高考数学第二轮复习 排列、组合、二项式、概率与统计专题测试

2009届高考数学第二轮复习 排列、组合、二项式、概率与统计专题
测试
（一）典型例题讲解:
例1、四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________
命题意图 本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力
知识依托 排列、组合、乘法原理的概念
错解分析 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学
校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A 34种 忽略此种办法是 将同在
一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的
技巧与方法 解法一，采用处理分堆问题的方法 解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的
解法一 分两步 先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C 24种；而后，对
三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A 33种 依乘法原理，共有N =C 243
3A
=36(种)
解法二 分两步 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A 34种；
而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种 值得注意的是 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 因此，共有
N =2
1A 34·3=36(种)
答案 36
例2、在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
1
212
1
1112
1212
121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n
m n m n m m
n n
m m n n m m n n m +++++
+
+
++
命题意图 考查组合的概念及加法原理
知识依托 法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合
错解分析 A 中含有构不成三角形的组合，如 C 11+m C 2
n 中，包括O 、B i 、
B j ;
C 11+n C 2
m 中，包含O 、A p 、A q ，其中A p 、A q ,B i 、B j 分别表示OA 、OB 边上不同于O 的点；B 漏掉△A i OB j ；D 有重复的三角形 如C 1m C 21+n 中有△A i OB j ,C 21+m C 1n 中也
有△A i OB j
技巧与方法 分类讨论思想及间接法
解法一 第一类办法 从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括
O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2
n 个；第二类办法 从OA 边上(不包
括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有
C 2m C 1n 个；
第三类办法从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1
n 由加法原理共有
N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1
n 个三角形
解法二 从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O
点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个 所以，个数为N =C 31
++n m －C 31+m －C 3
1+n 个
答案 C
例3、n x )21(-展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项.
命题意图 本题考查二项式展开式及展开式中各项系数的关系 知识依托 二项式定理，二项式展开式中项和系数的关系 错解分析 二项式展开式公式用错
技巧与方法 灵活利用二项式展开式的一般式，并利用不等式组求系数绝对值最大项
解：66165515)2(,)2(x C T x C T n n -=-=++，依题意有6
65522n n C C =，
∴n=8.则n x )21(-展开式中二项式系数最大的项为x x C T 1120)2(4485=-=.
设第r+1项系数的绝对值最大，则有
65,,652
2221
1881
188==∴∈≤≤⇒⎩⎨⎧≥≥++--r r Z r r C C C C r r r r r r r r 或又 . 则系数绝对值最大项为67561792,1792x T x T ==.
点评：求展开式中某一项或某一项的系数问题是高考题型之一，复习时要给予重视.
例4、袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3
1
，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i )求恰好摸5次停止的概率；
(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望
E ξ．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中
摸出一个红球的概率是2
5
，求p 的值．
命题意图 本题考查利用概率知识和期望的计算方法 知识依托 概率的计算及期望的概念的有关知识
错解分析 在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误 技巧与方法 可借助n 次独立重复试验概率公式计算概率
解 (Ⅰ)（i ）22
24121833381
C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；
由
n
次独立重复试验概率公式()()1n k
k k
n n
P k C p p -=-，得
()5
05
132013243
P C ξ⎛⎫
==⨯-=
⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=
⎪⎝⎭ ()23
2511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()32
3511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是 131
0123243243
24324381
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球
由1
22335
m mp m +=，得30p =
（二）巩固练习
一，选择题
1、将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的
种数为( )
A ．70
B ．140
C ．280
D ．840
2、6个人并排站成一排，B 站在A 的右边，C 站在B 的右边，则不同的排法总数为（ ）
A 4433A A
B 44A
C 3
3
66A A ÷ D 3544A A 3、某人射击8次，命中4次，并且恰好有3次命中排在一起，则不同的结果有（ ）
A 20种
B 240种
C 480种
D 720种
4、某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号，组成一注，则这人把这种特征的号买全，至少要花（ ）
A 3360元
B 6720元
C 4320元
D 8640元
5、在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )
A −14
B 14
C −28 D28
6、若,)1()1()1()21(1001002210100-++-+-+=+x a x a x a a x 则10021a a a +++ ＝（ ）
A 10010035-
B 1005
C 1003
D 13100-
7、设两个独立事件Ａ和Ｂ都不发生的概率为9
1
，Ａ发生Ｂ不发生的概率与Ｂ发生
Ａ不发生
的概率相同，则事件Ａ发生的概率Ｐ（Ａ）是 （ ）
A ．
92 B ． 181 C ． 31 D ．3
2 8、有一名同学在书写英文单词“error ”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错
这个单词 的概率为 （ ）
A ．120119
B ．109
C ．2019
D ．21 （20
1
1-）
9、要完成下列2项调查：
①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100
户调查社会购买力的某项指标；
②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况. 应采用的抽 样方法是 （ ） A ．①用随机抽样法 ②用系统抽样法
B ．①用分层抽样法 ②用随机抽样法
C ．①用系统抽样法 ②用分层抽样法
D ．①、②都用分层抽样法
10、设),(~p n B ξ，12=ξE ，4=ξD ，则n,p 的值分别为 （ ） A.18 ，3
1 B. 36 ，3
1 C. 3
2，36 D. 18，3
2
11、已知随机变量ξ 服从二项分布，)3
1,6(~B ξ，则)2(=ξP 等于 （ ）
A.
16
3 B. 243
4 C. 24313 D.
243
80
12、同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为ξ,则ξ的数学期望是 ( )
A.20
B.25
C.30
D.40
二、填空题：
13、从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示)
14、圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________
15、左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球.若从左口袋里取出1个球 装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为＿＿
16、如图，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有＿＿＿（用数字作答）
17、1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望E ζ=_________
18、为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[
)
45,55，[)[)[)[)55,65,65,75,75,85,85,95，由此
得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)
55,75
的人数
是_______
三. 解答题
19、有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起
(4)全体排成一行，男、女各不相邻
(5)全体排成一行，男生不能排在一起
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人
20、20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数
21、已知()(1)(1)()
m n
f x x x m n*
=+++∈N
，的展开式中x的系数为19，求()
f x的展开式中2x的系数的最小值．
22、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，
否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为5
4
、
53、52、5
1
，且各轮问题能否正确回答互不影响. （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.
23、某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。

（I ）求第一天通过检查的概率； （II ）求前两天全部通过检查的概率；
（III ）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分的数学期望。

24、为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
（Ⅱ）补全频数直方图；（Ⅲ）学校决定成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？
解答
一. 选择题
二.
13. 30; 14. 2n (n －1) 15.
15
4
; 16. 72 17. 0.3 18. 13 三. 解答题
19、解(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位
置可供甲选择，有A 13种，其余6人全排列，有A 66种 由乘法原理得A 13A 6
6=2160
种
(2)位置分析法 先排最右边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排有
A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种 则符合条件的排法共有A 16A 6
6－
A 15A 5
5=3720种
(3)捆绑法 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列
共有A 33A 5
5=720种
(4)插空法 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A 33A 4
4=144
种 (5)插空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有A 44A 3
5=1440种
(6)定序排列 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第
二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A 77
=N ×A 33
，∴N =3
3
7
7A A = 840种
(7)与无任何限制的排列相同，有A 77=5040种
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A 35种，甲、乙和
其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A 2
3A 33 最后再把选出的3人的排列插
入到甲、乙之间即可 共有A 35×A 22×A 3
3=720种
20、解 首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O ”
表示小球，“|”表示空档 将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数 对应关系是 以插入两个空档的小盒之间的“O ”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数 最左侧的空档可以同时插入两个小盒 而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左
侧空档，有C 2
3种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有1313C C 种；若没有小盒插入最左侧空档，有C 213种 由加法原理，有N =2131131323C C C C ++=120种排列方案，即
有120种放法 21
、
解
：
1
2()1m
m
m
m
m
f x C x =
+
+
+
1
2(m n
C C =+． 由题
意
19
m n +=，m n *
∈N ，． 2x ∴项的系数为
2
22(1)(1)191917
2224m
n
m m n n C C m --⨯⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭
．
∵m n *∈N ，，
根据二次函数知识，当9m =或10时，上式有最小值，也就是当9m =，10n =或10m =，9n =时，2x 项的系数取得最小值，最小值为81．
22、解：（1）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，
则14()5P A =
，23()5P A =，32()5P A =，41
()5
P A =，∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496
()()()()()5555625
P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=．
（2）该选手至多进入第三轮考核的概率
3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++
142433101
555555125
=
+⨯+⨯⨯=．
23、解（I ） 随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品
∴第一天通过检查的概率为P C C 1941043
5
==
（II ）同（I ），第二天通过检查的概率为P C C 2841041
3==， 因第一天，第二天是
否通过检查相互独立，所以，两天全部通过检查的概率为：P P P ==⨯=12351315
（IIl ）记得分为ξ，则ξ的值分别为0，1，2 ∴==⨯=P ()ξ02523415
P ()ξ==
⨯+⨯=135231325815 ,P ()ξ==⨯=2351315
因此，E ξ=⨯+⨯+⨯=0415181521514
15
24、解：(1)
(2) 频数直方图如右上所示
(3) 成绩在75.5~80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的
5
10
，因为成绩在70.5~80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1 ， 成绩在80.5~85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的
10
5
，因为成绩在80.5~90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16
所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26，
由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26⨯900=234（人）。