高考数学高考必会题型专题8概率和统计第36练概率的两类模型

第36练 概率的两类模型
题型一 古典概型问题
例1 某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： (1)选取的2位学生都是男生；
(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．
破题切入点 先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．
解 (1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝615＝2
5
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(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种． 所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝8
15
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题型二 几何概型问题
例2 (2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 破题切入点 由几何概型的特点，利用数形结合即可求解． 答案 34
解析
设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x≤40≤y≤4
|x －y|≤2
，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x
－y|≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形
＝4×4－2×1
2×2×2
4×4＝1216＝3
4
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题型三 古典概型与几何概型的综合问题
例3 已知关于x 的一元二次方程9x2＋6ax －b2＋4＝0，a ，b ∈R.
(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．
破题切入点 本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题．
第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解．
第(2)问将a ，b 满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解．
解 设事件A 为“方程9x2＋6ax －b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x2＋6ax －b2＋4＝0有实数根”．
(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4>0，得a2＋b2>4.
事件A 要求a ，b 满足条件a2＋b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，
所以方程有两个不相同实根的概率P(A)＝69＝2
3.
(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分， 故所求概率为： P(B)＝6－π6＝1－π6
.
总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.
②分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m.
③利用古典概型的概率公式P(A)＝m
n 求出事件A 的概率．若直接求解比较困难，则可以利用间
接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．
(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A 的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．
1．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________． 答案
1649
2．已知实数a ，b 满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤a≤4，
0≤b≤4，x1，x2是关于x 的方程x2－2x ＋b －a ＋3＝0的两个实
根，则不等式0<x1<1<x2成立的概率是________． 答案 3
32
解析 由题意，关于x 的方程x2－2x ＋b －a ＋3＝0对应的一元二次函数f(x)＝x2－2x ＋b －a
＋3满足f(0)>0，f(1)<0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
b －a ＋3>0，b －a ＋2<0，建立平面直角坐标系如图．
满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P ＝3
216＝3
32
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3．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35
解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为6
10＝
35
. 4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23
解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝V 半球
V 圆柱＝
2π3×13π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23
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5．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于S
4的概率是________．
答案 12
解析
如图，M ，N 分别为AB ，CD 中点， 当点P 位于阴影部分时，
△PBC 的面积小于S 4，根据几何概型，其概率为P ＝S 矩形MBCN S 矩形ABCD ＝1
2
.
6．已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C(3,4)，若AB≤10，则△ABC 的面积大
于5的概率是________． 答案 524
解析 设B(x,1)，根据题意知点D(3
4
，1)，
若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB×4≤5，即DB≤5
2，
所以点B 的横坐标x ∈[－74，13
4
]，而AB≤10，
所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为 P ＝3－(－74)
6＝19
24
，
所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝5
24
.
7．(2013·湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为5
6，则m ＝
________. 答案 3
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得2m 6＝5
6，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．
当2<m<4时，由题意得m －(－2)6＝5
6，解得m ＝3.
即m 的值为3.
8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x2m2＋y2
n2＝1表示焦点在x 轴
上的椭圆的概率是________． 答案 12
解析
∵方程x2m2＋y2
n2
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m>n.
如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q(m ，n)，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝1
2
.
9．(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn ，其中正整数m ，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为______． 答案
2063
解析 P ＝4×57×9＝20
63
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10．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________． 答案 13
解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13
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11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y)． (1)若x 、y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a·b＝－1有－2x ＋y ＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a·b＝－1的概率为
336＝112
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(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}； 满足a·b<0的基本事件的结果为
A ＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x ＋y<0}； 画出图形如图，
矩形的面积为S 矩形＝25，
阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为21
25
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12．某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物成绩获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，且三个学科成绩获得等级A 的事件分别记为W1，W2，W3，获得等级不是A 的事件分别记为W1，W2，W3.
(1)试列举该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的所有可能结果(如三科成绩均为A 记为(W1，W2，W3))；
(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A 的概率；
(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．
解 (1)该同学在这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)．
(2)由(1)，知有两个A 的情况为(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，共3种，从而所求概率为P ＝3
8
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(3)方法一 该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A 的事件概率大于85%. 理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下7种情况：(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，W2，W3)，(W1，，W2，W3)，
故物理、化学、生物成绩不全为A 的概率是P1＝7
8
＝0.875>85%.
方法二 该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A 的事件概率大于85%. 理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A 的事件有1种情况，即
(W1，W2，W3)，其概率为18，则物理、化学、生物成绩至少一个为A 的概率为P2＝1－1
8＝
7
8>85%.。