高三数学 一诊 模拟测试题 文含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校渝中区巴蜀2021届高三数学“一诊〞模拟测试题文〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕
()131i i z i
-=
+，那么其一共轭复数z 的虚部为〔〕
A.-1
B.1
C.-2
D.2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的一共轭复数z ，进而求得z 的虚部.
【详解】依题意()()()()3134221112
i i i i
z i i i i +-+-=
===-++-，故2z i =+，其虚部为1. 应选B.
【点睛】本小题主要考察复数乘法、除法的运算，考察一共轭复数的概念，考察复数虚部，属于根底题.
1|0x A x x -⎧⎫
=≥⎨⎬⎩⎭
，集合(){}|lg 21B x y x ==-，那么A B =〔〕
A.
(]0,1
B.10,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C.1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
D.1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
解分式不等式求得集合
A ，求函数定义求得集合
B ，由此求得两个集合的交集.
【详解】由
10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤
= ⎥⎝⎦
， 应选C.
【点睛】本小题主要考察交集的概念和运算，考察分式不等式的解法，考察对数函数的定义域，属于根底题. 3.等差数列{a n }满足4a 3＝3a 2，那么{a n }中一定为零的项是〔〕 A.a 6
B.a 7
C.a 8
D.a 9
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式即可得到结果.
【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0.
应选：A.
【点睛】此题考察等差数列的通项公式，考察计算才能，属根底题.
4.新高考方案规定，普通高业程度考试分为合格性考试〔合格考〕和选择性考试〔选择考〕.其中“选择考〞成绩将计入高考总成绩，即“选择考〞成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进展排序，评定为A、B、C、D、E五个等级.某试点高中2021年参加“选择考〞总人数是2021年参加“选择考〞总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考〞的程度情况，统计了该校2021年和2021年“选择考〞成绩等级结果，得到如以下列图表：
针对该校“选择考〞情况，2021年与2021年比较，以下说法正确的选项是〔〕
C.获得D等级的人数减少了一半
D.获得E等级的人数一样
【答案】B
【解析】
【分析】
设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.
【详解】设2016年参加考试x人，那么2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如以下列图所示：
由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.
【点睛】本小题主要考察图表分析，考察数据分析与处理才能，属于根底题.
5.“更相减损术〞是九章算术中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如下列图，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是〔〕
A.a＝6，b＝7
B.a＝7，b＝7
C.a＝7，b＝6
D.a＝8，b＝8
【解析】 【分析】
根据题意，该程序将输入的a 、b 值加以比较，假设a >b 成立那么用a -b 的值交换a ，并进入下一轮比较；假设a >b 不成立那么用b -a 的值交换ba 、b 值相等时，终止运算并输出a 、b 值，由此结合题意进展运算可得此题答案.
【详解】第一步，由于a =35且b =28，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“是"，将a -b 的值赋给a ，得a =7；
第二步，此时a =7且b =28，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“否"，将
b -a 的值赋给b 得b =21；
第三步，此时a =7且b =21，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“否〞，将
b -a 的值赋给b ，得b =14；
第四步，此时a =7且b =14，对判断框“a ≠b 〞的答复为“是〞，此时对判断框“a >b 〞的答复为“否〞，将
b -a 的值赋给b 得b =7；
第五步，此时a =7且b =7，对判断框“a ≠b 〞的答复为“否〞，完毕循环体并输出a 、b 的值. 综上所述，可得最后输出的值是a =7，b =7. 应选：B.
【点睛】此题考察程序框图，要求学生掌握根据程序框图，求出输出结果，解题的关键是先根据条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决，属中档题.
ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别为棱A 1D 1、A 1A 、A 1B 1EF ⊥B 1C ；②BC 1∥平面EFG ；③A 1C ⊥平面EFG ；④异面
直线FG 、B 1C 所成角的大小为
4
〕 A.①② B.②③
C.①②③
D.①②④
【答案】C 【解析】 【分析】
画出正方体的直观图，结合线面平行与垂直的断定定理和性质定理逐项判断即可得到正确选项. 【详解】如图，
正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D //B 1C ，又A 1D ⊥EF ，故B 1C ⊥EF ，即①正确；
又BC 1∥AD 1，AD 1//EF ，故BC 1//EF ，又EF ⸦平面EFG ，故BC 1∥平面EFG ，即②正确；
因为EF ⊥A 1D ，EF ⊥A 1B 1，所以EF ⊥平面A 1B 1CD ，又A 1C ⸦平面A 1B 1CD ，所以EF ⊥A 1C ，同理可证EG ⊥A 1C ，又
EF ∩EG =E ，EF ⸦平面EFG ，EG ⸦平面EFG ，故A 1C ⊥平面EFG ，即③正确；
连接AB 1，那么AB 1//FG ，故∠AB 1C 为异面直线FG 与B 1C 所成角，且∠AB 1C =3
π
，即④错误. 应选：C.
【点睛】此题考察线面平行与垂直的断定定理和性质定理，也考察学生的逻辑推理才能和直观想象才能，纯熟掌握点、线、面位置关系中的断定定理和性质定理是解题的关键，属中档题.
7.七巧板是我国古代劳动人民的创造之一，被誉为“模〞，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形一共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD ，E 为AB 边的中点，假设在四边形ABCD 中任取一点，那么此点落在阴影局部的概率为〔〕
A.
14
B.
516
C.
38
D.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
分别求出平行四边形和阴影局部的面积，根据几何概型的公式计算即可得到结果. 【详解】由图象可知，2ABCD
BCD S
S
=，11324
4
BCD
ABD
BCD
S S S S =
+=
阴影
，
那么此点落在阴影局部的概率为：
3
3428
BCD
ABCD
BCD S S P S S =
==阴影.
应选：C.
【点睛】此题考察几何概型的计算，正确求解阴影局部面积是解题的关键，属中档题.
()22
ln x x f x x
=
的图象大致为〔〕
A. B. C.
D.
【答案】B 【解析】
由
()22
ln x x f x x
=
得：
()
()()()2
2
2ln ln x x x x
f x f x x
x
---=
==-，故其为偶函数，图象关于y
轴对称，故排除D ；
()22ln 40
f =>，故排除A ；当
01x <<时，()2ln f x x x
=，
()()
21ln f x x ='+，可得
10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
()0
f x '<函数单调递减，当
1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，应选B.
点睛：此题考察函数的图象的判断与应用，考察函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或者其符号，其中包括
,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.
P (3,﹣4)作圆(x ﹣1)2+y 2＝2的切线，切点分别为A ，B ，那么直线AB 的方程为〔〕
A.x +2y ﹣2＝0
B.x ﹣2y ﹣1＝0
C.x ﹣2y ﹣2＝0
D.x +2y +2＝0
【答案】C 【解析】 【分析】
画出图象，以P 为圆心，以PB 长度为半径可得到圆P ，那么圆(x ﹣1)2
+y 2
＝2与圆P 的公一共弦所在直线即为直线AB ，利用两点间的间隔公式和勾股定理可求出圆P 的方程，然后两个方程相减即可得到直线AB 的方程. 【详解】如图，圆P 为以P 为圆心，以PB 长度为半径的圆，那么圆(x ﹣1)2
+y 2
＝2与圆P 的公一共弦所在直线即为直线AB ， 在Rt PBC ∆中，22(13)(04)25PC
=-++=20232PB =-=
所以圆P 的方程为：2
2(3)
(4)18x y -++=，又圆C 的方程为：(x ﹣1)2
+y 2
＝2，
以上两个等式相减可得，4880x y --=，化简得，220x y --=.
应选：C.
【点睛】此题考察直线与圆的位置关系以及两圆的公一共弦问题，着重考察学生数形结合的思想和转化问题的才能，属中档题.
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，那么该几何体外接球的半径为〔〕
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径.
【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图， 其中，PA ，PB ，PC 两两垂直，
故三棱锥所在的外接球即为以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球，
又PA ，PB =2，PC ，那么外接球半径R ==
应选：B.
【点睛】此题考察三视图和三棱锥的外接球问题，考察学生的空间想象才能，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解此题的关键，属中档题.
()()222024x f x sin xsin sin x ωπωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞在区间344ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上是增函数，且在区间[0，π]
上恰好获得一次最大值，那么ω的取值范围是〔〕 A.[
12
23
，〕 B.[
1233
，] C.[
1233
，〕 D.[
1223
，] 【答案】D 【解析】 【分析】
化简可得
()sin f x x ω=，由,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
是函数含原点的递增区间，又因为函数在3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上递增，3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤
∴-
⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，可列出不等式组3,2442πππ
πωω-
-
，求解得到2
3
ω，又
函数在区间[0,]π上恰好获得一次最大值，可得到不等式02ππω≤
≤，由此求出1
2
ω≥，综上即可得到结果.
【详解】
2()2sin sin 2
4x f x x ωπω⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝⎭2sin x ω-
2sin (1sin )sin x x x ωωω=+-=sin x ω，
即
()sin f x x ω=，,22ππωω⎡⎤
∴-⎢⎥⎣⎦
是函数含原点的递增区间， 又因为函数在3,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上递增， 3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤
∴-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 得不等式组：3,
244
2πππ
πω
ω
--
， 又
20,03
ωω>∴<， 又函数在区间[0,]π上恰好获得一次最大值，根据正弦函数的性质可知2,2
x k k Z π
ωπ=+
∈，即函数
在22k x
π
π
ω
ω
=
+
处获得最大值， 可得0
2ππω≤
≤，12ω∴≥，综上，可得12,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. 应选：D.
【点睛】此题考察三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式组是解此题的关键，属难题.
f 〔x 〕＝x 3+ax 2﹣9x +1〔a ∈R 〕，当x ≠1时，曲线y ＝f 〔x 〕在点〔x 0，f 〔x 0〕和点〔2﹣x 0，f 〔2﹣x 0〕〕处
的切线总是平行，现过点〔﹣2a ，a ﹣2〕作曲线y ＝f 〔x 〕的切线，那么可作切线的条数为〔〕 A..3 B..2
C.1
D..0
【答案】A 【解析】 【分析】 求得
()
y f x =的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得
()()2
2000032932229x ax x a x +-=-+--，求得
a =－3，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切
线的切点为
()3
2,391
m m
m m --+，求得切线方程，代入(6,5)-可得m 的三次方程，构造函数
32()2213648g m m m m =-++，求得导数和单调性，可得极值，判断极值符号，即可得到方程的解
的个数，可得所求切线的条数． 【详解】函数
32()91f x x ax x =+-+的导数为2()329f x x ax +'=-，
当x 0≠1时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，
可得()()2
2
00032932229x ax x a x +-=-+--，
化简可得()()003
442220x a x -+-=，解得3a =-，
依题意，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切线的切点为()32,391
m m m m --+，
可得切线的斜率为2369m m --，
即有切线的方程为
()
322391369()y m m m m m x m -++-=---，
代入(6,5)-，可得()
3
225391369(6)m m m m m m --++-=---，
化为3
222136480m m m -++=，
设3
2()2213648g m m m m =-++，
那么2()642366(1)(6)g
m m m m m '
=-+=--，
由1<m <6，可得()0,()g m g m '
<递减；
由m >6或者m <1，可得()0,()g m g m '
>递增，
可得()g m 的极小值为(6)600g =-<，极大值为(1)650g =>， 可得3
222136480m m m -++=有3个实根，
那么由点(2,2)a a --可作曲线()y f x =的切线的条数为3．
应选：A.
【点睛】此题考察导数的几何意义，注意过某点的切线与曲线的切点并不确定，需设切点坐标，考察学生的计算才能和逻辑推理才能，属难题.
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕
a =
1)，b =(1，﹣
，那么b 在a 方向上的投影为_____．
【答案】【解析】 【分析】
分别求出a b ⋅和
a
，利用
cos ,a b b a b a
⋅
=
即可计算出结果.
【详解】a b ⋅=-
∴b 在a 方向上的投影为：
cos ,3a b a b b a b
b
a b
a
⋅⋅==
=-⋅．
故答案为：【点睛】此题考察平面向量的投影及其计算，考察学生对投影的理解和计算，属根底题.
x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≤⎩
，那么z ＝3x +5y 的最大值为_____．
【答案】17 【解析】 【分析】
先画出可行域，作出目的函数的平行直线，确定z 与目的函数的纵截距之间的关系，从而平移目的函数确定最优解即可算出最大值.
【详解】画出可行域如下列图的△ABC 的内部〔包括边界〕： 由z ＝3x +5y 可得y 3155x z =
-+，那么z 为直线y 31
55
x z =-+在y 轴上的截距， 作直线L ：3x +5y ＝0，把直线L 向上平移到A 时z 最大，向下平移到B 时z 最小，
由15315
y x x y =+⎧⎨
+=⎩可得A (35
,22)，此时z 的最大值为17，
由1
530y x x y =+⎧⎨--=⎩
可得B (﹣2,﹣1)，此时z 的最小值为﹣11.
故答案为：17.
【点睛】此题考察线性规划问题，正确画出可行域并确定z 与目的函数的纵截距之间的关系是解决此题的关键，属中档题.
15.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3•2n
〔n ∈N +〕，数列{b n }为等差数列，其前n 项和为T n ．假设b 2＝a 5，b 10＝
S 3，那么T n 取最大值时n ＝_____．
【答案】17或者18 【解析】 【分析】
利用S n
和a n
的关系求出554a S S =-，根据条件列出方程组11
48
924b d b d +=⎧⎨+=⎩，求出b 1
和d ，由此求得{b n
}
的通项公式，根据通项公式得到b 18＝0，由此即可求出T n 取最大值时n 的值. 【详解】数列{a n }的前n 项和为S n ＝3‧2n
〔n ∈N +〕，所以，545
54323248a S S =-=⋅-⋅=，
333224S =⋅=，设数列{b n }的公差为d ，且b 2
＝a 5
，b
10
＝S 3，
那么11
48
924b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得：b 1
＝51，d ＝﹣3，
所以，b n ＝51﹣3(n ﹣1)＝54﹣3n ，当n ＝18时，b 18＝0， 故T n 取最大值时n ＝17或者18． 故答案为：17或者18.
【点睛】此题考察S n 和a n 的关系以及等差数列前n 项和的最大值问题，等差数列的正负转折项是其前n 项和获得最值的项，注意项为0时有两项，属中档题.
16.F 1
、F 2
分别是双曲线22
2
2x y a b
-=1〔a ＞0，b ＞0〕的左、右焦点，假设双曲线的右支上存在一点P ，使得〔2OP OF +〕•2F P =0〔O 为坐标原点〕，且|PF 1
|≥|PF 2
|，那么双曲线的离心率的取值范围是
_____．
【答案】11e <≤+【解析】 【分析】
由2()OP OF +•2F P =0，可得〔2OP OF +〕•〔2OP OF -〕＝0，即|OP |＝c ，那么∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ，且m 2
+n 2
＝4c 2
，令m =kn ，结合双曲线定义及不等式求得e 的范围从而
求得结果.
【详解】2()OP OF +•2F P =0，即为〔2OP OF +〕•〔2OP OF -〕＝0， 即为OP
2
2
OF =2
，可得|OP |＝c ，
即有∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ， 且m 2
+n 2
＝4c 2
，令m =kn ， ∴n 21a k =
-，m 2k 1
ka
=-． △PF 1F 2中，由勾股定理得|PF 1|2
+|PF 2|2
＝4c 2
，
∴〔
2k 1ka -〕2
+〔21a
k -〕2
＝4c 2
， ∴〔k 1k -〕2
+〔11
k -〕2
＝e 2
，又
k ≥
e 2
=2221222
1114111)1)22k k k k k k +=+=+≤+=+---++
（（
即有11e <≤+
故答案为：11e <≤.
【点睛】此题考察双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.
三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a +b ． 〔1〕求角C 的大小；
〔2〕假设△ABC
，求ab 的最小值. 【答案】〔1〕C 23
π
=；〔2〕最小值为
13
【解析】 【分析】 〔1〕由正弦定理
2a b c R sinA sinB sinC
===，将2c cos B ＝2a +b 变形为2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，
使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C 的值；
〔2〕由△ABC 的面积公式得出c 与a 、b 的关系为c =3ab ，将其代入余弦定理，并通过根本不等式进展变形，
可求得ab 的最小值. 【详解】〔1〕由正弦定理可知：
a b c
sinA sinB sinC
===2R ， a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 的外接圆半径，
由2c cos B ＝2a +b ，那么2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，可得：2sin B cos C +sin B ＝0， 由0＜B ＜π，sin B ≠0，cos C 1
2=
-，0＜C ＜π，那么C 23
π=
；
〔2〕由S 12=
ab sin C =ab =，那么c ＝3ab ，又c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2
+ab ， 由a 2
+b 2
≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，可得：2ab +ab ≤9a 2b 2
，即ab 1
3
≥
， 那么当a ＝b 时，ab 获得的最小值为
13
． 【点睛】此题主要考察正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、根本不等式的应用是解题关键，属中档题.
18.如图，菱形ABCD 的边长为a ，∠D ＝60°，点H 为DC 边中点，现以线段AH 为折痕将△DAH 折起使得点D 到达点P 的位置且平面PHA ⊥平面ABCH ，点E ，F 分别为AB ，AP 的中点. 〔1〕求证：平面PBC ∥平面EFH ；
〔2〕假设三棱锥P ﹣EFH 的体积等于
12
，求a 的值.
【答案】〔1〕见解析；〔2〕a ＝2 【解析】 【分析】
〔1〕分别证明EH ∥平面PBC 和EF ∥平面PBC ，再由EF ∩EH ＝E ，即可证明结论；
〔2〕根据条件求出AH =
，DH ＝PH ＝CH 12a =，然后证明PH ⊥平面ABCH ，又点F 为AP 的中点，那么
S △PEF ＝S △AEF ，故V H －PEF ＝V H －AEF ，那么111223
P EFH
P AEH AEH
V V S h --==⋅⋅，据此计算求解即可.
【详解】〔1〕证明：菱形ABCD 中，∵E ，H 分别为AB ，CD 的中点，∴BE ∥CH ，BE ＝CH ， ∴四边形BCHE 为平行四边形，那么BC ∥EH ，又EH ⊄平面PBC ，∴EH ∥平面PBC ， 又点E ，F 分别为AB ，AP 的中点，那么EF ∥BP ，又EF ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ， 由EF ∩EH ＝E ，∴平面EFH ∥平面PBC ；
〔2〕在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，那么△ACD 为正三角形，
∴AH ⊥CD ，
AH =
，DH ＝PH ＝CH 12a =，
折叠后，PH ⊥AH ，又平面PHA ⊥平面ABCH ，平面PHA ∩平面ABCH ＝AH ，从而PH ⊥平面ABCH ． 在△PAE 中，点F 为AP 的中点，那么S △PEF ＝S △AEF ，∴V H －PEF ＝V H －AEF ， 而V H －PEF +V H －AEF ＝V H －PAE ， ∴1111
2223
P EFH
H PEF H PAE P AEH AEH
V V V V S
h ----====⋅⋅
3111112322229612
a a a a =
⨯⨯⨯⨯⨯==，
∴a 3
＝8，即a ＝2．故a ＝2．
【点睛】此题考察面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.
19.A 〔0，1〕，B 〔0，﹣1〕，M 〔﹣1，0〕，动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为1
2
-
，动直线l 与曲线C 相交于不同两点Q 〔x 1，y 1〕，R 〔x 2，y 2〕，其中y 1＞0，y 2＞0且满足
12
MQ y MR
y =
．
〔1〕求曲线C 的方程；
〔2〕假设直线l 与x 轴相交于一点N ，求N 点坐标.
【答案】〔1〕2
212
x y +=〔x ≠0〕；〔2〕N 〔﹣2，0〕
【解析】 【分析】
〔1〕由及求轨迹方程的步骤可得到曲线C 的轨迹方程；
〔2〕设直线l 的方程为y ＝k 〔x ﹣m 〕，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由可得k MQ +k MR ＝0，结合根与系数的关系代入即可解出N 点坐标.
【详解】〔1〕动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为1
2
-
，设动点P 〔x ，y 〕，x ≠0； 那么有：k PA •k PB 1y x -=•112
y x +=-，化简可得：2
212x y +=，x ≠0．
故曲线C 的方程为：2
212
x y +=〔x ≠0〕；
〔2〕设点N 的坐标为〔m ，0〕．依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设为k 〔k ≠0〕，
那么直线l 的方程y ＝k 〔x ﹣m 〕，将y ＝k 〔x ﹣m 〕代入方程2
2
x +y 2
＝1〔x ≠0〕．
得〔2k 2+1〕x 2﹣4k 2mx +2〔k 2m 2
﹣1〕＝0．
那么△＝〔﹣4k 2
m 〕2
﹣8〔2k 2
+1〕〔k 2
m 2
﹣1〕＝8〔2k 2
﹣k 2m 2
+1〕＞0，
动直线与曲线C 相交于不同两点Q 〔x 1，y 1〕，R 〔x 2，y 2〕，其中y 1＞0，y 2＞0，
x 1+x 2
22
421k m
k =+，x 1
•x 2
(
)2222121
k m k -=+，且满足1
2
MQ
y
MR y =，即
21
y y
MR MQ
=，
如图，
11
1sin QQ y QMQ MQ
MQ
∠=
=
，121
sin RR y RMR MR
MR
∠=
=
，
那么1
1QMQ RMR ∠=∠，故k MQ +k MR ＝0，
即
()()1212121201111
k x m k x m y y
x x x x --+=+=++++， 化简得：()12
122(1)20x x m x x m ⋅--+-=，
即(
)2222
2
2142(1)2021
21
k m k m
m m k k -⨯
--⨯-=++，整理得m +2＝0，即m ＝﹣2．
故点N 的坐标为(﹣2，0)．
【点睛】此题考察轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的位置关系，着重考察学生数学运算和逻辑推理才能，
题中由
1
2
MQ y MR
y =
得到k MQ +k MR ＝0是解决第二问的关键，属难题.
20.某科技公司为进步场销售业绩，现对某产品在局部营销网点进展试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2021年1月至6月期间，每件产品的消费本钱为10元，方案1中每件产品的促销运作本钱为5元，方案2中每件产品的促销运作本钱为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．
〔1〕请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案〔不必说明理由〕； 〔2〕为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价x i 〔单位：元/件〕和相应销量y 〔单位：件〕〔i ＝1，2，…8〕并制作散点图〔如图②〕，观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的回归方程〔系数准确到整数〕；
参考公式及数据：x
=40，y =660，81
i =∑x i y i
＝206630，8
1
i =∑x 2
i =12968，
()()()112
2
2
1
1
ˆ
n
n
i i i i i i n
n i i i i x x y y x y nxy b
x x x nx
====---==
--∑∑
∑∑
，ˆˆ
a y bx
=-， 〔3〕公司筹划部选
ˆy
=-1200ln x +5000和ˆy ═1
3
-x 3
+1200两个模型对销量与售价的关系进展拟合，现得到以下统计值〔如表格所示〕：
相关指数：R 2
＝12
12
1 () ()
n
i i i n i i y y y y ==---∑∑
．
〔i 〕试比较R 12
，R 22
的大小〔给出结果即可〕，并由此判断哪个模型的拟合效果更好；
〔ii 〕根据〔1〕中所选的方案和〔i 〕中所选的回归模型，求该产品的售价x 定为多少时，总利润z 可以到达最大？
【答案】〔1〕方案1是较为有利的活动方案；〔2〕
ˆ271748y x =-+；〔3〕〔i 〕31
ˆ12003
y
x =-+进展拟合效果更好；〔ii 〕售价为x ＝40时，总利润z 最大 【解析】 【分析】
〔1〕由图可知，方案1是较为有利的活动方案；
〔2〕由公式计算求出ˆa 和ˆb
即可得到回归方程； 〔3〕〔i 〕由图表数据可知R 12
＜R 22
，应选择模型
31
ˆ12003
y
x =-+进展拟合效果更好；〔ii 〕由〔1〕可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作本钱为5元，求出总利润z 的解析式，利用导数研究其单调性和最大值即可得到结果.
【详解】〔1〕由图可知，方案1是较为有利的活动方案；
〔2〕由公式得8
182
2
2
1
8206630840660
129684 8ˆ80
i i i i i x y xy x x b
==--⨯⨯==
≈--⨯-∑∑
2≈﹣27， ()ˆˆ66027.2401748a
y bx =-=--⨯=． 故所求回归直线方程为
ˆ271748y
x =-+； 〔3〕〔i 〕由图表可知，R 12
＝152446.95
124650
-，R
2
2＝1122.89
124650
-
，
∴R 12
＜R 22
，应选择模型
31
ˆ12003
y
x =-+进展拟合效果更好； 〔ii 〕由〔1〕可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作本钱为5元， 故总利润()311200153z
x x ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
，(30)(40)z x x '=-+-. 当x ∈(0，40)时，z ′＞0，z ()211200153x x ⎛⎫
=-
+- ⎪⎝⎭单调递增， 当x ∈(40，+∞)时，z ′＜0，z ()211200153x x ⎛⎫
=-
+- ⎪⎝⎭
单调递减． 故售价为x ＝40时，总利润z 最大．
【点睛】此题考察回归分析，着重考察学生的数学运算才能、分析问题和解决问题的才能，结合实际问题审清题意是解题的关键，属中档题.
f (x )＝a (x ﹣1)﹣lnx (a ∈R )，
g (x )＝(1﹣x )e x .
〔1〕讨论函数f (x )的单调性；
〔2〕假设对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围． 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕[2
1
e -，+∞) 【解析】 【分析】
〔1〕首先求出函数的导数，分a ≤0和a >0两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；
〔2〕首先利用导数求出g (x )的值域为[0，1]，根据〔1〕可排除a ≤0和0＜a 1
e
≤
的情况，由函数f (x )的单
调性和图象分析可知，a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧⎪⎪
⎪⎛⎫
⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎩
＞＜时符合题意，结合构造函数求解不等式即可得到结果.
【详解】〔1〕f (x )＝a (x ﹣1)﹣ln x ，x ＞0，那么f ′(x )＝a 11
ax x x
--
=
， ①当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， ②当a >0时，令f ′(x )＞0得x 1a ＞，令f ′(x )＜0得0＜x 1
a
＜. 故f (x )的单调递减区间为(0，
1a )，单调递增区间为(1
a
，+∞)， 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， 当a >0时，f (x )在(0，
1a )上为减函数，在(1
a
，+∞)为增函数； 〔2〕∵g (x )＝(1﹣x )e x
，∴g ′(x )＝﹣xe x
，
当x ∈[﹣1，0)时，g ′(x )>0，当x ∈(0，1]时，g ′(x )<0， 又g (0)＝1，g (1)＝0，g (﹣1)2
e
=
，∴当x ∈[﹣1，1]时，g (x )的值域为[0，1]， 由〔1〕可知，①当a ≤0时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意；
②当
1a ≥e ，即0＜a 1
e
≤时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意； ③当01a ＜＜e 时，即a 1e
＞时，函数f (x )在区间(0，1a )上为减函数，在(1
a ，e ]上为增函数，
又x ＞0，且x →0时，f (x )→+∞，函数f (x )的大概图像如以下列图，
故对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，
当且仅当a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧
⎪⎪⎪⎛⎫
⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪
⎩
＞＜，即()110111a e
a lna a e ⎧⎪⎪-+⎨⎪--≥⎪
⎩＞＜〔*〕
令h (a )＝1﹣a +ln a ，a ∈(1e
，+∞)，那么h ′(a )＝﹣111a a a -+=，
当
1
e
＜a ＜1时，h ′(a )＞0，当a ＞1时，h ′(a )＜0， ∴函数h (a )在(1
e
，1)上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，故h (a )max ＝h (1)＝0，
从而〔*〕等价于11121a e a a e a e ⎧⎪⎪
⎪
≠⎨⎪
⎪≥⎪-⎩
＞＞且，故a 21e ≥-，故a 的取值范围为[21e -，+∞)．
【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，表达了分类讨论和数形结合的思想，着重考察学生对题意的理解与转化的思想，特别是问题〔2〕的设置，考察了学生创造性分析和解决问题的才能，属难题.
请考生在第22、23两题中任选一题答题，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域规定的正确位置答题。

假设多做，那么按所做的第一题计分.
xOy 中，曲线C
的参数方程为3cos x y α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩〔α为参数〕，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极
坐标系中，直线l
的极坐标方程为sin 42πρθ
⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭．
〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； 〔2〕设点()1,0P
-，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．
【答案】〔1〕22193x y +=，10x y -+=；〔2
【解析】 【分析】
(1)利用三角恒等式消参得到曲线C 的普通方程，利用极坐标公式得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕先证明点P 在直线l 上，再利用直线参数方程t 的几何意义解答.
【详解】〔1〕因为曲线C
的参数方程为3cos x y α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩〔α为参数〕，
所以曲线C 的普通方程为22
193
x y +=.
因为sin 42πρθ
⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭，
所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=.
所以直线l 的直角坐标方程为10x y -
+=.
〔2〕由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l
的参数方程为12
2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
代入椭圆的方程得2
280t -=，
所以1212+402
t
t t t =
=-<，
所以12|PA|+|PB|=||2
t
t -=
=. 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
()()210f x x a x a =++->.
〔1〕当1a =时，求不等式()4f x >的解集；
〔2〕假设不等式
()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.
【答案】〔1〕5|
13x x x >⎧
⎫
<-⎨⎬⎩
⎭
或；〔2〕()5,+∞
【解析】 【分析】
〔1〕利用零点分段法去绝对值，将不等式()4f x >转化为不等式组来求解得不等式()4f x >的解集.
〔2〕化简不等式
()42f x x >-为2x a +>，由此得到2a x >-或者2a x <--，结合恒成立知识
的运用，求得a 的取值范围. 【详解】〔1〕当1a =时，
()121f x x x =++-，
故
()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或者1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或者1314
x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或者53x >.
故不等式
()4f x >的解集为5|13x x x >⎧
⎫<-⎨⎬⎩
⎭或.
〔2〕当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->，
即2x a +>，即2a x >-或者2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立.
又
()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.
又0a
>，所以5a >，
综上，a 的取值范围为
()5,+∞.
【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察含有绝对值的不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.。