河南省南阳市高二数学下学期期中质量评估试题 理(扫描版)

河南省南阳市2013-2014学年高二数学下学期期中质量评估试题理
（扫描版）
2014高二春期期中理科试题答案
一：选择题 AAACD DCDAD CB
二：13. 2 14. 2π
15. []2,1- 16. 41
三：17．解：（1），
x x x x x f 2
11)(-=-='
所以)(x f 在)1,0(上单调递增，在∞+.1(）上单调递减 。

（5分）
（2），由（1）)(x f 在)
1,1(e 上单调递增，在e .1(上单调递减
)(x f 最大值为
21
)1(-=f 。

（7分） 0214)()1(224>--=-e e e e f e f 。

（8分）
)(x f 最小值为2
211)(e e f -= 。

（10分）
18.解：
)234(234)(223++=++='ax x x x ax x x f 因)(x f 仅在0=x 处有极值，等价于02342≥++ax x
对R x ∈恒成立， 。

（6分）
即
0329244)3(22≤-=⋅⋅-a a 得324324≤≤-
a 此时，0)(),,0(;0)(),0.(>'+∞∈<'-∞∈x f x x f x )(x f 仅在0=x 处有极小值，所求a 的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-324,324。

（12分）
19.解：分别将2,1=n 代人，得
1
,61
)2(105)
1(31==∴⎩⎨⎧+=+=b a b a b a 。

（2分）
下面用数学归纳法证明
当1=n 时，由上可知等式成立 。

（3分）
（2）假设k n =时结论成立，即6)
12)(1(3212222++=++++k k k k ,
那么1+=k n 时=++++++22222)1(321k k
)
162)(1()1(6)
12)(1(22++++=++++=k k
k k k k k k
6)
1
)1(2)(1)1)((1(6)32)(2)(1(+++++=+++=k k k k k k ，
这就是说，1+=k n 时，结论也成立 。

（11分）
由（1）（2）可知，存在常数1
,61
==b a 对任意的*∈N n ，都有
6)
12)(1(3212222++=++++n n n n 。

（12分）
20.解：（1）x x f 2)('=
1l ∴为)(22t x t t y -=- 。

（1分）
即22t tx y -=，它与x 轴交于)
0,2(t ，与2l 交于（2，)42t t -，
则)(t g =)4)(22(212202
t t t x ---⎰t
t t
x 424|312
3
203-+-=
38
42423
+-+-=t t t ，))2,0((∈t 。

（6分）
（2）)
34
)(4(434443)(2
'---=-+-=t t t t t g ，
由)20(0)('<<>t t g 得)2,34(∈t ，)(x g ∴在)
2,34
(上增，
由)20(0)('<<<t t g 得)34,0(∈t ，)(x g ∴在)34,0(上减，
.278)34()(min ==∴g x g 。

（12分）
21. 解：(1)
b ax x x f ++='23)(2，依题意023)1(=++='b a f 101)1(2=+++=a b a f 解得⎩⎨⎧-==114b a 或⎩⎨⎧=-=33b a
经检验当⎩⎨⎧=-=33b a 时无极值点，当⎩
⎨⎧-==114b a 时函数)(x f 在1=x 处有极小值，故11-=b ， 。

（4分）
2）
023)(2≥++='b ax x x f 对),1[+∞-∈∀a ，当)2,0(∈x 恒成立 记b x a x b ax x a h ++=++=2
23)2(23)(，
所以
023)1()(2min ≥+-=-=b x x h a h 又设b x x x H +-=23)(2， 当)2,0(∈x 时031)31()(min ≥+-==b H x H
31≥b ，所以b 的最小值为31
. 。

（8分）
（3）：当1=a 时，
1)(23+++=bx x x x f ，设切点为),(00y x P ，则切线斜率为2)(23)(000200+=
++='x x f b x x x f 得01247202030=-+++b x x x 记=)(0x F 1247202030-+++b x x x ，过点)0,2(-能作)(x f 三条切线等价于
)(0x F 有三个零点
)2)(13(24146)(000200++=++='x x x x x F
令⎪⎩⎪⎨⎧<->-0)31(0)2(F F 即⎪⎩⎪⎨⎧<->+027442032b b 得)2722,23(-∈b 。

（12分）
22. 解：（1）22'
)1(1)22()(++-+=x x x a x x f ，因为)(x f 在),0(+∞上为单调增函数，所以0)('≥x f 在),0(+∞上恒成立，即01)22(2≥+-+x a x 在),0(+∞上恒成立，它等价于x x a 1
22+≤-在),0(+∞上恒成立，因为
),0(+∞∈x 时，2)1(m i n =+x x ，,222≤-∴a 即,2≤a ∴a 的取值范围为(]2,∞-. 。

（6分）
（2）不妨设n m >，原不等式等价于,21ln 1+<-n m n m n m 即1)1(2ln +->n m n
m n m ，
即01)1(
2ln >+--n m n m n m ， 令,1)1(2ln )(+--
=x x x x h 这个函数即为2=a 时的函数)(x f ，由（1）知它在),1(+∞上是
单调增函数，又1>n m ，0)1()(=>∴h n m h ，
01)1(
2ln >+--∴n m n m n m ，∴.2ln ln n m n m n m +<-- 。

（12分）。