广东省13市高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：平面向量

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇
编
平面向量
一、选择、填空题
1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知向量、满足||=5，||=3， •=﹣3，
则在的方向上的投影是 ﹣1 ．
2、（东莞市2017届高三上学期期末）设向量a ＝(,2)x ，b ＝（1，－1），且()a b b -⊥，则x 的值是_________.
3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、
AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若AE AB 2=，AF AD 3=，
)(R AK AC ∈=λλ，则=λ（ ）
A ．2
B ．2
5
C ．3
D ．5
4、（广州市2017届高三12月模拟）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则
BD CD ⋅=
(A) 6- (B) 3- (C) 3 (D) 6
5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知向量(1,1),(2,2),t t =+=+m n 若
()()+⊥-m n m n ，则t =( )
（A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ）1- 6、（江门市2017届高三12月调研）已知向量、满足
、
，则
A ．1
B ．2
C ．
D ．
7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知向量)1,1(-=a ，)2,(n b = ，若53
a b ⋅=，
则n =
8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）对于向量,,a b c 和实数λ, 下列命题中真命题是（ ）
A ．若0⋅=a b , 则0a =或0b =
B ．若λ0a =，则0λ=或=0a
C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b
D ．若a b =a c ⋅⋅，则b =c
9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）若等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3，BC=
，
∠ABC=45°，则•的值为 ．
10、（汕头市2017届高三上学期期末）已知向量),1(m a =，)12,1(+-=m b ，且b a //，则=m ．
11、（韶关市2017届高三1月调研）已知向量(),1a m =，()1,2b n =-，若//a b ，则
2m n += .
12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）已知AB AC ⊥，1
AB t
=，AC t =，若P 点是ABC ∆
所在平面内一点，且AB AC AP AB
AC
=
+
，当t 变化时，PB PC ⋅ 的最大值等于
（A ）-2 （B ）0 （C ）2 （D ）4
13、（珠海市2017届高三上学期期末）在直角梯形 ABCD 中， AB ⊥AD ，DC / /AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E , F 分别为
AB , AC 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的圆弧DE 中点为P （如图所示）． 若AP ED AF λμ=+，其中,λμ∈R ，则λμ+的值是
A ．22
B ．32
4
C ．2
D ．34
二、解答题
1、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知圆Ｃ过点)0,43
(A ，且与直线4
3
:-
=x l 相切， （I ）求圆心C 的轨迹方程；
（II ） O 为原点，圆心C 的轨迹上两点M 、N （不同于点O ）满足0=⋅ON OM ，已知
1
3
OP OM =，
1
3
OQ ON =，证明直线PQ 过定点，并求出该定点坐标和△APQ 面积的最小值．
参考答案
一、选择、填空题
1、【解答】由向量、满足||=5，||=3， •=﹣3
则在的方向上的投影是==﹣1，
故答案为：﹣1
2、4
3、D
4、解析：以菱形对角线交点O 为原点，建立直角坐标系，如下图： B （0，－3），D （0，3），C （1,0）
BD CD ⋅=（0,23）（－1，3）＝6，选D 。

5、【解析】(23,3),(1,1),t +=+-=--m n m n ()(),(23)30,t +⊥-∴-+-=m n m n 解
得3t =-. 6、B 7、
3
1
8、【解析】因为非零向量⊥a b 时，也有0⋅=a b ，所以A 错；22=a b 只说明向量a 与b 的模相等，a 与b 不一定共线，所以C 错；当向量,,a b c 两两垂直时，也有a b =a c ⋅⋅， 但b 与c 方向不同，故≠b c ，所以D 错. 选择B.
9、－3 10、1
3-
11、【解析】因为//a b ，所以21m n ，则21m n +=
12、B 13、B
二、解答题 1、解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C 的轨迹是以A 为焦点，l 为准线的抛物线，
由4
3
2=p 得x px y 322==，得圆心C 的轨迹方程为x y 32=；-------------------------3分
【法二：设圆半径为R ，圆心C (x , y )，则|AC |=R =|)4
3(|--x ，
即2
2)4
3(y x +-=|)4
3(|--x ，化简得x y 32
=
即圆心C 的轨迹方程为x y 32
=------------------------------------------------------------------3分】 （Ⅱ）证明：依题意知OM 的斜率k 存在，且0≠k ，设OM 的方程为kx y =， ------------4
分
∵OM ⊥ON ，则ON 的方程为x k
y 1
-
=， 由⎩⎨⎧==x
y kx y 32得x x k 32
2=，得2
3k x M =，------------------------------------------------------6分
同理得2
3k x N =，
由已知得21k x P =，2
k x N =，∴)1,1(2
k
k P ，),(2k k Q -，----------------------------8分
∴111
22
2
--=--
-=
k k k k k k k PQ
，直线PQ 的方程为=+k y )(122k x k k ---， 即0)1()1(2
=-+-y k x k ，∴直线PQ 过定点（1，0），---------------------------------10分 设B （1，0），则|1|4121||||21k k y y AB S Q P APQ +⨯⨯=-⋅=
∆4
1
281|)||1(|81=⨯≥+=k k ，
∴△APQ 面积的最小值为
4
1
．---------------------------------------------------------------------12分 【证法二：设()()1122,,,M x y N x y ，MN 的方程为x ty m =+ 由2
3x ty m y x
=+⎧⎨
=⎩ 得2
330y ty m --=，---------------------------------------------------------------------4分 则2
9120t m ∆=+>，且12123,3y y t y y m +=-=----------------------------------------------------5
分
∵0OM ON ⋅=，∴12120x x y y +=-----------------------------------------------------------------------6分 即22
1212109
y y y y +=，解得129y y =-，所以39m -=-，解得3m =--------------------------- 7分
∴MN 的方程为3x ty =+，则直线MN 过定点E ()3,0---------------------------------------------8分
设PQ 与x 轴相交于点F
11
,33
OP OM OQ ON ==，//PQ MN ∴
3
1
||||||||==OM OP OE OF ，可得1OF =，则()1,0F ， 故PQ 过定点()1,0F -------------------------------------------------------------------------------------10分
121111122434
APQ
P Q S
AF y y y y ∴=
-=⋅⋅⋅-= ∴△APQ 面积的最小值为1
4
.-------------------------------------12分】。