八年级数学四边形动点问题练习

中考数学动点专题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；
（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．
1、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
(1)、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
(2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
2.梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，动时间为t 秒，问：
（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？ （2）在某个时刻，四边形PQCD （3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？ （4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？ 3.如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点
P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？
4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC cm ==,AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从A 开始沿AB 边向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

设运动时间为t 秒。

（1）求证：当t =2
3时，四边形APQD 是平行四边形；
D A
M O F N E
B C D
（2）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。

5. 4. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠B
C A 的外角平分线于F 。

（1）求让：EO FO =； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，
点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？
(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ (3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？
若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．
2、（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点3
个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4同
PDQ ．设运动时间为t （秒）．
（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；
（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？
（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．
3、（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

OA 、OB 的长
分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两根(OA ＞OB)，直线BC 平分∠ABO 交x
轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动。

(1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2的值； (2)求直线BC 的解析式； (3)设PA －PO ＝m ，P 点的移动时间为t 。

①当0＜t ≤54时，试求出m 的取值范围； ②当t ＞54时，你认为m 的取值范围如何(只要求写出结论)？ 4、在ABC ∆中，
,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有
两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿
AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。

过点P 作
PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。

设动点运动时间为x 秒。

（1）用含
x 的代数式表示AE 、DE 的长度；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ∆的面积为
2()y cm ，
求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； A P C B P
（3）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形。

5、（杭州）在直角梯形ABCD 中，90C ∠=︒，高6CD cm =（如图1）。

动点,P Q 同时从点B 出发，点P 沿,,BA AD DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，两点运动时的速度都是1/cm s 。

而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。

设,P Q 同时从点B 出发，经过的时间为()t s 时，BPQ ∆的面积为()2y cm （如图2）。

分别以,t y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN 。

（1）分别求出梯形中,BA AD 的长度；
（2）写出图3中,M N 两点的坐标；
（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。

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30ABO
=∠．动点P 在B
M N ，作等边PMN △． （1）求直线AB 的解析式；
（2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；
（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
7、两块完全相同的直角三角板ABC 和DEF 如图1BC =EF =3．固定Rt △ABC 不动，让Rt △DEF 沿CB 形重叠阴影部分的面积为y ．
（1）如图2，求当x =2
1时，y 的值是多少？ （2）如图3，当点E 移动到AB 上时，求x 、y （3）求y 与x 之间的函数关系式；
8、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.
（1）当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（图1） （图2） （图3） （图1） （图2）
E （3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的
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？若不存在，请说明理由. 4. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC
边上的一个动点，过O 作直线MN//BC ，设MN 交∠
∠BCA 的外角平分线于F 。

（1）求让：EO FO =； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF （3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF
5. 如图，矩形ABCD 中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ’处，求重叠部分⊿AFC 的面积.
6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。

（1）试判断四边形PQEF 是正方形并证明。

（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由。

（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？
7. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC B 、C
两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G .
⑴求证：四边形EFOG 的周长等于2 OB ；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC 边形EFOG 的周长等于2 OB 9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°，EG ＝4cm ，∠EGF ＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB
方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG
也随之停止平移．设运动时间为x （s ），FG 的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2)（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）． （1）当x 为何值时，OP ∥AC ?
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
10、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题：
（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
（2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的
关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；
C B
D A 图1 122图3 C 2D 2C 1B D 1A 图10。