山东省临沂市2013届高三数学第三次模拟考试 理(临沂三模)(含解析)新人教A版

2013年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2013•临沂三模）复数z满足方程z=（z﹣2）i（i为虚数单位），则z=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：设复数z=a+bi（a，b∈R），则a+bi=（（a+bi﹣2）i，利用复数相等即可得出．
解答：解：设复数z=a+bi（a，b∈R），则a+bi=（（a+bi﹣2）i，
∴a+bi=（a﹣2）i﹣b，
∴，解得．
∴z=1﹣i．
故选B．
点评：熟练掌握复数的运算法则和复数相等是解题的关键．
2．（5分）（2013•临沂三模）已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＜1}，则（∁R A）∩B=（）
A．（0，1] B．（0，1）C．[0，1] D．[﹣1，1]
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：通过求解一元二次不等式和对数不等式分别化简集合A与B，然后直接利用补集及交集运算求解．解答：解：由A={x|x2＞1}={x|x＜﹣1或x＞1}，
所以∁R A={x|﹣1≤x≤1}，又B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，
所以（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤1}∩{x|0＜x＜2}=（0，1]．
故选A．
点评：本题考查了补集及交集运算，考查了一元二次不等式与对数不等式的解法，是基础的运算题．3．（5分）（2013•临沂三模）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示
甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）
A．B．C．D．
考点：极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数．
分析：根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．
解答：
解：由茎叶图可看出甲的平均数是，
乙的平均数是，
∴两组数据的平均数相等．
甲的方差是（36+1+0+0+1+36）=，
乙的方差是（49+4+0+0+4+49）=．
∴甲的标准差小于乙的标准差，
故选B．
点评：本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
4．（5分）（2013•临沂三模）下列选项中叙述错误的是（）
A．命题“若x=1，则x2﹣x=0”的逆否命题为真命题¬
B．若p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则 p：∃x0∈R，x02+x0+1=0
C．“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件
D．若“p∧q”为假命题，则“p∨q”为真命题
考点：命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；全称命题；特称命题；命题的否定．
专题：计算题．
分析：利用四种命题的逆否关系判断A的正误；全称命题与特称命题的否定B的正误；通过充要条件的判定判断C的正确；复合命题的真假判断D的正误．
解答：解：对于A，“若x=1，则x2﹣x=0”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，所以A正确；
对于B，若p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则 p：∃x0∈R，x02+x0+1=0，符合全称命题与特称命题的否
定，所以B正确．
对于C，“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件，满足充分不必要条件的判断，所以C正确；
对于D，若“p∧q”为假命题，可能p、q两个命题都是假命题，此时“p∨q”为假命题，所以D不正确．
故选D．
点评：本题考查命题的真假判断，四种命题的逆否关系，充要条件的判断等基本知识的应用．
5．（5分）（2010•安徽）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
考点：幂函数图象及其与指数的关系．
分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
解答：
解：∵在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b
故答案选A
点评：本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．
6．（5分）（2013•临沂三模）要得到函数的图象，只需将函数
的图象（）
A．
向左平移个单位长度B．
向右平移个单位长度
C．
向左平移个单位长度D．
向右平移个单位长度
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：
把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．
解答：
解：=，
故把的图象向左平移个单位，即得函数
的图象，
即得到函数的图象．
故选 C．
点评：本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．7．（5分）（2013•临沂三模）一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
俯视图
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．
解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．
=﹣
=
=．
故选B．
点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
8．（5分）（2013•临沂三模）2013年中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）
A．51种B．224种C．240种D．336种
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：计算题．
分析：选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法，可以分为两类：一类是一架飞机来自于中方，一类是一架飞机来自于外方．分类计数可得．
解答：解：由题意，可分类求解：
一类是一架飞机来自于中方C41C51C32=60
一类是一架飞机来自于外方C61C31C52=180，
∴C41C51C32+C61C31C52=60+180=240，
故选C
点评：本题主要考查计数原理及组合知识的应用，涉及分类讨论思想，属中档题．
9．（5分）（2013•临沂三模）如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，函数g（x）=e x﹣f'（x）的零点所在的区间是（k，k+1）（k∈z），则k的值为（）
A．﹣1或0 B．0C．﹣1或1 D．0或1
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：由二次函数图象的对称轴确定a的范围，由g（x）=e x﹣2x﹣a=0得e x=2x+a，分别作出函数y=e x和
y=2x+a的图象，从而确定零点所在的区间，进而求得整数k．
解答：
解；∵二次函数f（x）图象的对称轴 x=﹣∈（﹣1，﹣），
∴1＜a＜2，
由g（x）=e x﹣2x﹣a=0得e x=2x+a
分别作出函数y=e x和y=2x+a的图象，如图所示．
从而函数y=e x和y=2x+a的图象的两个交点的横坐标分别在区间（﹣1，0）和（1，2）上．
∴函数g（x）=e x﹣f'（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）和（1，2）；
∵函数g（x）=e x﹣f'（x）的零点所在的区间是（k，k+1）（k∈z），
∴k=﹣1或1
故选C．
点评：此题是个中档题．考查函数的零点与方程根的关系以及函数零点的判定定理，同时考查学生识图能力．
10．（5分）（2013•临沂三模）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题．
分析：由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．
解答：
解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+1）（2x﹣）5
故其常数项为22×C53﹣23C52=﹣40．
故选A．
点评：本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．
11．（5分）（2013•临沂三模）已知矩形ABCD的边AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y=asin2ax （a＞0）的一个完整周期的图象，则当a变化时，矩形ABCD的周长的最小值为（）
A．B．C．D．
考点：正弦函数的图象；基本不等式．
专题：计算题．
分析：依题意，矩形ABCD的周长l=2T+2×2a，利用基本不等式即可求得矩形ABCD的周长的最小值．
解答：解：依题意，作图如下：
∵a＞0，矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y=asin2ax（a＞0）的一个完整周期的图象，
∴|AB|=2a，|BC|=T==，
∴矩形ABCD的周长l=2T+2×2a=2×+4a≥2=4，
即矩形ABCD的周长的最小值为：4．
故选B．
点评：本题考查正弦函数的图象与基本不等式，求得矩形ABCD的周长的表达式是关键，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题．
12．（5分）（2013•临沂三模）某农户计划种植黄瓜和西红柿，种植面积不超过50亩，投入资金不超过48万元，假设种植黄瓜和西红柿的产量成本和售价如下表：
年产量/亩年种植成本/亩每吨售价
黄瓜4吨 1.2万元0.55万元
西红柿6吨0.9万元0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和西红柿的种植面积（单位：亩）分别为（）
A．10，40 B．20，30 C．30，20 D．40，10
考点：简单线性规划．
专题：应用题．
分析：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y 的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．
解答：解：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元
由题意可知
一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9x=x+0.9y
作出约束条件如下图阴影部分
平移直线x+0.9y=0，当过点A（10，40）时，一年的种植总利润为z取最大值．
故选A．
点评：本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.
13．（4分）（2013•临沂三模）若不等式|2x﹣a|+a≤4的解集为{x|﹣1≤x≤2}，则实数a= 1 ．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：解绝对值不等式|2x﹣a|+a≤4，求得它的解集．再根据它的解集为{x|﹣1≤x≤2}，比较可得a的值．
解答：解：由不等式|2x﹣a|+a≤4 可得|2x﹣a|≤4﹣a，即 a﹣4≤2x﹣a≤4﹣a，
化简可得 a﹣2≤x≤2，故不等式|2x﹣a|+a≤4的解集为{x|a﹣2≤x≤2}．
而已知不等式|2x﹣a|+a≤4的解集为{x|﹣1≤x≤2}，∴a﹣2=﹣1，解得a=1，
故答案为 1．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，属于中档题．
14．（4分）（2013•临沂三模）过双曲线=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：先设垂足为D，根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标，进而得到D点坐标．表示直线DF的斜率与直线OD的斜率乘积为﹣1，进而得到a和b的关系，进而求得离心率．
解答：解：设垂足为D，
根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=x，焦点为F（，0）
D点坐标（，）
∴k DF==﹣
∵OD⊥DF
∴k DF•k OD=﹣1
∴，即a=b
∴e===
故答案为
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识．
15．（4分）（2013•临沂三模）已知三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在球面上，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=2，PC=3，则此球的表面积为17π．
考点：球的体积和表面积；球内接多面体．
专题：空间位置关系与距离．
分析：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．
解答：解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它
扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：=
所以球的直径是，半径为，
∴球的表面积：17π．
故答案为：17π．
点评：本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
16．（4分）（2013•临沂三模）如图放置的正方形ABCD，AB=1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则•的最大值是 2 ．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：
设∠DAO=θ，则∠BAx=﹣θ，OA=cosθ，OD=sinθ，求得点B（cosθ+sinθ，cosθ），点C
（sinθ，cosθ+sinθ），计算等于1+sin2θ≤2，可得的最大值．
解答：
解：设∠DAO=θ，则∠BAx=﹣θ，∴OA=cosθ，OD=sinθ，
∴点B（cosθ+sinθ，cosθ），过点C作y轴的垂线CE，E为垂足，则∠CDE=θ，
由此可得点C（sinθ，cosθ+sinθ）．
∴=（cosθ+sinθ）sinθ+cosθ（cosθ+sinθ）=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+sin2θ≤2，
故的最大值为2，
故答案为 2．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求得点C（sinθ，cosθ+sinθ），是解题的难点和关键，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）（2013•临沂三模）已知的图象上两相邻对称轴间的距离为
．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，△ABC的面积是，求a 的值．
考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理．
专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．
分析：
（Ⅰ）利用三角变换与辅助角公式将f（x）化为f（x）=sin（ωx﹣）﹣，由T=π可求得ω，从而可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）由f（A）=，结合题意可求得A，利用三角形的面积公式由S△ABC=bcsinA=3及c=3可求得b，再由余弦定理即可求得a．
解答：解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）周期为π．
∵f（x）=﹣+sinωx=﹣+sinωx=sinωx﹣cosωx﹣=sin（ωx﹣
）﹣，
∴ω==2，
∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+得：2kπ+≤2x≤2kπ+，
∴kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）．
∴f（x）的单调减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=，得sin（2A﹣）﹣=，
∴sin（2A﹣）=1．
∵0＜A＜π，
∴﹣＜2A﹣＜，
∴2A﹣=，A=．
由S△ABC=bcsinA=3，c=3，
得b=4，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=16+9﹣2×4×3×=13，
故a=．
点评：本题考查三角变换与辅助角公式，考查正弦函数的单调性，考查三角形的面积公式及余弦定理，考查分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（12分）（2013•临沂三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA=PC．（Ⅰ）求证：平面APB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．
分析：
（I）过P作PO⊥AB，垂足为O，连结OC．设AB=2，在△AOC中，根据余弦定理算出，从而得出PO2+OC2=4=PC2，证出PO⊥OC，结合线面垂直判定定理得到PO⊥平面ABC，再由PO⊂平面APB，证出平面APB⊥平面ABC；
（II）以O为坐标原点，OB、OP所在直线为y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系，可得A、
C、P各点的坐标，从而得到的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组
是平面APC的一个法向量．再由平面APB的向量为=（1，0，0），算出
夹角的余弦值等于，即可得到二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
解答：解（Ⅰ）过P作PO⊥AB，垂足为O，连结OC．
设AB=2，则，
在△AOC中，，
由余弦定理得．
在△POC中，，
∴PO2+OC2=4=PC2，∴可得∠POC=90°，即PO⊥OC．
又∵PO⊥AB，且AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC
∵PO⊂平面APB，∴平面APB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OP所在直线为y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系，
则可得．
∴，
设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），则，即
令x1=1，得y1=﹣，z1=1，可得．
而平面APB的一个法向量为=（1，0，0），设二面角B﹣AP﹣C的平面角为α，且α为锐角，∴．
由此可得二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．
点评：本题在三棱锥中证明面面垂直，并且求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究平面与平面所成角的大小的方法，属于中档题．
19．（12分）（2013•临沂三模）已知当x=5时，二次函数f（x）=ax2+bx+c取得最小值，等差数列{a n}的前n项和S n=f（n），a2=﹣7．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为T n，且，证明．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：（I）利用二次函数在对称轴处取得最小值列出关于a，b的等式；利用数列的通项与前n项和的关系得到通项的形式，利用已知条件a2=﹣7求出参数a的值，进一步得到数列{a n}的通项公式．
（II）求出数列{b n}的通项，根据其通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成，所以利用错位相减法求出前n项和
T n，分n≤4和n＞4进行证明．
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=a+b+c，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2an+b﹣a，
又a1适合上式，得2a+b﹣a=a+b+c，∴c=0．
由已知，
解方程组得
∴a n=2n﹣11．
（Ⅱ），
∴①②
①﹣②得
==，
∴．
则，，，
当n≥4时，，∴，
综上，得．
点评：求数列的前n项和应该先求出数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和方法．常见的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．
20．（12分）（2013•临沂三模）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），单位：元）．
（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据直方图，可得居民月收入在[1500，2000）的概率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），由此可算出样本数据的中位数；
（Ⅲ）由题意知，X～B（3，0.3），求出相应的概率，可得X的分布列和数学期望．
解答：解：（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1﹣（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1﹣0.0016×500=1﹣0.8=0.2．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000，2500），
设中位数为x，则0.0002×500+0.2+0.0005（x﹣2000）=0.5，解得x=2400．
（Ⅲ）居民月收入在[1000，2000）的概率为0.0002×500+0.2=0.3，
由题意知，X～B（3，0.3），
因此，，
，．
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
X的数学期望为3×0.3=0.9．
点评：本题考查频率分布直方图，考查中位数的计算，考查随机变量X的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（13分）（2013•临沂三模）已知直线，圆O：x2+y2=5，椭圆的
离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）若=2求直线l的方程；
（2）若动点P满足=+，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离为d=，利用勾股定理可求得b值，根据b值，，a2=b2+c2可求得a；
（Ⅱ）（1）易判断l斜率不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得y1=﹣2y2①，设直线l：x=my+1，代入椭圆消掉x得y的二次方程，由韦达定理及①可用m表示y1，y2，代入
，得×，解出m，从而得到直线l的方程；（2）问题
等价于在椭圆上是否存在点P，使得成立．易判断直线斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，由（1）的设法可得P（x1+x2，y1+y2），若点P在椭圆C上，可得
，再由点A，B在椭圆上，可得2x1x2+3y1y2+3=0②，代入
韦达定理可得m的方程，解出m，进而可求出点P的坐标，得到结论；
解答：
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离为，
∴．由题意得，解得a2=3，b2=2．
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率为0时，检验知．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2），则有y1=﹣2y2①，
设直线l：x=my+1，联立消去x，整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0．
∴．
结合①，得．
代入，得×，即，解得，
故直线l的方程是．
（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得成立．
当直线l的斜率为0时，可以验证不存在这样的点，故设直线l的方程为x=my+1，
用（1）的设法，可得P（x1+x2，y1+y2）．
若点P在椭圆C上，则，即
．
又点A，B在椭圆上，有，
则，即2x1x2+3y1y2+3=0②，
由（1）知x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=，
代入②式得，解得，即．
当时，，；
当时，，．
故椭圆C上存在点P，使得成立，即动点P的轨迹与椭圆C存在公共
点，公共点的坐标是．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，能力要求较高．
22．（13分）（2013•太原一模）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0对于一切恒成立，求a的最小值；
（Ⅱ）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）
成立，求a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：
（Ⅰ）不等式f（x）＞0对于一切恒成立，分离参数后即在
内恒成立，构造函数h（x）=2﹣（x），则问题转化为a＞h（x）max，利用导数即可求得函数h（x）的最大值；
（Ⅱ）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a等
于2时不合题意，当a不等于2
时，求出f′（x）=0时x的值，根据x属于（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x 的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）由题意得（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＞0在内恒成立，即在
内恒成立，
设，则，
设，则，
∴φ（x）在内是减函数，∴，
∴h'（x）＞0，h（x）在内为增函数，
则，∴a≥2﹣4ln2，
故a的最小值为2﹣4ln2．
（Ⅱ）g'（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，
所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不合题意；当a≠2时，f'（x）=2﹣a﹣==，x∈（0，e]
当x=时，f'（x）=0．
由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故0＜＜e，即a＜2﹣①
此时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
又因为，当x→0时，f（x）→+∞，
f（）=a﹣2ln，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2，
所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），
使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：
即
令h（a）=a﹣2ln，a∈（﹣∞，2﹣），
则h′（a）=1﹣2[ln2﹣ln（2﹣a）]′=1﹣=，令h'（a）=0，得a=0或a=2，
故当a∈（﹣∞，0）时，h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；
当a∈（0，2﹣）时，h'（a）＜0，函数h（a）单调递减．
所以，对任意a∈（﹣∞，2﹣），有h（a）≤h（0）=0，
即②对任意a∈（﹣∞，2﹣）恒成立．
由③式解得：a≤2﹣．④
综合①④可知，当a∈（﹣∞，2﹣]时，对任意给定的x0∈（0，e]，
在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．
点评：此题考查学生会利用导函数研究函数的恒成立问题、最值问题，考查学生分析解决问题的能力．。