河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第二次联考数学(理)试题(解析版)

河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第二次联考数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，，则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，；
．
故选：B．
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．
2.命题“，”的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是，
故选：C．
利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
本题考查命题的否定的应用全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．
3.已知等差数列的前n项和为，且，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设等差数列的公差为d，则
，
解得．
故选：B．
设该等差数列的公差为d，则根据通项公式和前n项和公式列出关于、d的方程组，通过解方程组即可得到答案．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
4.已知a，b是实数，则“”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：由“”可得“”，反之不成立，例如：，．因此：则“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
由“”可得“”，反之不成立，可举反例，即可判断出．
本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
5.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的
直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：的周长为，
的周长，
，
，
离心率为，
，，
，
椭圆C的方程为．
故选：A．
利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得
出椭圆的方程．
本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.若实数x，y满足条件，则的最大值为
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】解：作出约束条件
所对应的可行域，
如图：
变形目标函数可得，
平移直线可知，
当直线经过点时，
直线的截距最小，z取最大值，
代值计算可得的最大值为
．
故选：D．
作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，通过平移找出最优解，代入目标函数求出最值．
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
7.已知命题p：“，”，命题q：“，”，若命
题￢是真命题，则实数a 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：“，，
，即p：．
若：“，”，
则，解得．
即：q：．
若￢是真命题，
则p，￢都是真命题，
即p是真命题，q是假命题，
，解得．
故选：B．
先求出命题p，q的等价条件，然后利用命题￢是真命题，确定实数a 的取值范围即可．
本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．
8.已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、
B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设，，
代入椭圆方程得，
相减得，
．
，，．
，
化为，又，解得，．
椭圆E的方程为．
故选：D．
设，，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得
利用中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得
于是得到，化为，再利用，
即可解得，进而得到椭圆的方程．
熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
9.已知的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，，
则
A. 3
B.
C.
D. 6
【答案】C
【解析】解：由于的三个内角A、B、C成等
差数列，且内角和等于，
，
中，由余弦定理可得：
，即：，
或舍去，可得：，
．
故选：C．
由于的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于，故B，ABD中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
本题考查等差数列的定义，余弦定理以及三角形面积公式的应用，求出，是解
题的关键，属于基础题．
10.椭圆的中心在原点，，分别为左、右焦点，A，B分别
是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图所示，把代入椭圆方程
，可得，
又，，，
，，
，，化为：．
，即，．
故选：D．
由已知可得，又，，，由，得，化为，
即可求解．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，
S为的面积，则的最大值为
A. 1
B.
C.
D. 3
【答案】C
【解析】解：，
，
由，可得，
设外接圆的半径为R，则，
解得，
，
故的最大值为．
故选：C．
运用余弦定理可得A，再由正弦定理可得外接圆的半径，再由三角形的面积公式和两角差的余弦公式，结合余弦函数的值域，即可得到最大值．
本题考查正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查两角和差的余弦公式和余弦函数的值域，属于中档题．
12.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：设直线l的方程为，代入，消去y得
，
由题意得，即．
弦长．
故选：C．
设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得的表达式，利用t的范围求得的最大值．
本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若命题“，”是假命题，则m的取值范围是______．【答案】
【解析】解：命题“，”是假命题，
则命题“，”是真命题．
，．
．
则m的取值范围是．
故答案为：．
命题“，”是假命题，可得：命题“，”是真命题因此，．
本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.已知、是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且
若的面积为9，则______．
【答案】3
【解析】解：、是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．
，，，
，
，
．
故答案为3．
由已知得，，，由此能得到b
的值．
主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．
15.已知，B是圆F：为圆心上一动点，线段AB的
垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】解：由题意得圆心，半径等于，，
半径，
故点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，
，，，椭圆的方程为．
故答案为：为．
利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点．
16.已知中，， ，，若点P是边BC上的动点，且
P到AB，AC距离分别为m，n，则的最小值为______．
【答案】
【解析】解：根据题意，如图所
示，过点P做，，
则，，
又由， ，则 ，
则，，
即，，
又由，即，
则，
即的最小值为，此时．
故答案为：．
根据题意，作出的图形，分析可得，，结合题意分析可得，由此可以变形为，由基本不等
式分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质，涉及三角形的有关计算，关键是求出的值．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知．
求角A的大小；
若，求的面积．
【答案】本题满分为14分
解：，由正弦定理得分
又，
从而分
由于，
所以分
解法一：由余弦定理，而，分
得，即．
因为，所以分
故的面积为分
解法二：由正弦定理，得，
从而，分
又由知，
所以．
故分
所以的面积为分
【解析】由弦定理化简已知可得，结合，可求，结合范围，可求A的值．
解法一：由余弦定理整理可得：即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
解法二：由正弦定理可求的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18.已知，p：，q：．
已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
若￢是￢成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】解：由得，即p：分是q成立的必要不充分条件，则是的真子集，
有，解得，
又当时，，不合题意，
的取值范围是分
￢是￢的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，
则是的真子集，则，
解得，又当时，不合题意．
的取值范围为分
【解析】求出p的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可
根据￢是￢成立的充分不必要条件，转化为p是q的充分不必要条件进行求解即可
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键．
19.已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：
对，不等式恒成立．
若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
若为假，为真，求实数m的取值范围．
【答案】解：对，不等式，
即，
即，得
p：
则若命题p为真命题，则实数m的取值范围是．
若，不等式恒成立，
即，
即恒成立，
当，函数为增函数，
，
则，即q：，
若为假，为真，
则p，q一个为真命题，一个为假命题，
若p真q假则得，
若p假q真则或，得，
综上，即实数m的取值范围是．
【解析】根据不等式恒成立，转化为最值问题进行求解即可．
根据复合命题真假关系判断命题p，q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据不等式恒成立求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
20.已知数列满足．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前n项和．
【答案】解：Ⅰ，
当时，
得，分
又当时，，，分
Ⅱ，
分
【解析】利用数列递推关系即可得出．
利用错位相减法即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.已知点与都在椭圆C：上，直线AB交x轴于
点M．
求椭圆C的方程，并求点M的坐标；
设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，问：y轴上是否存在点E，使得 ？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：点与都在椭圆C：上，
，解得．
椭圆C的方程为．
直线AB的方程为，
整理，得，
当时，，
点M的坐标为．
点与，O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，
，直线AD：，即，
令，得，，
设，
，，
，，
，解得．
轴上是否存在点，使得 ．
【解析】由点与都在椭圆C：上，利用待定系数法能求出椭圆C的方程和直线AB的方程，由此能求出点M的坐标．由已知求出，直线AD：，从而求出，设，由 ，得到，从而求出y轴上是否存在点，
使得 ．
本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
22.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B其离心率，点
M为椭圆上的一个动点，面积的最大值是．
求椭圆C的方程；
若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当时，求点P的坐标．
【答案】解：由题意可知解得，，
所以椭圆方程为分
由知，设直线BD的方程为，，
把代入椭圆方程，
整理得，
所以，则，分
所以BD中点的坐标为，分
则直线BD的垂直平分线方程为，得分又，即，
化简得，
解得
故当时，，当时，分
【解析】利用已知条件，列出方程组，然后求解a，b可得椭圆方程．设出直线方程，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，以及斜率的数量积转化求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
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