中考数学压轴题讲座

2015年中考数学压轴题讲座（1）
-----定值问题
一、 例题
例1、（2008株洲）如图所示，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC . （1）若∠CPA =30°，求PC 的长；
（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小
是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠CMP 的值.
例2、（08山东济南）已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于
A 、
B 两点，(1
0)A -，． （1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于
N ，请判断
PM PN
BE AD
+
是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、
BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断
PA EF
PB EG
=
是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
第2题图
A
例3、（2011株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线
2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两
直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题： （1
）若测得OA OB ==1），求a 的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x
⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．
； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连
线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
二、练习题
1．（2008湖南郴州）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时， △BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？ 并说明你的理由．
（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你 求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当
x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？
M
B
D
C
E
F
G
x A
2．（2010 长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y
轴上，OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA
cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为 t 秒．
（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；
（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线21
4
y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP
上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．
3、（2009株洲）如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在
x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为
顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结
BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：(
FC AC。