2024届上海市吴淞中学数学高一下期末预测试题含解析

2024届上海市吴淞中学数学高一下期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数f (x )满足： f (x )=-f (-x )，且当x ∈(-∞，0]时，()()0f x xf x '
+<成立，若
0.60.62211
2(2),ln 2(ln 2),(log )(log ),88
a f
b f
c f =⋅=⋅=⋅则a ，b ，c 的大小关系是
（ ） A ．a > b > c
B ．c >a >b
C ．b >a >c
D ．c >b >a
2．在ABC ∆中，“A B >”是“cos cos A B <”的 ( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3
A π
=，sin 2sin C B =，
则ABC 的周长为（ ） A ．323+
B ．32
6+
C ．333+
D ．336+
4．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递减的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．数列{}n a 中，11n
n n
a a a +=+，11a =，则4a =( )． A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
6．直线3y kx =+与圆2
2
(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||3MN ≥k 的取值范围是（ ）
A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
7．若数列{}n a 满足112a =，
()*1112N n n
n a a +-=∈，则10a =( ) A ．
120
B ．
118
C ．18
D ．20
8．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A ．
16
B ．
13
C ．
23
D ．
45
9．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A ．至少有一个白球；都是白球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．至少有一个白球；红、黑球各一个
D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若3
A π
=，a =
2b =，则边c
的大小为（ ）
A ．3
B ．2
C D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.
12．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________． 13．观察下列式子：131111115
1,12,1222342382
+≥+++>++++>你可归纳出的不等式是___________
14．设常数a R ∈，函数()()lg f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______.
15．已知点(1,2)P -及其关于原点的对称点均在不等式210x by +-<表示的平面区域内，则实数b 的取值范围是____．
16．若角α的终边经过点()2,1P ，则tan 4πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
___________. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
（1）已知y 与x 线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.
（附：线性回归方程ˆy
bx a =+中，()()
()
1
1
2
22
1
1
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nxy x x y y b x
nx x x ====---==
--∑∑∑∑，
a y bx =-，其中,x y 为样本平均数）
18．已知函数2
π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
（1）求函数
的最大值，以及取到最大值时所对应的的集合； （2）
在ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围． 19．（1）已知5
sin 13α=，3cos 5
β=-，且α、β都是第二象限角，求()cos αβ-的值.
（2）求证：2
tan cot sin 2ααα
+=
.
20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若33ABC
S =，6AB AC ⋅=.
（1）求角A 的大小；
（2）若13a =，求ABC 的周长.
21．若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（为常数），则称数列{}n b 是
公差为d 的“隔项等差”数列． （Ⅰ）若
，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和；
（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式； ②设数列{}n a 的前项和为，试研究：是否存在实数，使得
成
等比数列（
）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
根据已知条件判断出函数()f x 的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出
()()F x x f x =⋅的单调性，结合()F x 的奇偶性比较出,,a b c 的大小关系.
【题目详解】
由于()()f x f x =--，所以()f x 为奇函数.构造函数()()F x x f x =⋅，依题意，当
0x ≤时，()()()''
0F x f x x f x =+⋅<，所以()F x 在区间(],0-∞上递减.由于
()()()()()F x x f x x f x F x -=-⋅-=⋅=，所以()F x 为偶函数，故()F x 在[)
0,+∞上递
增.()()()3222
2111(log )(log )log log 23388
8c f F F F F -⎛⎫=⋅===-= ⎪⎝⎭
.()0.62a F =，()ln 2b F =.由于0.60ln 21223<<<<<，所以c a b >>. 故选：B 【题目点拨】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题. 2、A 【解题分析】
余弦函数cos y x =在0π（，）上单调递减 【题目详解】
因为A,B 是ABC ∆的内角，所以,A B π∈（0，）,在0π（，）
上余弦函数cos y x =单调递减, 在ABC ∆中，“A B >”⇔ “cos cos A B <” 【题目点拨】
充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。

3、C 【解题分析】
根据sin 2sin C B =，得到2c b =，利用余弦定理，得到关于b 的方程，从而得到,b c 的值，得到ABC 的周长. 【题目详解】
在ABC 中，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
=== 因为sin 2sin C B =，所以2c b = 因为3a =，3
A π
=
，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-
即2
2
1
94222
b b b b =+-⨯⨯，解得3b =， 所以223
c b ==
所以ABC 的周长为333+. 故选C. 【题目点拨】
本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题. 4、C 【解题分析】
先判断各函数奇偶性，再找单调性符合题意的即可。

【题目详解】 首先可以判断选项D ，不是偶函数，排除； 然后，由图像可知，在上不单调，
在
上单调递增，
只有选项C ：符合，故选C 。

【题目点拨】
本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性。

5、B 【解题分析】
通过取倒数的方式可知数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，利用等差数列通项公式求得41a ，进而
得到结果. 【题目详解】
由11n n n a a a +=
+得：111
11n n n n a a a a ++==+，即
111
1n n
a a
∴数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是以111a 为首项，1为公差的等差数列
()41
14114a ∴
=+-⨯= 414
a ∴= 本题正确选项：B 【题目点拨】
本题考查利用递推关系式求解数列中的项的问题，关键是能够根据递推关系式的形式，确定采用倒数法得到等差数列. 6、A 【解题分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【题目详解】
如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=
∴弦心距2
2
2
(1)
1
CD k k =
=
+-+，又2||23||
33MN DN DN ⇒⇒，
∴由勾股定理可得2
22222
231DN CN CD k ⎛⎫=-=-+，
22223
1|31|
1(31)1(43)004
1
k k k k k k k k ⇒++⇒++⇒+⇒-
+ 答案选A
【题目点拨】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

处理过程中，直线需化成一般式 7、A 【解题分析】
首先根据题意得到：1{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列.再计算10
1a 即可. 【题目详解】
因为
111
2n n
a a +-=， 所以1
{
}n
a 是以首项为2，公差为2的等差数列. 101
29220a =+⨯=，10120
a =. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查等差数列的定义，熟练掌握等差数列的表达式是解题的关键，属于简单题. 8、C 【解题分析】
试题分析：设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12） 矩形的面积S=x （12-x ）＞20 ∴x 2-12x+20＜0 ∴2＜x ＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率1022
1203
p -==-
考点：几何概型 9、C 【解题分析】
由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果. 【题目详解】
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项： 在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立．
在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；
在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；
在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故
本题选择C 选项. 【题目点拨】
“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 10、A 【解题分析】
直接利用余弦定理可得所求. 【题目详解】
因为2222cos a b c bc A =+-，所以2742c c =+-，解得3c =或1c =-（舍）. 故选A. 【题目点拨】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、20 【解题分析】
先由条件求出1,a d ，算出n S ，然后利用二次函数的知识求出即可 【题目详解】
设{}n a 的公差为d ，由题意得
135********d a a a a d a a ++++==++
即1235a d +=，①
2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=
即1333a d +=，②
由①②联立得139,2a d ==- 所以()()2
2139(2)40204002
n S n n n n n n -=+
⨯-=-+=--+
故当20n =时，n S 取得最大值400 故答案为：20
等差数列的n S 是关于n 的二次函数，但要注意n 只能取正整数. 12、
310
【解题分析】
列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【题目详解】
所有的基本事件有：()2,3,5、()2,3,7、()2,3,9、()2,5,7、()2,5,9、()2,7,9、
()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，
其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、
()5,7,9，共3个，
由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为3
10
， 故答案为
310
． 【题目点拨】
本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题． 13、11
12123
22
n n ++
+++
≥ 【解题分析】
观察三个已知式子的左边和右边，第1个不等式左边
12
可改写成11
2；第2个不等式左
边的
14可改写成21
2，右边的2可改写成42
；第3个不等式的左边18可改写成312；据
此可发现第n 个不等式的规律. 【题目详解】
观察三个已知式子的左边和右边，
第1个式子可改写为：1
13
122
+
≥， 第2个式子可改写为：21114
12322+++≥，
第3个式子可改写为：31115
12322
++++≥，
所以可归纳出第n 个不等式是：1112
12322
n n +++++
≥. 故答案为：11
12123
22
n n +++++≥. 【题目点拨】
本题考查归纳推理，考查学生分析、解决问题的能力，属于基础题． 14、1 【解题分析】
反函数图象过（2，1），等价于原函数的图象过（1，2），代点即可求得． 【题目详解】
依题意知：f （x ）＝lg （x +a ）的图象过（1，2）， ∴lg （1+a ）＝2，解得a ＝1． 故答案为：1 【题目点拨】
本题考查了反函数，熟记其性质是关键，属基础题． 15、13
(,)22
【解题分析】
根据题意，设Q 与(1,2)P -关于原点的对称，分析可得Q 的坐标，由二元一次不等式的
几何意义可得2210
2210
b b --<⎧⎨-+-<⎩，解可得b 的取值范围，即可得答案．
【题目详解】
根据题意，设Q 与(1,2)P -关于原点的对称，则Q 的坐标为(1,2)-，
若P 、Q 均在不等式210x by +-<表示的平面区域内，则有2210
2210
b b --<⎧⎨-+-<⎩，
解可得：
1322b <<，即b 的取值范围为1(2，3
)2
；
故答案为1(2，3
)2
．
【题目点拨】
本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题． 16、3 【解题分析】
直接根据任意角三角函数的定义求解1
2
tan α=，再利用两角和的正切展开代入求解即可
【题目详解】
由任意角三角函数的定义可得：12
tan α=
． 则tan 1tan 341tan πααα+⎛
⎫+=
= ⎪-⎝
⎭ 故答案为3 【题目点拨】
本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）ˆ0.5 2.3y x =+；（2）6.8千元．
【解题分析】
（1）由表中数据计算x 、y ，求出回归系数，得出y 关于x 的线性回归方程；
（2）利用线性回归方程计算2020年对应9x =时ˆy
的值，即可得出结论． 【题目详解】
（1）由表中数据，计算1
(1234567)47
x =
⨯++++++=， 1
(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37
y =⨯++++++=，
7
1
()()
i
i
i x x y y =--∑3( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.510.92 1.6314=-⨯-+-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=，
7
2
22222221
((3)(2)(1)0)
12328i
i x x ==-+-+-++++=-∑，
7
1
7
2
1
()()
14
0.528
()
i
i
i i
i x x y y b x x ==--∴=
=
=-∑∑， 4.30.54 2.3a y bx =-=-⨯=，
y ∴关于x 的线性回归方程为：ˆ0.5 2.3y x =+；
（2）利用线性回归方程，计算9x =时，ˆ0.59 2.3 6.8y =⨯+=（千元）， ∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【题目点拨】
本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理． 18、
，
，
;（2）
【解题分析】 （1）
π()1cos 2321sin 2322f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭．
max ()3f x =
此时，
2232
5
()
12
x k x k k Z π
π
π
ππ-
=
+∴=+∈
（2）
ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，ππ2π2633x ∴≤-≤，
即π212sin 233x ⎛⎫
≤+-
≤ ⎪⎝
⎭
， max min ()3()2f x f x ∴==，．
()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，
max ()2m f x ∴>-且min ()2m f x <+，
14m ∴<<，即m 的取值范围是(14)，
． 19、（1）
56
65
；（2）见解析 【解题分析】
（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα1213=-，sinβ4
5
=，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos （α﹣β）的值． （2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明
【题目详解】
（1）∵sinα513=
，cosβ3
5
=-，且α、β都是第二象限的角，
∴cosα1213==-，sinβ45
==，
∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ56
65
=；
（2）22sin cos sin cos 2
tan cot cos sin sin cos sin 2ααααααααααα
++=+==
得证 【题目点拨】
本题考查两角和与差的正弦、余弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．
20、（1）60︒；（2）7【解题分析】
（1）根据三角形面积公式,结合平面向量数量积定义,分别表示出bc ,联立即可求得
tan A ,进而得A 的值.
（2）由a =,结合余弦定理即可表示出22c b +,由（1）可得bc .即可联立表示出b c +,进而求得周长. 【题目详解】
（1）因为ABC S ∆=
所以
1sin 2bc A =,则sin bc A
= 而6AB AC ⋅=,可得cos 6bc A =,所以6
cos bc A
=
即
sin 6
cos A A
=
化简可得sin tan cos A
A A
==所以60A =︒；
（2）因为a =,所以由余弦定理可得2222cos 13a b c bc A =+-=, 即2225c b +=,由（1）知12bc =,
则2
2
2
()249b c b c bc +=++=,所以7b c +=,
所以ABC ∆的周长为713+. 【题目点拨】
本题考查了三角形面积公式的应用,余弦定理解三角形,平面向量数量积的定义及应用,属于中档题.
21、（Ⅰ）535（Ⅱ）① 当为偶数时，
，
当为奇数时，；②0a =
【解题分析】
试题分析：（Ⅰ）由新定义知：前15项之和为两等差数列之和，一个是首项为3，公差为8的等差数列前8项和，另一个是首项为17，公差为8的等差数列前7项和，所以前15项之和
（Ⅱ）①根据新定义知：证明目标为
，
，相减得
，当为奇数时，依次构成首项为a ，公
差为2的等差数列,
, 当为偶
数时，依次构成首项为2-a ，公差为2的等差数列,②
先求和：当为偶数时，；
当为奇数时，
故当
时，，，，
由
，则
，解得
．
试题解析：（Ⅰ）易得数列
前15项之和
（Ⅱ）①
（）（A ）
（B ）
（B）（A）得（）．
所以，为公差为2的“隔项等差”数列．
当为偶数时，，
当为奇数时，；
②当为偶数时，；当为奇数时，
．
故当时，，，，
由，则，解得．
a ，使得成等比数列（）
所以存在实数0
考点：新定义，等差数列通项及求和。