【成才之路】高中数学(人教A版)必修二同步课件4.2.1 直线与圆的位置关系

圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直
线与圆相离．
[解析] 方法 1：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化 简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， 4 ∴当 Δ＞0，即 m＞0 或 m＜－3时，直线与圆相交，即直线 与圆有两个公共点；
[解析] 圆(x－a)2＋y2＝2 的圆心 C(a,0)到直线 x－y＋1＝0 |a＋1| 的距离为 d， 则 d≤r＝ 2⇔ ≤ 2⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1. 2
弦长问题
求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4 ＝0 截得的弦长．
[分析] 思路 1： 联立直线与 求出交 利用两点间的 → → 圆的方程 点坐标 距离公式求解 思路 2： 利用“半径长、弦心距、弦长的 直接 → 一半构成的直角三角形”列式 求解
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
圆的方程
第四章
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
1
预习导学
3
随堂测评
2
互动课堂
4
课后强化作业
预习导学
●课标展示 1．知道直线与圆的位置关系的分类． 2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．
圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半
径长的大小，而不用联立方程．
(2013· 安徽高考 ) 若直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 与圆 (x － a)2 ＋ y2 ＝ 2 有
公共点，则实数a取值范围是( A．[－3，－1] C．[－3,1] [答案] C [ 分析 ] 系？ 直线和圆有公共点说明直线和圆是什么位置关 ) B．[－1,3] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
新知导学 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及 判断
位置关系 公共点个数 几何法：设圆心到直线的距离 d |Aa＋Bb＋C| 判 ＝ A2＋B2 定 Ax＋By＋C＝0 方 代数法： 由 2 2 2 x － a ＋ y － b ＝ r 法 消元得到一元二次方程的判别式 Δ 相交 相切 相离
●温故知新
旧知再现 1．直线与圆的位置关系有三种： 两 个公共点； (1)直线与圆相交⇔直线与圆有______ 一 个公共点； (2)直线与圆相切⇔直线与圆有______ 没有 公共点． (3)直线与圆相离⇔直线与圆_______ 2．点到直线的距离公式：
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__________.
4 (1)当 d＜2，即 m＞0 或 m＜－3时，直线与圆相交，即直 线与圆有两个公共点； 4 (2)当 d＝2，即 m＝0 或 m＝－3时，直线与圆相切，即直 线与圆只有一个公共点； 4 (3)当 d＞2，即－3＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆 没有公共点．
规律总结： 解决此类问题的关键是搞清直线与圆的 位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与
两 个 ____ < r d____
0 个 一 个 ____ ____ ＝ r d____ > r d____
> < ＝ Δ____0 Δ____0 Δ____0
●自我检测
1． 直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关
系是( ) B．相切 D．相交 A．过圆心 C．相离 [答案] D
4 当 Δ＝0，即 m＝0 或 m＝－3时，直线与圆相切，即直线与 圆只有一个公共点； 4 当 Δ＜0，即－3＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆没 有公共点．
方法 2：已知圆的方程可化为 (x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为 C(2,1)，半径长 r＝2. 圆心 C(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离 |2m－1－m－1| |m－2| d＝ ＝ 2 2. 1＋m 1＋m
方法 2：圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为 x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径长 r＝ 5，点(0,1)到直线 l 的距离为 d |3×0＋1－6| 10 ＝ ＝ 2 . 2 2 3 ＋1 |AB| 设直线 l 与圆 C 的交点为 A ， B ，则 2 ＝ r2－d2 ＝ 10 2 5 － 2 ，所以弦长|AB|＝ 10.
[解析] 圆心 C(1，－1)，半径 r＝3，C 到直线 3x＋4y＋12 |3－4＋12| 11 ＝0 的距离 d＝ 2 2 ＝ 5 <r＝3.所以直线与圆相交． 3 ＋4
2 ．直线 l ： 3x － 4y － 5 ＝ 0 被圆 x2 ＋ y2 ＝ 5 所截得的弦长为 ________． [答案] 4 3 ． 过 点 ( － 3,4) 且 与 圆 x2 ＋ y2 ＝ 25 相 切 的 直 线 方 程 为
________．
[答案] 3x－4y＋25＝0
互动课堂
●典例探究 直线与圆的位置关系
已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋ y2－4x－2y＋1＝0.当 m 为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？
[分析]
直线与圆有两个公共点 ⇔直线与圆相交；直线与
[解析]
方法 1：由直线 l 与圆 C 的方程，得 ，
3x＋y－6＝0 2 2 x ＋ y －2y－4＝0 x1＝1 解得 y1＝3
x2＝2 ， y2＝0
，所以交点的坐标为 A(1,3)，B(2,0)．
故直线 l：3x＋y－6＝0B|＝ 1－22＋3－02＝ 10.
3．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(
A．(4，－6)，r＝16 C．(－2,3)，r＝4 [答案] C B．(2，－3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16
)
[解析] 由圆的一般式方程可知圆心坐标为(－2,3)，半径 r 1 2 ＝2 4 ＋－62＋12＝4.
|2＋2＋1| d＝ 2 2＝ 5 4．点P(1，－2)到直线y＝2x＋1的距离为________________. 1 ＋2