三角恒等变换

《三角恒等变换》测试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．sin 75cos15︒+︒=
Ｃ．12 Ｄ．1
2．已知11sin(),sin()23αβαβ+=
-=，则tan tan β
α
= Ａ．5 Ｂ．5- Ｃ．
15 Ｄ．1
5
-
3．若
1tan 1,tan 2tan()2tan 4
θπ
θk θθ-==++，则实数k =
Ａ．４ Ｂ．4- Ｃ．14 Ｄ．1
4
-
4．已知2
2),14
πx y αx y +=
+
+=，则x y -的最大值是
Ａ．－２ Ｂ．- Ｄ．2
5．函数sin(4)cos(4)63
ππ
y πx πx =-
++的最小正周期是 Ａ．4π Ｂ．2π Ｃ．14 Ｄ．12
6．化简cos 24cos 3αα-+可得
Ａ．4
8sin
2a Ｂ．44sin 2a
Ｃ．28sin 2a Ｄ．24sin 2
a 7．函数5sin 12cos y x x =-的最大值和最小值分别是,M m ，则M m -= Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．26 Ｄ．26-
8．对任意角q ，有sin(75)cos(45)15)θθθ+︒++︒+︒=
Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2
9．若tan sin ,tan sin a b q q q q +=-=，且0ab ¹，则
222
()2a b ab
-= Ａ．16 Ｂ．8 Ｃ．4 Ｄ．2
10．函数sin 2cos2y x x =-在下列哪个区间是增函数 Ａ．(0,)4π Ｂ．(,0)4π-
Ｃ．(,)42ππ Ｄ．(,)2
ππ 11．在ABC !中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，则内角A 的大小为 Ａ．
6π Ｂ．4π Ｃ．3
π
Ｄ．不确定 12．函数2(1sin )(1cos )y x x =-+有最大值
Ａ．8 Ｂ．2+
Ｃ．0 Ｄ．3+
二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．sin cos cos cos cos 646432168
πππππ
= 14．tan 204sin 20︒+︒= ．
15．函数()cos cos 2()f x x x x R =- 的最大值等于 ．
16．关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ① 若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增； ③ 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称； ④ 将函数()f x 的图象向左平移
512
π
个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.
17．（本小题满分10分）
已知tan ),tan )αβαβ+-((是方程2
2370x x +-=的两个实数根，求tan 2α的值．
已知sin 2cos 022
x x
-=． （1）求tan x 的值；
（2
）求
cos 2cos()sin 4
x
x x
π
+⋅的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数2()2sin ()00f x x ωϕωϕπ⎛
⎫
=+><< ⎪2⎝⎭
，的图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(12)，．
（1）求ϕ；
（2）计算(1)(2)(2011)f f f +++．
20．（本小题满分12分） 已知x ∈R
，211()sin (tan )222tan 2
x f x x x x =
-+．
（1）若02
x π
<<
，求()f x 的单调的递减区间；
（2
）若()f x =
，求x 的值． 21．（本小题满分12分） 已知函数()sin()sin()cos (,66
f x x x x a a a R π
π
=+
+-++∈为常数）.
（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()f x 在[]22
ππ
-，上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值.
课本例４是“如图１，已知OPQ 是半径为１，圆心角为3
π
的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP α?，求当角a 取何值时，矩形ABCD 的面积
最大，并求出最大面积．”课本求出当6πα=
．实际上，扇形还有一种内接矩形，矩形的一组对边与矩形的对称轴平行的形状，如图２所示，试求出此时截得矩形的最大面积，并比较两种截法哪种方法截得的最大面积大．
三角恒等变换参考答案
一、选择题
ＡＣＢＣＤＡ ＣＢＢＡＢＤ
二、填空题
13
．
32
； 14
； 15．98； 16．①③
三、解答题
17．（本小题满分10分）
由根与系数的关系，可得3tan )tan )2αβαβ++-=-((，7
tan )tan )2
αβαβ+-=-((． 于是3tan()tan()12tan 2tan[()()]71tan()tan()3
1()2
αβαβααβαβαβαβ-
++-=++-==
=--+---．
O
P
图２
O
P
图１
解：（1）由sin
2cos 0tan 2222
x x x
-=⇒=，
2
22tan
2242tan 1231tan 2
x x x ⨯∴===---． （2
）原式22=
(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )sin sin x x x x x x
x x x x -++==-
1311()1tan 44
x =
+=-+=． 19．（本小题满分12分）
解： （1）22sin ()1cos(22)y x x ωϕωϕ=+=-+．由其图象相邻两对称轴间的距
离为2，0ω>，22ω1π⎛⎫=
⎪22⎝⎭∴，4ωπ=．()1cos 2f x x ϕπ⎛⎫
=-+ ⎪2⎝⎭
∴． ()y f x =∵过(12)，点．cos 21ϕπ⎛⎫
+=- ⎪2⎝⎭∴．22k ϕπ+=π+π2∴，k ∈Z ，
2k ϕπ
2=π+2
∴，k ∈Z ， k ϕπ
=π+
4∴，k ∈Z ． 又ϕπ0<<2∵，ϕπ
=4
∴．
（2）1cos 1sin y x x π
ππ⎛⎫=-+=+
⎪2
22⎝⎭．
(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++=∴．
又∵()y f x =的周期为4，201145023=⨯+，
∴(1)(2)(2011)450232011f f f ++⋅⋅⋅+=⨯+=．
解：211cos 1cos ()sin ()22sin sin x x f x x x x x +-=
-+
212c o s
313
s i n c o s 2s i c o s 2
2s i n 22
x x x x x x
=
⋅= sin(2)3
x π
=+．
（1）
02x π
<<
， 4233
3
x π
π
π
∴
<+
<
， 当42233x πππ<+< 时， 即122
x ππ<≤，()f x 为减函数， 故()f x 的递减区间为[
,)122
ππ
． （2
）∵sin(2)3
2
x π
+
=
，则2233x k πππ+=+，或22,3k k Z ππ+
∈； ∴()x k k π=∈Z ，或()6
x k k π
π=+∈Z ．
21．（本小题满分12分） 解：（1）∵()2sin cos
cos 6f x x x a π
=
++cos x x a =++2sin 6x a π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2T π=． （2）∵[]22x ππ
∈-，，∴2363x πππ
-+≤≤；
∴当6
3
x π
π
+
=-
，即2
x π
=-
时，(
)min 2f x f a π⎛⎫
=-
= ⎪⎝⎭
； 当6
2
x π
π
+
=
，即3
x π
=
时，()max 23f x f a π⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
；
由题意，有()(2)a a ++=
∴1a =．
22．（本小题满分12分）
解：如图3，设直线OE 是扇形的对称轴，点E 在矩形的边上，并交矩形另一边于F ， 连结OC ，交矩形一边于G ．设C O E
q ?，则
Q
sin sin CE OC q q ==，
cos cos OE OC q q ==，而6
π
EOQ
?，故在Rt OGD !中，
OF q ===，设矩形的面积为S ，则
S BC EF =
2sin (cos )=-q q q
sin 2cos2)=--q q
2sin(2)3
πθ=+
-
由 06πθ<<
，得22333
πππθ<+<．所以当 232
ππθ+=，
即 12
π
θ=
时，
max 2S =-
由(22-
-
=-，而2
24924012
-=-<，故2-． 则课本上所给的截法得到的最大面积要大．。