数学人教B版必修5单元检测：第二章数列 含解析 精品

数学人教B 必修5第二章数列单元检测
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( )．
A ．4
B ．
32 C ．169
D ．2 2．下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )．
A ．a n ＝1
B ．11
2
n n a (-)+=
C ．a n ＝2－|πsin
2
n | D ．113
2
n n a -(-)+=
3．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )．
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
4．已知在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20a 50a 80
的值为( )．
A ．32
B ．64
C ．256
D ．±64
5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( )． A ．12 B ．18 C ．24 D ．42
6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －17，则其前n 项和S n 在n 为________时取得最小值( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低1
3
，现在的价格是8 100元，则15年后，价格降低为( )．
A ．2 200元
B ．900元
C ．2 400元
D ．3 600元
8．在数列{a n }中，对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则22212n a a a +++…等于( )．
A ．(2n －1)2
B ．
13(2n
－1)2 C ．4n －1 D ．
13
(4n
－1)
9．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋
2
1n a -(n ≥3)，则a 5的值为( )．
A ．
5512 B ．133
C ．4
D ．5 10．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n
项和S n 等于( )．
A ．2744n n +
B ．2533n n +
C ．
2324
n n
+ D ．n 2＋n 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．已知数列{a n }的通项a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________.
12．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝6，S 3＝21，则公比q ＝__________.
13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________. 14．(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__________升．
15．将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的第3个数(从左向右数)是__________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .
17．(本小题满分15分)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N ＋)．
(1)求S n ；
(2)是否存在等比数列{b n }，满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，请说明理由．
参考答案
1. 答案：A 在等比数列{a n }中，a 3，a 6，a 9成等比数列，26a ＝a 3 ·a 9 ， ∴a 3＝4.
2. 答案：C 由a n ＝2－|π
sin
2
n |可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，… 3. 答案：B 由{b n }为等差数列，设其公差为d ， 则10312(2)
21037
b b d ---=
==-.
故b n ＝b 3＋(n －3)×2＝－2＋2n －6＝2n －8.
又b n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1－a n ＝2n －8. ∴a 2－a 1＝－6， a 3－a 2＝－4， …
a 8－a 7＝2×7－8＝6， ∴a 8－a 1＝－6＋(－4)＋ (6)
(66)7
2
-+⨯＝0.
∴a 8＝a 1＝3.
4. 答案：B 由韦达定理，得a 1·a 99＝16. 而a 1·a 99＝a 20·a 80＝250a ＝16，且a n ＞0，
∴a 50＝4，a 20·a 80＝16. ∴a 20·a 50·a 80＝4×16＝64. 5. 答案：C ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4
－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)，整理得S 6＝3S 4－3S 2＝3×10－3×2＝24.
6. 答案：B 由通项公式a n ＝3n －17可知{a n }是以3为公差，－14为首项的等差数列，
则2(1)331
143222
n n n S n n n -=-+
⨯=-， 所以当n ＝5时，S n 取得最小值．
7. 答案：C 15年后价格降低了3次，则8 100×(1－
13
)3
＝2 400. 8. 答案：D 当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1①，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －
1－1②，
①－②得a n ＝2n －
1. 当n ＝1时，a 1＝1.
∴a n ＝2n －
1(n ∈N ＋)．∴2n a ＝(2n －
1)2＝4n －
1，
即{2
n a }是以21
=1a 为首项，4为公比的等比数列．∴141(41)143
n n
n S -=
=--． 9. 答案：A 由题意，得a 3＝a 2＋
11a ＝4，4321113433
a a a =+=+=，543113155
3412
a a a =+
=+=. 10. 答案：A 设其公差为d (d ≠0)，∵a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴23a ＝a 1·a 6，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋5d )．
又∵d ≠0，∴12d =.∴S n ＝na 1＋(1)2n n d -＝2(1)1722244
n n n n
n -+⋅=+.
11. 答案：(51)
2
n n +- ∵a n ＝－5n ＋2，∴{a n }为等差数列，且公差d ＝－5，首项a 1
＝－3，
∴(352)(51)
22n n n n n S --++=
=-.
12. 答案：2或1
2
本题是等比数列问题，常用方法是以a 1和q 为未知数建立方程组，
解出a 1和q ，由题意得，
12
11
6,15,a q a a q =⎧⎨+=⎩解得q ＝2或1
2. 1
3. 答案：7 ∵S 12＝21，∴11212()212a a +=，解得a 1＋a 12＝7
2
，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11
＝2(a 1＋a 12)＝2×
7
2＝7. 14. 答案：67
66
设最上面一节的容积为a 1，容积依次增大d ，由题意，知4a 1＋6d ＝3
和3a 1＋21d ＝4，可求得11322a =，766d =，故567
66
a =.
15. 答案：
2322n n
-+(n ≥3) 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数为
2(1)(11)222n n n n
-+-=-，则第n 行的第3个数为
2322
n n
-+(n ≥3)． 16. 答案：分析：将S n 表示成a 1和q 的表达式，从而求解． 解：(1)依题意，有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.
又q ≠0，从而12q =-
. (2)由(1)可得a 1－a 1(1
2-)2＝3，故a 1＝4.
从而1
4[1()]
812[1()]1321()2
n n n S --=
=----． 17. 答案：解：(1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N ＋成立． 即a n ＝2n 对n ≥2成立．又a 1＝2＝2×1， 所以a n ＝2n 对n ∈N ＋成立．
所以a n＋1－a n＝2对n∈N＋成立，所以{a n}是等差数列．
所以1
2n
n a a
S
+
=·n＝n2＋n，n∈N＋.
(2)存在．由(1)知a n＝2n对n∈N＋成立，则a3＝6，a9＝18，又a1＝2，
所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，得3
2
123
b
b
b b
==，
即存在以b1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n}，其通项公式为b n＝2·3n－1.。