新初中数学图形的相似经典测试题含答案(2)

新初中数学图形的相似经典测试题含答案(2) 一、选择题
1．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y
k
x
=(x＞0)上，OA＝2，AB
＝4，则k的值为（）
A．4 B．6 C．32
5
D．
42
5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到
OB22
OA AB
=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到
CD
85
=，OD
45
=求得
8545
，)于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCO是矩形，
∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，
∵OA＝2，AB＝4，
∴过C作CD⊥x轴于D，
∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴OB AB OA OC CD OD
==，2542
CD OD
==，
∴CD
85
5
=，OD
45
=，
∴C(45
5
，
85
5
)，
∴k
32
5 =，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性
质可得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出
CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AF AB
GF GD
==2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相
似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．
3．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )
A ．
AD AE AB EC
= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C
【解析】
【分析】 由//DE BC 可得到DEO V ∽CBO V ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】
解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC
= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴
AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，
∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,
DE AE BC AC ∴
=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC
∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，
∴
AG AE AF AC
= ,故不正确； 故选C ．
【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
4．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x
上一点，k 的值是（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．24
【答案】C
【解析】
【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值．
【详解】
解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，
OABC Q 是正方形，
6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，
D Q 是AB 的中点，
12
BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴∆∆∽，
∴
12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ， OFQ OAB ∴∆∆∽，
∴
22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，
2
643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，
Q 点Q 在反比例函数的图象上，
4416k ∴=⨯=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．
5．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922
A DE A EF S S '∆'∆==，182ABD ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DA
B 知2A DE ABD
S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭ ，据此求解可得． 【详解】
16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，
1922A DE A EF S S ∆∆''∴=
=，182
ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，
//A E AB ∴'， DA E DAB '∴∆~∆，
则2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭
'，
解得3A D '=或37
A D '=-
（舍）， 故选：B ．
【点睛】 本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）
A ．1：3
B ．1：8
C ．1：9
D ．1：4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意，易证△DEF ∽△CBF ，同理可证△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．
【详解】
∵S △EFC ＝3S △DEF ，
∴DF ：FC ＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE ∥BC ，
∴△DEF ∽△CBF ，
∴DE ：BC ＝DF ：FC ＝1：3
同理△ADE ∽△ABC ，
∴S △ADE ：S △ABC ＝1：9，
故选：C ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．
7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 是AB 的中点，点P 是直线BC 上一点，将△BDP 沿DP 所在的直线翻折后，点B 落在B 1处，若B 1D ⊥BC ，则点P 与点B 之间的距离为（ ）
A．1 B．5
4
C．1或 3 D．
5
4
或5
【答案】D
【解析】
【分析】
分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段
成比例可得
1
2
BD BE DE
AB BC AC
===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【详解】
解：如图，若点B1在BC左侧，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴225
AC BC
+
∵点D是AB的中点，
∴BD=1
2
BA=
5
2
∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC
∴
1
2 BD BE DE
AB BC AC
===
∴BE=EC=1
2
BC=2，DE=
1
2
AC=
3
2
∵折叠
∴B1D=BD=5
2
，B1P=BP
∴B1E=B1D-DE=1
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=54 如图，若点B 1在BC 右侧，
∵B 1E=DE+B 1D=
32+52
， ∴B 1E=4 在Rt △EB 1P 中，B 1P 2=B 1E 2+EP 2，
∴BP 2=16+（BP-2）2，
∴BP=5
故选：D ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
8．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )
A ．2
B 3
C 15±
D 15+ 【答案】D
【解析】
【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】
解：∵1AB =，
设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，
∴EF AD DF AB =，即111
x x =-，
解得：1152x +=，2152
x -=（不合题意，舍去） 经检验15x +=
，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．
9．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．3：4
B ．9：16
C ．9：1
D ．3：1
【答案】B
【解析】
【分析】 可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴△DFE ∽△BFA ，
∵DE ：EC=3：1，
∴DE ：DC=3：4，
∴DE ：AB=3：4，
∴S △DFE ：S △BFA =9：16．
故选B ．
10．如图Rt ABC V 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，D 为BC 上一动点，DE BC ⊥，当BD CE =时，BE 的长为（ ）．
A ．52
B ．125
C ．5158
D ．3418
【答案】D
【解析】
【分析】
利用90ABC ∠=︒，DE BC ⊥得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解,,BD DE 再利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：90,ABC ∠=︒Q DE BC ⊥，
//,DE BA ∴
,CED CAB ∴∆∆:
,CE CD ED CA CB AB
∴
== 90,4,3,ABC AB BC ∠=︒==Q 5,AC ∴=
设,BD x = Q BD CE =，
,3,BD CE x CD x ∴===-
3,534
x x ED -∴== 3155,x x ∴=-
15,8
x ∴= 15
8,54
ED ∴= 3,2
ED ∴= Q DE BC ⊥，
2222153341()()828BE DB DE ∴=+=+=
故选D．
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键．
11．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB
BD CD
=D．
AD AB
AB AC
=
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选C．
12．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）
A ．9
B ．12
C ．14
D ．18
【答案】A
【解析】
【分析】 如图，BC ＝2m ，CE ＝12m ，AB ＝1.5m ，利用题意得∠ACB ＝∠DCE ，则可判断△ACB ∽△DCE ，然后利用相似比计算出DE 的长．
【详解】
解：如图，BC ＝2m ，CE ＝12m ，AB ＝1.5m ，
由题意得∠ACB ＝∠DCE ，
∵∠ABC ＝∠DEC ，
∴△ACB ∽△DCE ， ∴AB BC DE CE
=，即1.5212DE =， ∴DE ＝9．
即旗杆的高度为9m ．
故选A ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
13．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）
A ．3．5
B ．4
C ．5
D ．5．5
【答案】B
【解析】
【分析】
连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56
MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．
【详解】
连接EB 、EC ，如图，
∵点E 为△ABC 的内心，
∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，
∴∠1=∠2，
∵MN ∥BC ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BM=ME ，
同理可得NC=NE ，
∵MN ∥BC ，
∴△AMN ∽△ABC ，
∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76
MN①， 同理可得CN=5-
56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，
∴MN=4．
故选：B ．
【点睛】
此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
14．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）
A ．（25+2）cm
B ．（25﹣2）cm
C ．（5+1）cm
D ．（5﹣1）cm
【答案】B
【解析】
【分析】 根据黄金分割的定义进行作答.
【详解】
由黄金分割的定义知，
512
MP MN -=，又MN=4，所以，MP=25 - 2. 所以答案选B. 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.
15．如图，顶角为36o 的等腰三角形，其底边与腰之比等k ，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC ∆为第一个黄金三角形，BCD ∆为第二个黄金三角形，CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）
A ．2018k
B ．2019k
C ．2018
2k k + D ．2019(2)k k +
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n 个黄金三角形的周长为k n-1（2+k ），从而得出答案．
【详解】
解：∵AB=AC=1，
∴△ABC 的周长为2+k ；
△BCD 的周长为k+k+k 2=k （2+k ）；
△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2（2+k ）；
依此类推，第2020个黄金三角形的周长为k 2019（2+k ）．
故选：D ．
【点睛】
此题考查黄金分割，相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是解题的关键．
16．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为
2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）
A ．距C 点1km 处
B ．距
C 点2km 处 C ．距C 点3km 处
D ．CD 的中点处
【答案】B
【解析】
【分析】 作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则
PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.
【详解】
作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．
根据PCE PDB ∆∆:，设PC x =，则5PD x =-，
根据相似三角形的性质，得 PC CE PD BD =，即253
x x =-， 解得2x =．
故供水站应建在距C 点2千米处．
故选：B ．
【点睛】
本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.
17．下列图形中，一定相似的是（ ）
A ．两个正方形
B ．两个菱形
C ．两个直角三角形
D ．两个等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
18．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）
A．AD AE
BD EC
=B．
AF DF
AE BE
=C．
AE AF
EC FE
=D．
DE AF
BC FE
=
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】
∵DE//BC，∴AD AE
BD EC
=，故A正确；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴AF DF
AE BE
=，故B正确；
∵DF//BE，∴AD AF
BD FE
=，∵
AD AE
BD EC
=，∴
AE AF
EC FE
=，故C正确；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴DE AD
BC AB
=，∵DF//BE，∴
AF AD
AE AB
=，∴
DE AF
BC AE
=，
故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.
19．若△ABC的每条边长增加各自的50%得△A'B'C'，若△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是（）
A．9 B．6 C．5 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC的每条边长增加各自的50%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴2
14
()
150%9
ABC
A B C
S
S
'''
==
+
V
V
，
∵△ABC的面积为4，则△A'B'C'的面积是9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．20．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8，则DOE
∆的面积是()
A．2B．
3
2
C．1D．
9
4
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．
【详解】
解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN，
∴EM：AN＝BE：AB，
∵E为AB中点，
∴BE=1
2 AB，
∴EM＝1
2 AN，
∵平行四边形ABCD的面积为8，
∴2×1
2
×AN×BD＝8，
∴AN×BD＝8
∴S△OED＝1
2
×OD×EM＝
1
2
×
1
2
BD×
1
2
AN＝
1
8
AN×BD＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．。