人教A版高二数学必修二第三章3.3.2 两点间的距离(共15张ppt)
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3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.2 两点间的距离
1.能够推导两点间距离公式.(重点)
2.会应用两点间距离公式证明几何问题.(难点)
1.两点间的距离公式
探究4：
（1）如果A，B是 x 轴上两点，C，D是 y 轴上两点，
（ 0，yD） （ 0，yC） （xA，0） 它们的坐标分别是 ， ， ， ， （xB， 0）
N1 0，y1 ，M2 x2， 0 .直线 P1N1与P2 M 2 相交于点Q.
如图Rt△P1P2Q中，|P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2，为了计 算|P1Q|和|QP2|长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为
M1（x1,0），过点P2向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），
y
P2 M2
(1)A(6,0),B(-2,0). (3)P(6,0),Q(0,-2).
答案：(1)8
(2)C(0,-4),D(0,-1). (4)M(2,1),N(5,-1).
(2)3
(4) 13
(3)2 10
2.已知 △ABC 的三个顶点坐标是
A(1,-1)，B(-1,3)，C(3,0).
（1）判断 △ABC 的形状.
Q
N2 M1
O
N1
P1
x
M 1M 2 x2 x1 , 1 于是有 PQ QP2 N1 N 2 y2 y1 ，
2 2 2
所以 P1 P2 x2 x1 y2 y1 ，
所以两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
2 2 PP ( x x ) ( y y ) . 间的距离为 1 2 2 1 2 1
那么|AB|，|CD|怎样求？
AB = xA - xB ,CD = yC - yD
(2)已知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ，试求两点间的距离.
若 y1 y2
y
P 1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x1O
PP 1 2 x2 x1
x2
2 2 x 2 x 5 x 4x 11， 即
x 2
2
0 7 ，
2
解得x=1.所以，所求点为P（1，0），且
PA (1 1) 2 (0 2) 2 2 2.
例2
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对
角线的平方和.
证明：如图所示，以顶点A为坐 标原点，AB边所在的直线为ｘ 轴，建立直角坐标系. 则A(0，0).设B(ａ，0)，
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距 离 OP x 2 y 2 .
例1 使
已知点 A(1,2), B(2, 7), 在
x 轴上求一点 P ，
| PA || PB | ，并求 | PA | 的值.
解：设所求点为P（x,0），于是 由 PA PB 得 x 12 0 2 2
所以 AB + AC = BC ，
2
2
2
即 △ABC是以A为顶点的直角三角形. （2）由于 △ABC 是以A为顶点的直角三角形，
所以 S△ABC
1 = AB AC = 5. 2
2 2 PP ( x x ) ( y y ) . 1.两点间的距离为 1 2 2 1 2 1
（2）求 △ABC 的面积.
解：（1）如图，
△ABC 为直角三角形，以下
来进行验证，
2 2 因为 AB = (-1-1) +[3 -(-1)] = 20 = 2 5，
2 2 AC = (3 -1) +[0 -(-1)] = 5，
2 2 BC = [3 -(-1)] +(0 -3) = 25 = 5，
x
若
x1 x2
y
P2 ( x2 , y2 )
y2
O
x
P 1 ( x1 , y1 )
y1
PP 1 2 y2 y1
若 x1 x2 , y1 y2 在平面直角坐标系中，从点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2 M 2 ，垂足分别为
y D
(ｂ,ｃ)
C (a+ｂ,ｃ)
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性 质得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).
A (0,0)
B
(a,0)
x
因为
AB a CD , AD b c BC ，
2 2 2
2
2
2
2
AC (a b) c , BD (b a) 2 c 2，
2 2
2
2
所以
AB CD AD BC 2(a 2 b 2 c 2 )，
2
2
2
2
AC BD 2(a 2 b 2 c 2 )，
2
2
所以
AB CD AD BC AC BD .
2
2
2
2
2
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
1.求下列两点间的距离：
3.3.2 两点间的距离
1.能够推导两点间距离公式.(重点)
2.会应用两点间距离公式证明几何问题.(难点)
1.两点间的距离公式
探究4：
（1）如果A，B是 x 轴上两点，C，D是 y 轴上两点，
（ 0，yD） （ 0，yC） （xA，0） 它们的坐标分别是 ， ， ， ， （xB， 0）
N1 0，y1 ，M2 x2， 0 .直线 P1N1与P2 M 2 相交于点Q.
如图Rt△P1P2Q中，|P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2，为了计 算|P1Q|和|QP2|长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为
M1（x1,0），过点P2向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），
y
P2 M2
(1)A(6,0),B(-2,0). (3)P(6,0),Q(0,-2).
答案：(1)8
(2)C(0,-4),D(0,-1). (4)M(2,1),N(5,-1).
(2)3
(4) 13
(3)2 10
2.已知 △ABC 的三个顶点坐标是
A(1,-1)，B(-1,3)，C(3,0).
（1）判断 △ABC 的形状.
Q
N2 M1
O
N1
P1
x
M 1M 2 x2 x1 , 1 于是有 PQ QP2 N1 N 2 y2 y1 ，
2 2 2
所以 P1 P2 x2 x1 y2 y1 ，
所以两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
2 2 PP ( x x ) ( y y ) . 间的距离为 1 2 2 1 2 1
那么|AB|，|CD|怎样求？
AB = xA - xB ,CD = yC - yD
(2)已知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ，试求两点间的距离.
若 y1 y2
y
P 1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x1O
PP 1 2 x2 x1
x2
2 2 x 2 x 5 x 4x 11， 即
x 2
2
0 7 ，
2
解得x=1.所以，所求点为P（1，0），且
PA (1 1) 2 (0 2) 2 2 2.
例2
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对
角线的平方和.
证明：如图所示，以顶点A为坐 标原点，AB边所在的直线为ｘ 轴，建立直角坐标系. 则A(0，0).设B(ａ，0)，
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距 离 OP x 2 y 2 .
例1 使
已知点 A(1,2), B(2, 7), 在
x 轴上求一点 P ，
| PA || PB | ，并求 | PA | 的值.
解：设所求点为P（x,0），于是 由 PA PB 得 x 12 0 2 2
所以 AB + AC = BC ，
2
2
2
即 △ABC是以A为顶点的直角三角形. （2）由于 △ABC 是以A为顶点的直角三角形，
所以 S△ABC
1 = AB AC = 5. 2
2 2 PP ( x x ) ( y y ) . 1.两点间的距离为 1 2 2 1 2 1
（2）求 △ABC 的面积.
解：（1）如图，
△ABC 为直角三角形，以下
来进行验证，
2 2 因为 AB = (-1-1) +[3 -(-1)] = 20 = 2 5，
2 2 AC = (3 -1) +[0 -(-1)] = 5，
2 2 BC = [3 -(-1)] +(0 -3) = 25 = 5，
x
若
x1 x2
y
P2 ( x2 , y2 )
y2
O
x
P 1 ( x1 , y1 )
y1
PP 1 2 y2 y1
若 x1 x2 , y1 y2 在平面直角坐标系中，从点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
分别向y轴和x轴作垂线 P1N1与P2 M 2 ，垂足分别为
y D
(ｂ,ｃ)
C (a+ｂ,ｃ)
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性 质得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).
A (0,0)
B
(a,0)
x
因为
AB a CD , AD b c BC ，
2 2 2
2
2
2
2
AC (a b) c , BD (b a) 2 c 2，
2 2
2
2
所以
AB CD AD BC 2(a 2 b 2 c 2 )，
2
2
2
2
AC BD 2(a 2 b 2 c 2 )，
2
2
所以
AB CD AD BC AC BD .
2
2
2
2
2
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
1.求下列两点间的距离：