高中数学苏教版必修4《第1章1.21.2.1任意角的三角函数》课件

6 ·tan 2π
6；
sin 3
(3)tan 120°·sin 269°.
[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.
从而 tan 108°·cos 305°＜0.
(2)∵56π是第二象限角，116π是第四象限角，23π是第二象限角，
的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋34π，k∈Z
.
教师独具 1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函 数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用， 对三角函数线概念的理解． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用； (2)三角函数值符号的判断； (3)三角函数线的画法及应用．
∴cos 56π＜0，tan116π＜0，sin 23π＞0.
5π 11π
cos 从而
6 ·tan 2π
6 ＞0.
sin 3
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而 tan 120°sin 269°＞0.
应用三角函数线解三角不等式 [探究问题] 1．在单位圆中，满足 sin α＝12的正弦线有几条？试在 图中明确．
提示：两条，如图所示，MP1 与 NP2 都等于12.
2．满足 sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．
提示：如图中阴影部分所示，所求角 α 的取值范围为 α2kπ＋π6 ≤α≤2kπ＋56π，k∈Z.
【例 3】
求函数 f(x)＝
1－2cos
x＋lnsin
x－
22的定义域．
思考 2：若 P 为角 α 与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α 的值怎样表 示？
[提示] sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.
二、三角函数在各象的限符号
＋
＋
－
＋
－
＋
－
－
－
＋
＋
－
三、三角函数线 1．有向线段：规定了方向 (即规定了起点和终点)的线段．
2．三角函数线
MP OM AT
②∵32π<74π<2π， ∴tan 74π<0； ③∵32π<5<2π， ∴cos 5>0.
对于已知角 α，判断 α 的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函 数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.
2．确定下列式子的符号：
5π 11π
cos (1)tan 108°·cos 305°；(2)
(2)判断下列各式的符号： ①sin 183°；②tan 74π；③cos 5. 思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．
(1)四 [∵α 是第四象限角， ∴cos α>0，tan α<0， ∴点 P(cos α，tan α)在第四象限．] (2)[解] ①∵180°<183°<270°， ∴sin 183°<0；
1－2cos x≥0
思路点拨：借助单Байду номын сангаас圆解不等式组 sin
x－
22＞0
便可．
[解] 由题意，自变量 x 应满足不等式组
1－2cos x≥0，
sin
x－
22＞0，
即cos x≤21， sin x＞ 22.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴x2kπ＋π3≤x＜2kπ＋34π，k∈Z
.
1．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法． 对于 sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解的关键是恰当地寻 求点，只需作直线 y＝b 或 x＝a 与单位圆相交，连结原点与交点即得角的 终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围． (2)正切型不等式的解法． 对于 tan x≥c，取点(1，c)连结该点和原点并反向延长，即得角的终 边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．
∵x≠0，∴x＝±1. 当 x＝1 时，P(1,3)， 此时 sin θ＝ 123＋32＝31010， tan θ＝31＝3. 当 x＝－1 时，P(－1,3)， 此时 sin θ＝ －132＋32＝31010，tan θ＝－31＝－3.
三角函数值的符号
【例 2】 (1)若 α 是第四象限角，则点 P(cos α，tan α)在第________ 象限．
1．思考辨析 (1)α 一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) (3)α 与 α＋π 有相同的正切线．( ) [解析] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．若角 α 的终边经过
点
P
22，－
22，则
sin α，cos α，tan α 分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称
为三角函数．
思考 1：对于确定的角 α，sin α，cos α，tan α 的值是否随 P 点在终边 上的位置的改变而改变？
[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点 P(x，y)在终边上 的位置无关，只与角 α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(1)sin α≥ 23；(2)cos α≤－12.
[解] (1)作直线 y＝ 23交单位圆于 A，B 两点，连结 OA，OB，则 OA
与 OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角 α 的终边的范围，故满足条件的
角 α 的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z
.
(2)作直线 x＝－12交单位圆于 C、D 两点，连结 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α
2．利用三角函数线求函数的定义域 解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角 α 的三角 函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过 程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．
3．在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围，并由此写出 角 α 的集合：
sin
α＝
________；cos α＝
________；tan α＝
________.
－
2 2
2 2
－1
[由题意可知
|OP|＝
22－02＋－
22－02＝1，
∴sin
α＝－122＝－
22；cos
α＝
2
2 1
＝
22；
tan
－ α＝
2
2 2
＝－1.]
2
3．(1)若 α 在第三象限，则 sin (1)＞ (2)＜ [(1)∵α 在第三象限，
1.2.1 任意角的三角 函数
数学北师大版 高中数学
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函
数值．(重点、易错点)
通过学习本节内容提升
2.会判断给定角的三角函数值的符号．(重点) 学生的数学运算和数学
3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数 抽象核心素养.
值的大小及表示角的范围．(难点)
[解] ∵角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，∴在角 α 的终边上任取一 点 P(4t，－3t)(t≠0)，则 x＝4t，y＝－3t，r＝ x2＋y2＝ 4t2＋－3t2＝5|t|，
当 t＞0 时，r＝5t，sin α＝yr＝－5t3t＝－35，cos α＝xr＝54tt＝45，tan α＝yx＝ －43t t＝－34.
当 t＜0 时，r＝－5t，sin α＝yr＝－ －35tt＝35，cos α＝xr＝－4t5t＝－45，tan α ＝yx＝－4t3t＝－34.
综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或 sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.
谢谢大家
A．第一象限
由 tan α＞0 可知 α 的终边落在第
B．第二象限
一、三象限内．
C．第三象限
故同时满足 sin α＜0，tan α＞0
D．第四象限
的角 α 为第三象限角．]
2．角 α 的终边经过点 P(－b,4)
3 [由三角函数的定义可知
且 cos α＝－35，则 b 的值为________． b－2＋b16＝－35，
一、任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设 α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它
与原点的距离是 r(r＝ x2＋y2>0)，那么
名称
定义
定义域
正弦
y sin α＝__r__
__R__
余弦
x cos α＝__r__
__R__
正切
y tan α＝__x__
αα≠2π＋kπ，k∈Z
αcos α________0；(填“＞”“＜”) ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞
(2)cos 3tan 4________0.(填
0.
“>”“<”)
(2)∵π2<3<π，π<4<32π，
∴3 是第二象限角，4 是第三象限角．
∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.]
【例 1】 在平面直角坐标系中，角 α 的终边在直线 y＝－2x 上，求 sin α，cos α，tan α 的值．
思路点拨：以 α 的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求 sin α，cos α，tan α 的值．
[解] 当 α 的终边在第二象限时，在 α 终边上取一点 P(－1，2)，则 r
2．当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际 情况对参数进行分类讨论．
1．已知角 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x，求 sin θ，
tan θ.
[解] 由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝ x2x＋9.
又∵cos θ＝ 1100x，∴ x2x＋9＝ 1100x.
b＞0， ∴b2＋b216＝295， 解得 b＝3.]
3．若 α 是第一象限角，则 sin α sin α＋cos α>1 [作出 α 的正弦
＋cos α 的值与 1 的大小关系是
线和余弦线(图略)，由三角形“任意
________．
两边之和大于第三边”的性质可知
sin α＋cos α>1.]
4．已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α 的值．
＝ －12＋22＝ 5，
所以
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝－51＝－
55，tan
α＝－21＝－2.
当 α 的终边在第四象限时，
在 α 终边上取一点 P′(1，－2)，
则 r＝ 12＋－22＝ 5，
所以
sin
α＝－52＝－2 5 5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝－12＝－2.
1．已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函 数的定义求出相应的三角函数值． (2)在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，设 P 到原点的距离为 r(r>0)，则 sin α＝yr，cos α＝xr.当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时，用该方 法更方便．
3．本节课的易错点(1)已知 α 的终边所在的直线求 α 的三角函数值时， 易忽视对 α 所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线 的位置以及表示方法.
1．若 sin α＜0，tan α＞0，则 α
C [由 sin α＜0 可知 α 的终边落
终边所在象限是( )
在第三、四象限及 y 轴的负半轴上．