仿射变换及其变换矩阵的理解

仿射变换及其变换矩阵的理解
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⽬录
写在前⾯
2D图像常见的坐标变换如下图所⽰：
这篇⽂章不包含透视变换（projective/perspective transformation），⽽将重点放在仿射变换（affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。

仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射
仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合：
平移（translation）和旋转（rotation）顾名思义，两者的组合称之为欧式变换（Euclidean transformation）或刚体变换（rigid transformation）；
放缩（scaling）可进⼀步分为uniform scaling和non-uniform scaling，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；
刚体变换+uniform scaling 称之为，相似变换（similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩；
剪切变换（shear mapping）将所有点沿某⼀指定⽅向成⽐例地平移，语⾔描述不如上⾯图⽰直观。

各种变换间的关系如下⾯的venn图所⽰：
通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

变换矩阵形式
没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以⽤如下变换矩阵描述：
x ′y ′
=
a b c
d
x y
不同变换对应的a ,b ,c ,d 约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换（linear transformation ），其涵盖的变换如上⾯的venn 图所⽰，其特点是原点位置不变，多次线性变换的结果仍是线性变换。

为了涵盖平移，引⼊齐次坐标，在原有2维坐标的基础上，增⼴1个维度，如下所⽰：
x ′y ′1
=a
b c d
e f
1
x y
1
所以，仿射变换的变换矩阵统⼀⽤ a
b c
d
e f 0
1
来描述，不同基础变换的a ,b ,c ,d ,e ,f 约束不同，如下所⽰：此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个⾃由度（θ,t x ,t y ），这⾥旋转⽅向为逆时针⽅向，因此与上图中的正负号不同，
cos(θ)−sin(θ)t x sin(θ)cos(θ)t y 0
1
x y
1
=x ′y ′1再乘上uniform scaling 得到相似变换，有4个⾃由度（s ,θ,t x ,t y ），如下：
[][][]
[][][]
[]
[
][][]
s cos(θ)−s sin(θ)t x s sin(θ)s cos(θ)
t y 0
1
x y
1
=x ′y ′1⾃然，仿射变换的变换矩阵有6个⾃由度（a ,b ,c ,d ,e ,f ）。

变换矩阵的理解与记
忆
坐标系由坐标原点和基向量决定，坐标原点和基向量确定了，坐标系也就确定了。

对于坐标系中的位置(x ,y )，其相对坐标原点在[1,0]⽅向上的投影为x ，在[0,1]⽅向上的投影为y ——这⾥投影的意思是过(x ,y )做坐标轴的平⾏线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x ,y )实际为：
x y
=x
10
+y
01
=
100
1
x y
当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化，但点相对新坐标系（x ′−y ′坐标系）的位置不变仍为(x ,y )，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)]，所以点变化到新位置为：
x ′y ′
=x
cos(θ)sin(θ)
+y
−sin(θ)cos(θ)
=
cos(θ)−sin(θ)sin(θ)
cos(θ)
x y
新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x −y 坐标系）⽽⾔的。

其他变换矩阵同理。

总结⼀下：
所有变换矩阵只需关注⼀点：坐标系的变化，即基向量和原点的变化；坐标系变化到哪⾥，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化；
坐标系的变换分为 基向量的变化 以及 坐标原点的变化，在仿射变换矩阵 a
b c
d
e f 00
1
中， a d 和b e 为新的基向量，c
f
为新的坐标
原点，先变化基向量，再变化坐标原点；
这时再对照上⾯的各种变换矩阵，就很好理解了。

变换矩阵的参数估计
如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？
⼀对对应点可以列两个线性⽅程，多个对应点可以列出线性⽅程组，为了求解参数，需要的对应点数⾄少为⾃由度的⼀半，多个点时构成超定⽅程组，可以基于最⼩⼆乘或者SVD 分解等⽅法进⾏求解，这⾥不再展开。

参考
[
][][]
[][][][][]
[][][
][
][]
[]
[][][]
Processing math: 100%。