物线的方程为( )
A .x y 232
=
B .x y 32=
C .x y 2
92
=
D .x y 92=
9.已知递减等差数列}{n a 中,13-=a ,641,,a a a -成等比数列,若n S 为数列}{n a 的前n 项和,则7S 的值为( ) A .-14
B .-9
C .-5
D .-1
10.我们知道,在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
a 2
3
,类比上述结论,在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为( ) A .a
B .
a 2
5 C .
a 3
2
2 D .
a 3
6 11.如图,),(),,(N N M M y x N y x M 分别是函数)0,0()sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与两条
直线)0(:1≥≥=m A m y l ,m y l -=:2的两个交点,记||)(N M x x m S -=,则)(m S 的图像大致是( )
12.已知定义在R 上的函数)(x f 满足:⎩⎨⎧-∈-∈+=),
0,1[,2)1,0[,2)(2
2x x x x x f ,
且)()2(x f x f =+,
2
5
2)(++=
x x x g ,则方程)()(x g x f =在区间[-8,3]上的所有实根之和为( ). A .-12
B .-11
C .-8
D .-5
二、填空题(共4小题,每题5分)
13.已知直线0tan 3tan :=--βαy x l 的斜率为2,在y 轴上的截距为1,则
)t a n (βα+= 。

14.若过点(0,2)的直线l 与圆1)2()2(22=-+-y x 有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围
是 .
15.若对于任意的实数x ,有443322104)2()2()2()2(-+-+-+-+=x a x a x a x a a x ,则2a 的值
为 .
16.一个随机变量ξ的所有可能取值有3个:1,3,x ;且a P P ====)3()1(ξξ,若对任意
)1,0(∈a ,都有ξE 的值为定值,则必有x = ,ξE = 。

三、解答题
17.(本题满分12分)数列}{n b 的前n 项和为n T ,且满足).(22*2N n T n n ∈-= (I)求}{n b 的通项公式; (II)求⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b n 的前n 项和n S 。

18.(本题满分12分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,按性别分层抽样,抽取了50名同学(男30女20),给他们几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟,现甲、乙同时各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X ,求X 的分布列及数学期望EX. 附表及公式:
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=
19.(本题满分12分)如图,矩形BDEF 所在的平面垂直于正方形ABCD 所在平面,直线GC 垂
直于平面ABCD ,且DE AB =,.2
1
DE CG = (1)证明:面⊥GEF 面AEF ; (2)求二面角C EG B --的余弦值.
20.(本题满分12分)已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为4,其长轴长和短轴长之比为
1:3.
(I)求椭圆C 的标准方程;
(II)设F 为椭圆C 的右焦点,T 为直线)2(=/∈=t R t t x ,上纵坐标不为0的任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点Q P ,;且OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点),求当|
||
|PQ TF 最小时点T 的坐标。

21.(本题满分6分)函数12
1ln )(2
+++=x a x a x f . (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)当01<<-a 时,有)ln(2
1)(a a
x f -+>恒成立,求a 的取值范围.
[以下两题只需选做一题,两题都做的,按第一题得分给分,满分10分] 22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2252
23(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标
系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为
θρsin 52=.
(1)求圆C 的直角坐标方程;
(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,,若点P 的坐标为)5,3(,求||||PB PA +.
23.(不等式选讲)设函数.|2||12|)(+--=x x x f (I)解不等式0)(>x f ; (II)若R x ∈∃0,使得,42)(20m m x f <+求实数m 的取值范围.
参考答案
一、选择题:ABADAC ABADCB
二、填空题(共4小题,每题5分) 13.1
14.⎪⎭

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,
0 15.24 16.2\2
三、解答题
17.解:(1)由题意,n n T 42+=;当1=n 时,611==T b ;(1分) 当2≥n 时,1114344⋅⋅⋅--⋅=-=-=n n n n n n T T b ,(4分)

⎨⎧≥⋅==∴-)2(43)
1(61
n n b n n 。

(5分) (2)6
1
111==
b S ;
(6分) 当2≥n 时,124343343261-⋅++⋅+⋅+=n n n S ①,214343332644-⋅++⋅++=n n n S ② ②-①有:1
2214343143143132643--⋅-⋅+⋅+⋅++=n n n n
S (8分)
1
1249431823434
11)
411(41313264---⋅+-=⋅---⋅++=n n n n n (10分) 1427435423-⨯+-=∴n n n S ,(11分) 经检验,此式满足61
1
=S 。

1
4274
35423-⨯+-=∴n n n S (分段写不扣分)(12分)
18、(1)由表中数据得2
K 的观测值024.59
50
20302030)881222(502>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ,(3分)
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(4分)
(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为y x 、分钟, 则基本事件满足的区域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎩⎨
⎧≤≤≤≤=,86,75|),(y x y x M (如图所示)
设事件A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为}|),{(y x y x N >=,
8
1
221121
)(=⨯⨯⨯==∴⋅M N M S S A P ,即乙比甲先解答完的概率为81.(8分)
(3)X 可能取值为0,1,2,2815)0(==X P ,732812)1(===X P ,28
1
)2(==X P ,
所以X 的分布列为
2
2822812128150=⨯+⨯+⨯
=EX .
19.(1)如图,设EF 中点为M ,连结AC AG GM AM 、、、,不妨设1=CG , 因为⊥CG 面ABCD ,故AC CG ⊥,于是在ACG RT ∆中可求得3=AG ; 在直角梯形FBCG 、EDCG 中可求得5==EG FG ; 在ABF RT ∆、ADE RT ∆中可求得22==AE AF ;
从而在等腰AEF ∆,等腰GEF ∆中分别求得6=AM ,3=GM ,
此时在AMG ∆中有2
22AG GM AM =+,GM AM ⊥∴,
因为M 是等腰AEF ∆底边中点,EF AM ⊥∴, 所以⊥AM 平面GEF ,因此面⊥GEF 面AEF
(2)如图,建立空间直角坐标系xyz D -,不妨设1=CG ,
则由题设条件可知:)1,2,0(),2,2,2(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(G F E B A ,
)1,0,2(),2,2,2(-=-=GB EF ,设面BEG 的法向量为),,(z y x u =,
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=
⋅0
u GB u EB 得:⎩⎨⎧=-=-+020z x z y x ,可取)2,1,1(=,
因为⊥DA 平面EGC ,故取平面EGC 的法向量为)0,0,2(=DA , 因此66
262|
|||=⋅==
DA u DA u .所以二面角C EG B --的余弦值为66
20、(I)椭圆C 的标准方程是12
62
2=+y x .(4分) (II)由(I)可得,F 点的坐标是(2,0).
设直线PQ 的方程为2+=my x ,将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=.126
,
22
2y x m y x 消去x ,得024)3(22=-++my y m ,其判别式0)3(81622>++=∆m m . 设),(11y x P ,),(22y x Q ,则34221+-=
+m m y y ,3
2
2
21+-=m y y .于是 .3
124)(22121+=
++=+m y y m x x
设M 为PQ 的中点,则M 点的坐标为)3
2,36(
22+-+m m
m .
因为PQ TF ⊥,所以直线FT 的斜率为m -,其方程为)2(--=x m y . 当t x =时,)2(--=t m y ,所以点T 的坐标为))2(,(--t m t ,
此时直线OT 的斜率为
t t m )2(--,其方程为x t t m y )
2(-=
. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入,得3
6
)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 3=∴t .(8分)
T 点的坐标为),3(m -.于是1||2+=m TF ,
3
)
1(244)(1||2
2212
212
++=⋅-+⋅+=m m y y y y m PQ . 所以1
3241)1(2431||||22222
++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 设12
+=m t ,则1≥t ,2224
122412241||||)(2⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⋅==t t t t PQ TF t f
当且仅当212=+=m t 即1±=m 时,等号成立,此时
|
||
|PQ TF 取得最小值. 故当|
||
|PQ TF 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,-1).………(12分)
21、(1)x
a
x a x f ++='2)1()(,),0(∞+∈x .
①当01≤+a ,即1-≤a 时,0)(<'x f ,)(x f ∴在),0(∞+单调递减; ②当0≥a 时,0)(>'x f ,)(x f ∴在),0(∞+单调递增;
③当01<<-a 时,由0)(>'x f 得12
+->
a a x ,1+->∴a a x 或1
+--<a a
x (舍), )(x f ∴在),1(
∞++-a a 递增,在)1
,0(+-a a
上递减; 综上,当0≥a 时,)(x f 在),0(∞+递增;当01<<-a 时,)(x f 在),1
(
∞++-a a
递增,在)1
,
0(+-a a
上递减.当1-≤a 时,)(x f 在),0(+∞递减.(4分) (2)由(1)知,当01<<-a 时,)1
(
)(min +-=a a
f x f , 即原不等式等价于)ln(2
1)1(
a a
a a f -+>+-, 即)ln(2
111211ln
a a
a a a a a a -+>++-⋅+++-,整理得1)1ln(->+a , 11->
∴e a ,又01<<-a ,a ∴的取值范围为)0,11
(-e
. (6分)
22、(1)由θρsin 52=,
得05222=-+y y x ,即5)5(22=-+y x ;(5分)
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得
5222232
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t ,即04232=+-t t , 由于0244)23(2>=⨯-=∆,故可设21,t t 是上述方程的两实根,
所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+4
232121t t t t ,又直线l 过点)5,3(P ,故由上式及t 的几何意义得
,23||||||||2121=+=+=+t t t t PB PA (10分)
(2)因为圆C 的圆心为点)5,0(,半径5=r ,直线l 的普通方程为53++-=x y ,
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-==-+5
35)5(22x y y x 得0
232
=+-x x ,解得⎪⎪⎩

⎪⎨

+==5
21y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨

+==5
12y x ,
不妨设)52,1(+A ,)51,2(+B ,
又点P 的坐标为)5,3(,故23222||||=+=+PB PA .
23.(I)不等03832
>+-x x 式0)(>x f ,即|2||12|+>-x x ,即
4414422++>+-x x x x ,即,求得它的解集为3
1
|{-<x x 或}3>x .(5分)
(II)⎪⎪




⎪⎨⎧
>-<≤----<+-=+--=21,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ,故)(x f 的最小值为
25)21(-=f ,根据R x ∈∃0,使得m m x f 42)(20<+,可得2
5
242->-m m ,即05842<--m m ,求得2
5
21<<-m . (10分)。

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