广义RW度规

(1 R )dt
R
dr 1 r
r (d
sin
d
)
Gtt
3 a2
Gij
1-a2 2aa gij a2 (a 1)2
（ｉ、 ｊ＝１、 ２、 ３ ）
dx12
2 dx2
2 dx3
2 dx4
x
x
x
R (t )
x1
R(t ) sin sin cos R(t )sin sin sin R(t ) cos
dr 1 r
x2 x3 x4
R(t ) sin cos
R
r (d
ds
因为在均匀各向同性的宇宙中， ｇ０ ｉ 在随动坐标系中总可以取 为零。所以有：
d
宇宙学原理告诉我们空间是各向同性的， 在大的 （如银河系 ） 尺 度平均意义下我们的空间是均匀和各向同性的， 即把银河系尺度的 星系看作为一个大粒子， 平均来看， 宇宙中物质分布是均匀和各向 同性的。所以， 在同一宇宙时 ｔ 下空间各点是均匀和各向同性的， 故 从整体看这三维空间是常曲率空间。从数学上看， 常曲率空间通常 可以分为正、 负和零常曲率三种情况。 正常曲率空间通常被称为 ｄｅ Ｓｉｔｔｅｒ 空间。 现代科学认为地球不是宇宙的中心， 星体在天空中绕着我们旋 转， 是因为地球自转而产生的。但是由于宇宙中的物质分布在大的 尺度上是均匀和各向同性的， 故在这 ３ 维球面上任意一点建立一个 极坐标系来观察宇宙都是等价的，所以地球可作为观察宇宙的中 心， 即地球可作为人们观察和认识宇宙的中心。 在四维平直空间中， 两点之间的距离可以写为：
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摘 要： 宇宙物质的分布是四维空间的三维球， 膨胀到今天时空已经渐进平坦。现在的所有宇宙学模型中， 在推导度规时都把四维空 间的三维球的曲率半径取为常数， 而空间曲率不是常数而是时间的函数。本文首次解决了这个问题， 从而给出了准确的度规表述， 并在这 个表述下给出了更一般的爱因斯坦张量， 并且当推导度规时把四维空间的三维球的曲率半径取为常数， 则与原先的结论相等。 关键词： 度规； 尺度因子； 爱因斯坦张量 １ 广义度规 随动坐标系 （ｃｏｍｏｖｉｎｇ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ） 是指和宇宙物质流体一起运 动的坐标系， 为简单起见， 我们先考虑一个膨胀的二维球面， 此时球 面上的经线和纬线被看作一个随动坐标系。在随动坐标系中， 处在 膨胀状态下， 因为空间各点是均匀的， 具有相同的宇宙时， 所以宇宙 空间满足 ｔ 为常数的最大子空间的要求。 1 ， 在一般情况下， 由于在随动坐标系中 dX 0, 则 爱因斯坦张量
sin
d
)
R dt
结束语 宇宙学的基本假设是空间均匀性和各向同性性， 建立在这个基 本假设基础上的 ＲＷ 度规是标准宇宙模型的基础。 但天文观测发现 宇宙在加速膨胀， 所以空间曲率不是常数而是时间的函数， 但我们 在计算 ＲＷ 度规时是把空间曲率作为常数。 所以本文把曲率作为时 间的函数从新计算 ＲＷ 度规，并把这个度规命名为广义 ＲＷ 度规， 并用这个度规从新计算了爱因斯坦张量，得到了与原先结论不一 样， 但是更为严格的表述。以后在这个度规下还可以计算爱因斯坦 方程， 及方程的解， 宇宙尺度因子随时间的演化等等。 参考文献 [1] Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry, University of Chica － go (2012) [2] V. Mukhanov. Physical foundations of cosmology. Cambridge u － niversity press, 2005. [3] A. V. Yurov, and V. A. Yurov. Friedman versus Abel equa－ tions: A connection unraveled. Journal of mathematical physics 51, 082503 (2010). [4] J. G. Russo, Phys. Lett. B 600, 185 (2004) /abs/ hep-th/0403010. [5] E.A.Kurianovich Representation of Friedmann equation solution in form of generalized Dirichlet series, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki. 2013. V. 2 (31). P. 200-205 (in Rus－ sian).
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广义 ＲＷ 度规
曹 琴 （北京工业大学， 北京 １００１２４）
G
R
1 g R 2
其中 R
R
R
g R
R
R
d
g (dx )x
x
x
,
R
,
在广义度规：
2
g 00 (dx 0 ) 2
gij dxi dx j
ds
(1 R )dt
R
dr 1 r
r (d
sin
d
)
下按照上面的公式计算爱因斯坦张量得：
dl 2
并且满足空间均匀等价的具有最大对称性的四维平直空间中 的 ３ 维球面为：
x
将直角坐标转化为球坐标：
求出欧式线元可表为
ds
写成闵氏线元可表为：
ds
２ 广义爱因斯坦张量
曹琴， 北京工业大学， 应用数理学院， 物理系， 硕士研究生。 作者简介：
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