安徽省淮北市、宿州市2020-2021学年高三上学期一模数学(理)试题
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3．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为()．
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A． B． C． D．
5．若实数x，y满足条件 ，则z＝2x-3y的最小值为（）
A．-8B．-7C．-6D．1
6．已知等差数列 的前n项和为 ，则“ 的最大值是 ”是“ ”的（）
8．定义在实数集 上的奇函数 满足 ，当 时 ，若 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
9．已知A，B是圆 上的两个动点， ， ，若M是线段 的中点，则 的值为（）
A． B． C．2D．3
10．函数 ，则满足 的实数k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
11．椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，斜率为 的直线l过左焦点 且交 于 ， 两点，且 的内切圆的周长是 ，若椭圆 的离心率为 ，则线段 的长度的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，（ 为自然对数的底数），若关于 的不等式 有解，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 ________.
14．若 ，则 _________.
15．已知圆 ，定点 ，过点M的直线l与圆O交于P、Q两点，P、Q两点均在x轴的上方，如图，若 平分 ，则直线l的方程为________.
22．已知函数 ， ，曲线 与曲线 在 处的切线互相垂直，记 .
（1）求实数k的值；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若 ，试比较 与1的大小关系.
参考答案
1．B
【分析】
根据对数的运算性质，求得集合 ，得到 或 ，再结合交集的运算，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，解得
所以集合 ， ，
可得 或 ，
所以 .
6．B
【分析】
利用等差数列的下标和性质、结合等差数列的增减性，利用充分条件与必要条件的定义即可得答案.
【详解】
若 的最大值是 ，则前2018项为正数，2019项以后都是负数，但是 有可能成立，即 不一定成立，故充分性不成立；
因为 ，
所以等差数列为递减数列，前2018项为正数，2019项以后都是负数，
所以 的最大值是 ，即必要性成立，
综上，“ 的最大值是 ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的下标和性质以及等差数列的增减性的应用，考查了充分条件与必要条件的定义，属于基础题.
7．B
【分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
16．如图，正方形 的边长为1， 面 ， ，且 ，M为线段 上的动点，有以下结论：①该几何体外接球的体积为 ；② ；③若 面 ，则M为 的中点；④ 的最小值为3.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
三、解答题
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项的和 .
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用对数函数性质和指数幂比较大小，属基础题.
5．B
【分析】
画出可行域，即可求出最优解，进而可求出目标函数的最小值.
【详解】
解：目标函数可变形为 ，可行域如图所示，联立 ，解得 ，过 时，z＝2x-3y取最小值，即 .
故选:C.
【点睛】
本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题.
3．D
【解析】
由于函数y=xcosx
由当 时，y=1>0，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.
由此可排除选项A和选项C.
故正确的选项为D.
故选D.
4．B
【分析】
根据对数函数的性质和指数幂的运算，比较大小即可.
【详解】
解：因为 ， ， ，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上运动，是否存在点 使平面 与平面 所成二面角的平面角的余弦值为 ，若存在，求线段 的长，若不存在，说明理由.
21．已知椭圆 的焦距是 ，且椭圆过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2） ， 是抛物线 上的两点，且在点 ， 处的切线相互垂直，直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点，求 的面积的最大值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中 ，则函数g（x）=cos（2x-φ）的图象（ ）
A．关于点 对称B．关于轴 对称
C．可由函数f（x）的图象向右平移 个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移 个单位得到
18． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ， ，且满足 .
（1）求角C的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
19．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了 个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
注:尺寸数据在 内的零件为合格品,频率作为概率.
(Ⅰ) 从产品中随机抽取 件,合格品的个数为 ,求 的分布列与期望；
(Ⅱ) 从产品中随机抽取 件,全是合格品的概率不小于 ,求 的最大值；
(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出 两种不同的改进方案进行试验.若按 方案进行试验后,随机抽取 件产品,不合格个数的期望是 ；若按 方案试验后,抽取 件产品,不合格个数的期望是 ,你会选择哪个改进方案?
20．如图，在梯形 中， // ， ， ，四边形 为正方形，平面 平面 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，以及对数的运算的性质，其中解答中根据对数的运算性质，求得集合 ，熟练应用集合的交集和补集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
2．A
【分析】
利用复数除法运算可整理得到复数 ，由模长公式可求得结果.
【详解】
， .
故选： .
【点睛】
本题考查复数模长的求解问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
安徽省淮北市、宿州市2020-2021学年高三上学期一模数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 ， 为虚数单位，复数 ，则 （）
A．1B． C． D．2
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A． B． C． D．
5．若实数x，y满足条件 ，则z＝2x-3y的最小值为（）
A．-8B．-7C．-6D．1
6．已知等差数列 的前n项和为 ，则“ 的最大值是 ”是“ ”的（）
8．定义在实数集 上的奇函数 满足 ，当 时 ，若 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
9．已知A，B是圆 上的两个动点， ， ，若M是线段 的中点，则 的值为（）
A． B． C．2D．3
10．函数 ，则满足 的实数k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
11．椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，斜率为 的直线l过左焦点 且交 于 ， 两点，且 的内切圆的周长是 ，若椭圆 的离心率为 ，则线段 的长度的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，（ 为自然对数的底数），若关于 的不等式 有解，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 ________.
14．若 ，则 _________.
15．已知圆 ，定点 ，过点M的直线l与圆O交于P、Q两点，P、Q两点均在x轴的上方，如图，若 平分 ，则直线l的方程为________.
22．已知函数 ， ，曲线 与曲线 在 处的切线互相垂直，记 .
（1）求实数k的值；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若 ，试比较 与1的大小关系.
参考答案
1．B
【分析】
根据对数的运算性质，求得集合 ，得到 或 ，再结合交集的运算，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，解得
所以集合 ， ，
可得 或 ，
所以 .
6．B
【分析】
利用等差数列的下标和性质、结合等差数列的增减性，利用充分条件与必要条件的定义即可得答案.
【详解】
若 的最大值是 ，则前2018项为正数，2019项以后都是负数，但是 有可能成立，即 不一定成立，故充分性不成立；
因为 ，
所以等差数列为递减数列，前2018项为正数，2019项以后都是负数，
所以 的最大值是 ，即必要性成立，
综上，“ 的最大值是 ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的下标和性质以及等差数列的增减性的应用，考查了充分条件与必要条件的定义，属于基础题.
7．B
【分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
16．如图，正方形 的边长为1， 面 ， ，且 ，M为线段 上的动点，有以下结论：①该几何体外接球的体积为 ；② ；③若 面 ，则M为 的中点；④ 的最小值为3.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
三、解答题
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项的和 .
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用对数函数性质和指数幂比较大小，属基础题.
5．B
【分析】
画出可行域，即可求出最优解，进而可求出目标函数的最小值.
【详解】
解：目标函数可变形为 ，可行域如图所示，联立 ，解得 ，过 时，z＝2x-3y取最小值，即 .
故选:C.
【点睛】
本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题.
3．D
【解析】
由于函数y=xcosx
由当 时，y=1>0，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.
由此可排除选项A和选项C.
故正确的选项为D.
故选D.
4．B
【分析】
根据对数函数的性质和指数幂的运算，比较大小即可.
【详解】
解：因为 ， ， ，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上运动，是否存在点 使平面 与平面 所成二面角的平面角的余弦值为 ，若存在，求线段 的长，若不存在，说明理由.
21．已知椭圆 的焦距是 ，且椭圆过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2） ， 是抛物线 上的两点，且在点 ， 处的切线相互垂直，直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点，求 的面积的最大值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中 ，则函数g（x）=cos（2x-φ）的图象（ ）
A．关于点 对称B．关于轴 对称
C．可由函数f（x）的图象向右平移 个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移 个单位得到
18． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ， ，且满足 .
（1）求角C的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
19．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了 个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
注:尺寸数据在 内的零件为合格品,频率作为概率.
(Ⅰ) 从产品中随机抽取 件,合格品的个数为 ,求 的分布列与期望；
(Ⅱ) 从产品中随机抽取 件,全是合格品的概率不小于 ,求 的最大值；
(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出 两种不同的改进方案进行试验.若按 方案进行试验后,随机抽取 件产品,不合格个数的期望是 ；若按 方案试验后,抽取 件产品,不合格个数的期望是 ,你会选择哪个改进方案?
20．如图，在梯形 中， // ， ， ，四边形 为正方形，平面 平面 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，以及对数的运算的性质，其中解答中根据对数的运算性质，求得集合 ，熟练应用集合的交集和补集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
2．A
【分析】
利用复数除法运算可整理得到复数 ，由模长公式可求得结果.
【详解】
， .
故选： .
【点睛】
本题考查复数模长的求解问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
安徽省淮北市、宿州市2020-2021学年高三上学期一模数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 ， 为虚数单位，复数 ，则 （）
A．1B． C． D．2