广东省佛山市第四高级中学2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析

广东省佛山市第四高级中学2019-2020学年高三数学文
联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设集合，B={－2,－1,0,1,2,3}，则集合A∩B为（）A．{－2,－1,0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,1,2,3} D．{－2,－1,0,1,2,3}
参考答案：
B
2.
已知矩形中,,沿对角线将折起,使点在内的射影落在边上,若二面角的平面角大小为,则的值等于( ).
A. B.
C. D.
参考答案：
答案:A
3. 由曲线围成的封闭图形的面积为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
4. 如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上（线段AB）的点M（如图1）；将线段A、B围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为（0，1）（如图3），当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即对称f（m）=n．对于这个函数y=f（x），下列结论不正确的是（）
A．； B．的图象关于（，0）；
C．若=，则x=； D．在（0，1）上单调递减，
参考答案：
D
5. 若函数的导函数有三个零点，分别为且满足：
，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案：
D
6. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍然以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①；②；③；④.
其中正确式子的序号是（）
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
参考答案：
B
【分析】
结合图形，比较椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值是否相同,离心率是否相同，即可进行判定.
【详解】对于①，因为椭圆中的是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以
，所以①错误；对于②，因为椭圆中的是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以，所以②正确；对于③，④，因为由图可以看出椭圆Ⅰ比Ⅱ的离心率大，所以④是错误的，③正确.
故选B.
【点睛】由椭圆上一点到其左焦点F的距离
，得椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值分别为a+c、a-c,而椭圆离心率的大小反映椭圆的扁平程度.
7. 设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，a=（）
A．B．C．1 D．2
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，得到a+1=2，解得即可
【解答】解：画出可行域如图，可知z在H（1，1）处取得最小值，故a+1=2，a=1，
故选C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
8. 设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上()
A．是增函数，且f(x)<0
B．是增函数，且f(x)>0
C．是减函数，且f(x)<0
D．是减函数，且f(x)>0
参考答案：
D
9. 已知数列，其中, 则
满足的不同数列一共有
A. 个
B.个
C.个
D.个
参考答案：
A
【考点】数列综合应用
【试题解析】
由题知：若，
则中可能有3个1，2个0或有4个1，1个-1．
所以数列共有：个。

10. 已知x，y满足约束条件则z＝的最小值为（）
A. B. C. 4 D. －
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则tanφ=．
参考答案：
．
【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，计算tanφ的值．
【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知，
A=1，=﹣=，
∴T=π，∴ω==2；
根据五点法画图知，
ω?+φ=2×+φ=π，
解得φ=，
∴tanφ=tan=．
故答案为：．
12. 均为单位向量，且它们的夹角为60°，设满足，
，则的最小值为______.
参考答案：
【分析】
根据的几何意义判断在一个半径为的圆上，根据判断的终点在过的终点且平行于的直线上.根据圆和直线的位置关系，以及的几何意义，求得的最小值.
【详解】由于，即，即与两个向量终点的距离为，即的终点在以的终点为圆心，半径为的圆上.由于，根据向量加法的平行四边形法则可知，的终点在过的终点且平行于的直线上.画出图像如下图所示.由于均为单位向量，且它们的夹角为，故圆心到直线的距离
，表示两个向量终点的距离，所以最短距离也即
的最小值为.
【点睛】本小题主要考查平面向量减法模的几何意义，考查平面向量加法运算的平行四边形法则，考查考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
13. 已知数列{a n}的是等差数列，a1≥﹣2，a2≤1，a3≥0，则a4≥3的概率是．
参考答案：
【考点】CF：几何概型．
【分析】设出等差数列的公差，把a2，a3分别用首项和公差表示，然后利用线性规划知识由a4的取值范围求得几何概型概率．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a4=a1+3d，
由已知得到
设a1=x，d=y，则a4=x+3y，
则不等式组等价为，对应的可行域如图△ACD，
由a4=x+3y≥3得到区域为△BCE，
由几何概型的公式得到使得a4≥3的概率是： =；
故答案为：
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用线性规划求函数的最值，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关键．
14. 设函数为奇函数，则******** ．
参考答案：
15. 若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________．
参考答案：
9
作可行域，则直线z=x+y过点A(5,4)时取最大值9.
16. 若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．
参考答案：
考点：几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的a，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
解答：解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，
∴≤，解得﹣1≤a≤3，
∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=
故答案为：．
点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
17. 已知集合，则
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)
（1）求的解析式;
（2）设，求证：当时，且，恒成立；
（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是 3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

参考答案：
(1) (2)略(3)存在实数，使得当时，
有最小值３
解析：解：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以
故函数的解析式为
（2）证明：当且时，，设
因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以
又因为，所以当时，，此时单调递减，所以
所以当时，即
（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，
则
（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，[来源:学&，不满足最小值是３
（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，
，也不满足最小值是３
（ⅲ）当，由于，则，故函数
是上的增函数．所以，解得（舍去）
（ⅳ）当时，则当时，，此时函数
是减函数；当时，，此时函数是增函数．
所以，解得
综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３
略
19. 某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．
高二学生日均使用手机时间的频数分布表
（Ⅰ）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．
（Ⅱ）在高一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？
附：随机变量（其中n=a+b+c+d为样本总量）．
2
参考答案：
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）将频率视为概率，即可得出结论．
（Ⅱ）利用频率分布直方图直接完成2×2列联表，通过计算K2，说明有90%的把握认为“手机迷”与性别有关．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，高一学生是“手机迷”的概率为P1=
（0.0025+0.010）×20=0.25
由频数分布表可知，高二学生是“手机迷”的概率为
因为P1＞P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“手机迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人），
非手机迷有100﹣25=75（人）．
从而2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关．
20. 设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的值域．
参考答案：
(1)设顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，
∴y＝－2(x－3)2＋4，即y＝－2x2＋12x－14.
设x<－2，则－x>2.
又f(x)为偶函数，
f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，
即f(x)＝－2x2－12x－14.
∴函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为
f(x)＝－2x2－12x－14.
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)函数f(x)的值域为(－∞，4．
21. （本小题满分12分）设函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）记的内角A、B、C的对边分别为，若且，求角B的值.
参考答案：
22. 已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1?k2为定值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；
（Ⅱ）设过点B（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1），由，可得（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB的斜率k2=﹣
，由此能证明k?k′为定值﹣．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2， +=1，
a2﹣b2=c2，
解得b=1，
即有椭圆方程为+y2=1；
（Ⅱ）证明：设过点B（1，0）的直线l方程为：y=k1（x﹣1），
由，
可得：（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12﹣4=0，
因为点B（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，
即△＞0恒成立．
设点E（x1，y1），F（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=．
因为直线AE的方程为：y=（x﹣2），
直线AF的方程为：y=（x﹣2），
令x=3，得M（3，），N（3，），
所以点P的坐标（3，（+））．
直线PB的斜率为k2==（+）
=?=?
=?=﹣．所以k1?k2为定值﹣．。