《匀变速直线运动的规律》教学设计【高中物理必修1】

匀变速直线运动的规律(一)
[学习目标定位] 1.掌握并会推导匀变速直线运动的速度公式、位移公式，会应用公式进行分析和计算.2.理解各公式中各物理量的物理意义及符号的确定.3.知道匀变速直线运动的v －t 图像特点，理解图像的物理意义，会根据图像分析解决问题．
知识储备区
一、初速度为零的匀变速直线运动
图1
1．速度公式：v t ＝at . 2．位移公式：s ＝1
2at 2
. 3．速度—时间图像如图1所示
(1)图线的斜率表示物体运动的加速度． (2)图线下方三角形面积表示t 时间内的位移． 二、匀变速直线运动的规律 1．速度公式：v t ＝v 0＋at . 2．位移公式s ＝v 0t ＋1
2at 2.
学习探究区
一、初速度为零的匀变速直线运动 [问题设计]
自由落体运动是初速度为零的匀变速直线运动的特例，请你根据自由落体运动的速度公式和位移公式写出初速度为零的匀变速直线运动的一般规律．
答案 自由落体运动的速度公式为v t ＝gt ，位移公式为h ＝1
2gt 2
，若初速度为零的匀变速直线运动的加速度为a ，则速度公式为v t ＝at ，位移公式为s ＝1
2at 2.
[要点提炼]
初速度为零的匀变速运动，其瞬时速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比．即：
1．速度公式：v t ＝at . 2．位移公式：s ＝12at 2
.
二、匀变速直线运动的规律及其图像 [问题设计]
1．设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t ＝0)的速度为v 0(叫做初速度)，加速度为a ，经过的时间为t ，求t 时刻物体的瞬时速度．
答案 由加速度的定义式a ＝v t －v 0
t ，整理得：v t ＝v 0＋at .
2．一个物体做匀变速直线运动，其运动的v －t 图像如图2所示．已知物体的初速度为v 0，加速度为a ，运动时间为t ，末速度为v t .
图2
请根据v －t 图像和速度公式求出物体在t 时间内的位移(提示：v －t 图像与t 轴所围“面积”表示位移)．
答案 v －t 图线下梯形的面积表示位移 S ＝1
2(OC ＋AB )×OA
把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成 s ＝1
2(v 0＋v t )t ① 又因为v t ＝v 0＋at ② 由①②式可得 s ＝v 0t ＋1
2at 2 [要点提炼]
1．匀变速直线运动的规律 (1)速度公式：v t ＝v 0＋at . (2)位移公式：s ＝v 0t ＋1
2at 2.
2.由匀变速直线运动的v －t 图像可获得的信息(如图3所示)
图3
(1)由图像可直接读出任意时刻的瞬时速度，图像与纵轴的交点(截距)表示初速度． (2)图线的斜率表示物体运动的加速度． (3)图线与横轴所包围的“面积”表示位移大小．
典例精析
一、匀变速直线运动规律的应用
例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a ＝2 m/s 2，求： (1)第5 s 末物体的速度多大？ (2)前4 s 的位移多大？ (3)第4 s 内的位移多大？
解析 (1)第5 s 末物体的速度由v 1＝v 0＋at 1 得v 1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s (2)前4 s 的位移由s 1＝v 0t ＋1
2at 2 得s 1＝0＋1
2×2×42 m ＝16 m
(3)物体第3 s 末的速度v 2＝v 0＋at 2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s 则第4 s 内的位移s 2＝v 2t 3＋12at 23＝6×1 m＋1
2×2×12
m ＝7 m 答案 (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m
针对训练1 由静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s 内的位移为2 m ．关于该物体的运动情况，以下说法正确的是( )
A ．第1 s 内的平均速度为2 m/s
B ．第1 s 末的瞬时速度为2 m/s
C ．第2 s 内的位移为4 m
D ．运动过程中的加速度为4 m/s 2
答案 AD
解析 由直线运动的平均速度公式v ＝s t 知，第1 s 内的平均速度v ＝2 m
1 s ＝
2 m/s ，A
对．由s ＝12at 2
得，加速度a ＝2s t 2＝2×21 m/s 2＝4 m/s 2，D 对．第1 s 末的速度v t ＝at ＝4×1 m
/s ＝4 m/s ，B 错．第2 s 内的位移s 2＝12×4×22 m －1
2×4×12
m ＝6 m ，C 错．
题组二 对v －t 图像的理解及应用
例2 图4是直升机由地面起飞的速度图像，试计算直升机能到达的最大高度及25 s 时直升机所在的高度是多少？
图4
解析 首先分析直升机的运动过程：0～5 s 直升机做匀加速运动；5 s ～15 s 直升机做匀速运动；15 s ～20 s 直升机做匀减速运动；20 s ～25 s 直升机做反向的匀加速运动．分析可知直升机所能到达的最大高度为题图中t 轴上方梯形的面积，即S 1＝600 m ．25 s 时直升机所在高度为S 1与图线CE 和t 轴所围成的面积S △CED 的差，即S 2＝S 1－S △CED ＝(600－100) m ＝500 m.
答案 600 m 500 m
针对训练2 质点做直线运动的v －t 图像如图5所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内平均速度的大小和方向分别为( )
图5
A ．0.25 m/s ；向右
B ．0.25 m/s ；向左
C ．1 m/s ；向右
D ．1 m/s ；向左
答案 B
解析 由题图得前8 s 内的位移s ＝[12×3×2＋1
2×5×(－2)] m ＝－2 m ，则平均速度v
＝s t ＝－2
8 m/s ＝－0.25 m/s ，负号表示方向向左．B 正确．
课堂要点小结
1．掌握匀变速直线运动的基本规律： (1)速度公式： v t ＝v 0＋at
(2)位移公式：s ＝v 0t ＋12at 2
注意 上述三个公式中s 、v 0、v t 、a 均具有方向性，应用公式解题时首先应选定正方向，然后再确定各量的正、负，一般取v 0方向为正方向．
2．会分析v －t 图像
(1)由图像可知任意时刻的瞬时速度，纵截距表示物体的初速度． (2)图线的斜率表示物体的加速度． (3)图线与t 轴所围的面积表示位移大小.
自我检测区
1．(速度公式的理解及应用)物体做匀加速直线运动，已知第1 s 末的速度是6 m/s ，第2 s 末的速度是8 m/s ，则下面结论正确的是( )
A ．物体零时刻的速度是3 m/s
B ．物体的加速度是2 m/s 2
C ．任何1 s 内的速度变化都是2 m/s
D ．第1 s 内的平均速度是6 m/s 答案 BC
解析 物体做匀加速直线运动，由已知可求出a ＝2 m/s 2，则初速度为4 m/s ；第1 s 内的平均速度应小于6 m/s.
2．(位移公式的理解及应用)某质点的位移随时间变化的关系是s ＝4t ＋4t 2
，s 与t 的单位分别为m 和s ，下列说法正确的是( )
A ．v 0＝4 m/s ，a ＝4 m/s 2
B ．v 0＝4 m/s ，a ＝8 m/s 2
C ．2 s 内的位移为24 m
D ．2 s 末的速度为24 m/s 答案 BC
解析 将位移随时间变化的关系与位移公式s ＝v 0t ＋12at 2
相对照即可判定v 0＝4 m/s ，a ＝8 m/s 2，A 错误，B 正确．把t ＝2 s 代入公式可得s ＝24 m ，C 正确．由于v t ＝v 0＋at ，即v t ＝4＋8t ，把t ＝2 s 代入可得v t ＝20 m/s ，D 错误．
3．(v －t 图像求位移)某物体运动的v －t 图像如图6所示，根据图像可知，该物体( )
图6
A ．在0到2 s 末的时间内，加速度为1 m/s 2
B ．在0到5 s 末的时间内，位移为10 m
C ．第1 s 末与第3 s 末的速度方向相同
D ．第1 s 末与第5 s 末加速度方向相同 答案 AC
解析 在0到2 s 末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a ＝Δv Δt ＝2
2 m/s 2＝1 m/s 2，故A 正确.0到5 s 末的时间内物体的位移等于梯形面积s ＝(12×2×2＋2×2＋1
2×1×2) m＝7 m ，故B 错误．第1 s 末图像在时间轴上方，速度为正，第3 s 末速度图像也在时间轴上方，速度也为正，故方向相同，故C 正确．第1 s 内图线的斜率为正值，加速度沿正方向，而第5 s 内图线的斜率为负值，加速度方向沿负方向，则第1 s 内与第5 s 内物体的加速度方向相反，故D 错误．
4．(位移与时间关系的应用)一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t 内通过的位
移为s ，则它从出发开始经过s
4的位移所用的时间为( )
A.t 4
B.t 2
C.t
16 D.22t 答案 B
解析 由位移公式得s ＝12at 2，s 4＝12at ′2
，所以t 2
t ′2＝4，故t ′＝t 2，B 正确．
学案4 匀变速直线运动的规律(二)
[学习目标定位] 1.会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移
的关系式中各物理量的含义.2.会用公式v 2t －v 2
0＝2as 进行分析和计算.3.掌握三个平均速度
公式及其适用条件.4.会推导Δs ＝aT 2并会用它解决相关问题．
学习探究区
一、速度位移公式的推导及应用 [问题设计]
我国第一艘航空母舰“辽宁号”已有能力同时起飞3架歼15战机，如图1为辽宁舰上3个起飞点示意图，1、2号位置为短距起飞点，起飞线长105米；3号位置为远距起飞点，起飞线长195米．如果歼15战机起飞速度为50 m/s ，起飞时航母静止不动，且不使用弹射系统，则战机由3号起飞点起飞的加速度至少是多少？(设跑道水平)
图1
答案 根据v t ＝v 0＋at ① s ＝v 0t ＋1
2at 2②
由①得t ＝v t －v 0
a ③
把③代入②得
s ＝v 0v t －v 0a ＋12a (v t －v 0
a )2
整理得：v 2t －v 2
0＝2as
将v 0＝0，v t ＝50 m/s ，s ＝195 m 代入上式得：a ≈6.41 m/s 2
. [要点提炼]
1．匀变速直线运动的速度位移公式：v 2t －v 20＝2as ，此式是矢量式，应用解题时一定要
先选定正方向，并注意各量的符号．
若v 0方向为正方向，则：
(1)物体做加速运动时，加速度a 取正值；做减速运动时，加速度a 取负值．
(2)位移s >0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，s <0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反．
2．两种特殊情况 (1)当v 0＝0时，v 2
t ＝2as . (2)当v t ＝0时，－v 20＝2as . 3．公式特点：该公式不涉及时间． 二、中间时刻的瞬时速度与平均速度 [问题设计] 一质点
图2
做匀变速直线运动的v －t 图像如图2所示．已知一段时间内的初速度为v 0，末速度为v t . (1)这段时间内的平均速度(用v 0、v t 表示)．
(2)中间时刻的瞬时速度v t 2.
(3)这段位移中间位置的瞬时速度v s
2.
答案 (1)因为v －t 图像与t 轴所围面积表示位移，t 时间内质点的位移可表示为s ＝
v 0＋v t
2
·t ①
平均速度v ＝s
t ②
由①②两式得
v ＝v 0＋v t
2
(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：v t 2＝v 0＋v t
2. (3)对前半位移有v s 22－v 2
0＝2a s 2 对后半位移有v 2
t －v s 22
＝2a s
2
两式联立可得v s 2＝
v 20＋v 2t
2
[要点提炼]
1．中间时刻的瞬时速度v t 2＝v 0＋v t
2. 2．中间位置的瞬时速度v s
2＝
v 20＋v 2
t 2
.
3．平均速度公式总结：
v ＝s
t ，适用条件：任意运动．
v ＝v 0＋v t
2，适用条件：匀变速直线运动． v ＝v t
2，适用条件：匀变速直线运动． 注意 对匀变速直线运动有v ＝v t 2＝v 0＋v t
2.
[延伸思考]
在匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度v t 2与中间位置的瞬时速度v s
2哪一个大？ 答案 如图甲、乙所示，中间位置的瞬时速度与t ′对应，故有v s 2>v t
2.
三、重要推论Δs ＝aT 2
的推导及应用 [问题设计]
物体做匀变速直线运动，加速度为a ，从某时刻起T 时间内的位移为s 1，紧接着第二个T 时间内的位移为s 2.试证明：s 2－s 1＝aT 2.
答案 证明：设物体的初速度为v 0 自计时起T 时间内的位移 s 1＝v 0T ＋1
2aT 2① 在第二个T 时间内的位移
s 2＝v 0·2T ＋12a (2T )2
－s 1＝v 0T ＋3
2aT 2.② 由①②两式得连续相等时间内的位移差为 Δs ＝s 2－s 1＝v 0T ＋32aT 2
－v 0T －12aT 2＝aT 2， 即Δs ＝aT 2. [要点提炼]
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T 内的位移之差为一恒定值，即Δs ＝aT 2. 2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δs ＝s 2－s 1＝s 3－s 2＝……＝s n －s n －1＝aT 2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用匀变速直线运动中连续相等时间内的位移差Δs ，可求得a ＝Δs
T 2.
典例精析
一、速度与位移关系的简单应用
例1 A 、B 、C 三点在同一条直线上，一物体从A 点由静止开始做匀加速直线运动，经过B 点的速度是v ，到C 点的速度是3v ，则s AB ∶s BC 等于( )
A ．1∶8
B ．1∶6
C ．1∶5
D ．1∶3
解析 由公式v 2
t －v 2
0＝2as ，得v 2
t
＝2as AB ，(3v )2
＝2a (s AB ＋s BC )，联立两式可得s AB ∶s B C
＝1∶8.
答案 A
二、v ＝v t 2＝v 0＋v t
2的灵活运用
例2 一质点做匀变速直线运动，初速度v 0＝2 m/s ，4 s 内位移为20 m ，求： (1)质点4 s 末的速度； (2)质点2 s 末的速度．
解析 解法一 利用平均速度公式
4 s 内的平均速度v ＝s t ＝v 0＋v 4
2，
代入数据解得，4 s 末的速度v 4＝8 m/s
2 s 末的速度v 2＝v 0＋v 42
＝2＋8
2 m/s ＝5 m/s.
解法二 利用两个基本公式 由s ＝v 0t ＋1
2at 2得a ＝1.5 m/s 2
再由v t ＝v 0＋at 得
质点4 s 末的速度v 4＝(2＋1.5×4) m/s＝8 m/s 2 s 末的速度v 2＝(2＋1.5×2) m/s＝5 m/s 答案 (1)8 m/s (2)5 m/s
针对训练 一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图像如图3所示，那么0～t 和t ～3t 两段时间内( )
图3
A ．加速度大小之比为3∶1
B ．位移大小之比为1∶2
C ．平均速度大小之比为2∶1
D ．平均速度大小之比为1∶1 答案 BD
解析 两段的加速度大小分别为a 1＝v t ，a 2＝v 2t ，A 错．两段的平均速度v 1＝v 2＝v
2，C
错，D 对．两段的位移s 1＝1
2vt ，s 2＝vt ，B 对．
三、对Δs ＝aT 2
的理解与应用
例3 做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4 s 的时间间隔内通过的位移分别 是48 m 和80 m ，则这个物体的初速度和加速度各是多少？
解析 解法一 根据关系式Δs ＝aT 2
，物体的加速度a ＝Δs T 2＝80－48
42 m/s 2＝2 m/s 2
.由
于前4 s 内的位移48＝v 0×4＋1
2a ×42，故初速度v 0＝8 m/s.
解法二 设物体的初速度和加速度分别为v 0、a .由公式s ＝v 0t ＋1
2at 2得： 前4 s 内的位移48＝v 0×4＋1
2a ×42 前8 s 内的位移48＋80＝v 0×8＋1
2a ×82
解以上两式得v 0＝8 m/s ，a ＝2 m/s 2
解法三 物体运动开始后第2 s 、第6 s 时的速度分别为：
v 1＝s 1T ＝484 m/s ＝12 m/s ，v 2＝s 2
T ＝20 m/s 故物体的加速度a ＝v 2－v 1Δt ＝20－12
4 m/s 2＝2 m/s 2
初速度v 0＝v 1－a ·T
2＝12 m/s －2×2 m/s＝8 m/s 答案 8 m/s 2 m/s 2
课堂要点小结
自我检测区
1.(速度与位移关系的简单应用)两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．1∶ 2
D ．2∶1 答案 B
解析 由0－v 20＝2as 得s 1s 2＝v 2
01v 2
02，故s 1s 2＝(12)2＝1
4，B 正确．
2．(v ＝v t 2＝v 0＋v t 2的灵活应用)汽车自O 点出发从静止开始在平直公路上做匀加速直线
运动，途中在6 s 内分别经过P 、Q 两根电线杆，已知P 、Q 电线杆相距60 m ，车经过电线杆Q 时的速率是15 m/s ，则下列说法正确的是( )
A ．经过P 杆时的速率是5 m/s
B ．车的加速度是1.5 m/s 2
C ．P 、O 间的距离是7.5 m
D ．车从出发到经过Q 所用的时间是9 s 答案 ACD
解析 由于汽车在P 、Q 间的平均速度等于它经过两点时瞬时速度的平均值，即s t ＝v P ＋v Q 2，
故v P ＝2s t －v Q ＝5 m/s ，A 对．车的加速度a ＝v Q －v P t ＝53 m/s 2
，B 错．从O 到P 用时t ′＝v P
a ＝3 s ，
P 、O 间距离s 1＝v P
2·t ′＝7.5 m ，C 对．O 到Q 用时t ′＋t ＝3 s ＋6 s ＝9 s ，D 对．
3．(对Δs ＝aT 2的理解和应用)从斜面上某一位置每隔0.1 s 释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图4所示的照片，测得s AB ＝15 cm ，s BC ＝20 cm.试问：
图4
(1)小球的加速度是多少？ (2)拍摄时小球B 的速度是多少？ (3)拍摄时s CD 是多少？
答案 (1)5 m/s 2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
解析 小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s ，可以认为A 、B 、C 、D 各点是一个小球在不同时刻的位置．
(1)由推论Δs ＝aT 2可知，小球加速度为 a ＝Δs T 2＝s BC －s AB T 2＝20×10－2
－15×10
－2
0.12 m/s 2
＝5 m/s 2.
(2)由题意知B 点对应AC 段的中间时刻，可知B 点的速度等于AC 段上的平均速度，即
v B ＝v AC ＝s AC 2T ＝20×10－2＋15×10－22×0.1
m/s ＝1.75 m/s. (3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以
s CD －s BC ＝s BC －s AB
所以s CD ＝2s BC －s AB ＝2×20×10－2
m －15×10－2
m ＝25×10－2
m ＝0.25 m.
2.3 匀变速直线运动的规律(三)
[学习目标定位] 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式和三个导出公式及其特点并能熟练应用其解决问题.2.能推导初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式.3.能熟练应用自由落体运动的规律解决问题．
知识储备区
1.匀变速直线运动的两个基本公式： (1)速度公式：v t ＝v 0＋at ； (2)位移公式：s ＝v 0t ＋1
2at 2.
2．匀变速直线运动的三个常用的导出公式：
(1)速度位移公式：v 2
t －v 20
＝2as . (2)平均速度公式：①v ＝v t
2，即某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时
速度；②v ＝
v 0＋v t
2
，即某段时间内的平均速度等于初、末速度的平均值．
(3)在连续相等时间间隔T 内的位移之差为一恒定值，即Δs ＝aT 2
. 3．自由落体运动的规律 (1)速度公式v t ＝gt . (2)位移公式h ＝1
2gt 2. (3)速度位移公式v 2t ＝2gh .
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一、匀变速直线运动基本公式的应用
1．对于公式v t ＝v 0＋at 和s ＝v 0t ＋12at 2
，要理解好各个物理量的含义及其对应的关系．两个公式涉及5个量，原则上已知三个量可求另外两个量，可以解决所有的匀变速直线运动的问题．
2．解决运动学问题的基本思路为：审题→画过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴)→选用公式列方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．
例1 一个物体以v 0＝8 m/s 的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s 2
，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动．则( )
A ．1 s 末的速度大小为6 m/s
B ．3 s 末的速度为零
C ．2 s 内的位移大小是12 m
D ．5 s 内的位移大小是15 m
解析 由t ＝v t －v 0
a ，物体冲上最高点的时间是4 s ，又根据v t ＝v 0＋at ，物体1 s 末的速
度为6 m/s ，A 对，B 错．根据s ＝v 0t ＋1
2at 2，物体2 s 内的位移是12 m ，4 s 内的位移是16 m ，第5 s 内的位移是沿斜面向下的1 m ，所以5 s 内的位移是15 m ，C 、D 对．
答案 ACD
二、三个导出公式的应用
1．速度与位移的关系v 2t －v 2
0＝2as ，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此
式往往会使问题变得简单．
2．与平均速度有关的公式有v ＝s t 和v ＝v t 2＝v 0＋v t 2.其中v ＝s t 普遍适用于各种运动，而v ＝v t 2＝v 0＋v t 2只适用于匀变速直线运动．利用v ＝s t 和v ＝v t 2可以很轻松地求出中间时
刻的瞬时速度．
3．匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T 内的位移差为常数，即s 2－s 1＝aT 2
. 例2 一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s 内，火车从他跟前分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(相邻车厢连接处长度不计)，求：
(1)火车加速度的大小；
(2)这20 s 内中间时刻的瞬时速度； (3)人刚开始观察时火车速度的大小．
解析 (1)由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为a ，人开始观察时火车速度大小为v 0，车厢长L ＝8 m ，则Δs ＝aT 2，
8L －6L ＝a ×102
，
解得a ＝2L 100＝2×8
100 m/s 2＝0.16 m/s 2
(2)由于v t 2＝v ＝8L ＋6L 2T ＝14×8
20 m/s ＝5.6 m/s (3)由v t
22－v 2
0＝2·(－a )·8L 得v 0＝
v t
22＋16aL ＝7.2 m/s [还可以：由v t 2＝v 0－aT 得v 0＝v t
2＋aT ＝(5.6＋0.16×10) m/s＝7.2 m/s]
答案 (1)0.16 m/s 2 (2)5.6 m/s (3)7.2 m/s 三、初速度为零的匀变速直线运动的比例式
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T ) (1)T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末瞬时速度之比
v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n
(2)T 内、2T 内、3T 内、…、nT 内的位移之比
s 1∶s 2∶s 3∶…∶s n ＝12∶22∶32∶…∶n 2
(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内、……，第n 个T 内位移之比
s Ⅰ∶s Ⅱ∶s Ⅲ∶…∶s n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为s ) (1)通过前s 、前2s 、前3s 、…前ns 时的速度之比
v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n
(2)通过前s 、前2s 、前3s 、…前ns 的位移所用时间之比
t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶2∶3∶…∶n
(3)通过连续相等的位移所用时间之比：t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)
注意 ①以上比例成立的条件是物体做初速度为零的匀加速直线运动．②对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
例3 一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时( ) A ．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶n B ．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶3∶5∶…∶n C ．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶… D ．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
解析 设每节车厢为l ，由2as ＝v 2
t 得第一节车厢经过观察者时v 1＝2al ，同理，第二节经过观察者时v 2＝2a ·2l ……第n 节经过观察者时，v n ＝2a ·nl ，所以有v 1∶v 2∶v 3∶…∶
v n ＝1∶2∶3∶…∶n ，选项A 正确．相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶
5∶…，选项C 正确．
答案 AC
针对训练 做匀减速直线运动的物体经4 s 后停止，若在第1 s 内的位移是14 m ，则最后1 s 内的位移是( )
A ．3.5 m
B ．2 m
C ．1 m
D ．0 答案 B
解析 物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由14 m 7＝s 1
1得，所求位移s 1＝2 m.
四、自由落体运动
1．自由落体运动的基本规律 (1)速度公式：v t ＝gt . (2)位移公式：h ＝1
2gt 2. (3)速度位移公式：v 2t ＝2gh .
2．匀变速直线运动的其他规律，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的比例式同样适用于自由落体运动．
注意 若分析自由落体运动过程中的一段，则该过程是初速度不为零的匀变速直线运动，相应的速度公式和位移公式分别为v t ＝v 0＋gt 、h ＝v 0t ＋1
2gt 2.
例4 如图1所示，悬挂着的一根长为15 m 的直杆AB ，在直杆正下方5 m 处有一个无底圆筒CD .若将悬线剪断，直杆通过圆筒所用的时间为2 s ，求无底圆筒的竖直长度(g 取10 m/s 2
)．
图1
解析 取杆的下端B 点为研究对象， 设下降5 m 时B 点的速度的大小为v 0，
根据v 2
t ＝2gh 可得，
v 0＝2gh ＝2×10×5 m/s ＝10 m/s ，
直杆通过圆筒的时间是从B 点进入圆筒开始，到A 点离开圆筒时结束，设圆筒的竖直长度为l ，则在2 s 内杆下降的距离为l ＋15，由位移公式可得，l ＋15＝v 0t ＋1
2gt 2
，
即l ＋15＝10×2＋1
2×10×22
， 解得l ＝25 m. 答案 25 m
课堂要点小结
1．熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式 (1)v t ＝v 0＋at (2)s ＝v 0t ＋1
2at 2
2．对应题目中的场景灵活选用三个导出公式
(1)v 2
t －v 2
0＝2as (2)v ＝v t 2＝v 0＋v t
2 (3)Δs ＝aT 2
3．会推导和应用初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式．
4．熟练应用匀变速直线运动的公式、推论以及比例式解决自由落体运动问题.
自我检测区
1.(初速度为零的匀变速直线运动的几个比例式)如图2所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v 射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为( )
图2
A ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1
B ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1
C ．t 1∶t 2∶t 3＝1∶2∶ 3
D ．t 1∶t 2∶t 3＝(3－2)∶(2－1)∶1 答案 BD
解析 把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速运动．子弹由右向左依次“穿出”
3个木块的速度之比为1∶2∶ 3.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v 1∶v
2
∶v 3＝3∶2∶1，故B 正确．子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(2－1)∶(3
－2)．则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t 1∶t 2∶t 3＝(3－2)∶(2－1)∶1，故D 正确．
2．(导出公式的应用)超载、超速都会危及人民的生命安全．一货车严重超载后的总质量为50 t ，以54 km/h 的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s 2，而不超载时则为5 m/s 2.
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？ (2)在一小学附近，限速为36 km/h ，若该货车不超载，仍以54 km/h 的速率匀速行驶，看见正前方有一小孩后立即刹车到停止，幸运的是没有发生车祸，问货车比不超速行驶至少多前进了多远？
答案 (1)45 m 22.5 m (2)12.5 m
解析 (1)货车刹车时的初速度v 0＝15 m/s ，末速度为0，加速度分别为2.5 m/s 2
和5 m/
s 2，根据速度位移公式得：s ＝v
2
02a
代入数据解得超载时位移为s 1＝45 m 不超载时位移为s 2＝22.5 m
(2)不超速行驶时刹车后运动的最大距离为：s 3＝v ′2
2a ＝10 m
货车比不超速行驶时至少多前进了Δs ＝s 2－s 3＝12.5 m
3．(自由落体运动规律的应用)屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴己刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1 m 的窗户的上、下沿，如图3所示，问：
图3
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？(g 取10 m/s 2
) 答案 (1)3.2 m (2)0.2 s
解析 (1)根据比例关系，从上到下相邻水滴间距离之比为1∶3∶5∶7，而2、3两滴间距离为1米，所以总高度H ＝1＋3＋5＋75
×1＝3.2 m.
(2)根据h ＝1
2gt 2，代入数据得t ＝2H g ＝ 2×3.2
10 s ＝0.8 s.
滴水时间间隔Δt ＝t
4＝0.2 s.。