3.3《基本不等式》习题课课件(北师大版必修5)

(2)设 a，b∈R，且 a＋b＝5，求 2a＋2b 的最小值． x2＋7x＋10 (3)求函数 y＝ (x>－1)的最小值． x＋1
12 解析：(1)解法 1：(利用二次函数性质)y＝2x －x＝2(x－ ) 4
2
1 1 1 －8，故当 x＝4时，ymin＝－8. 1 解法 2：(利用均值不等式)y＝－2x(2－x) 1 x＋2－x 1 1 1 1 2 由于 0<x<2， 故2－x>0， ∴x(2－x)≤( ) ＝16(当且仅 2 1 当 x＝4时取等号) 1 1 ∴y≥－ ，故 ymin＝－ . 8 8
(2)因为 a>0，b>0，所以 a＋b≥2 ab， a＋b 2 1 1 2 2 则 ab≤( ) ＝ ，则 a b ≤ . 2 4 16 而 a4 ＋ b4 ＝ (a2 ＋ b2)2 － 2a2b2 ＝ [(a ＋ b)2 － 2ab]2 － 2a2b2 1 1 2 ≥[(a＋b) －2ab] －2×16＝(1－2ab) －8
• 总之，由均值不等式(平均值定理)求最值可分 为三步．第一步，全正(即求平均值的各个量 都是正数)；第二步，凑定值．这步技巧性强， 充分体现解题人利用均值不等式求最值的水平， 应侧重训练，当凑出和为定值时，对应各个量 的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应 各量的和有最小值；第三步，“取等号”，即 对应各个量能取得等号时，有最值存在，否则， 没有最值存在，以上三步可简化为：一正，二 定，三相等，三步缺一不可．
(2)因为 a，b∈R，故 2a,2b∈(0，＋∞)， 则 2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a b＝2 25＝8 2.
＋
5 当且仅当 a＝b＝2时，取等号． 5 所以 a＝b＝2时，2a＋2b 的最小值为 8 2.
(3)解法 1：∵x>－1，∴x＋1>0. x2＋7x＋10 x＋12＋5x＋1＋4 ∴y＝ ＝ x＋1 x＋1 4 ＝(x＋1)＋ ＋5≥2 x＋1 4 x＋1· ＋5＝9， x＋1
2
2x2 (2)当 x>3 时，求函数 y＝ 的最小值； x－3
2 b (3)已知正数 a，b 满足 a2＋ 2 ＝1，求 a 1＋b2的最
大值．
分析： (1)本题可用二次函数配方法求最值， 又 y＝x(2 －5x)可适当变形利用均值定理求最值；(2)先将函数解析 式“化假为真”(即化假分数为真分数)，变形为能应用公 式的形式； (3)利用条件中“和”为定值， 需要对 a 1＋b2 进行变形．
4 当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝1 时等号成立． x＋1 x2＋7x＋10 ∴当 x＝1 时，函数 y＝ (x>－1)取得最小 x＋1 值 9.
解法 2：令 x＋1＝t>0，∴x＝t－1， t－12＋7t－1＋10 ∴y＝ t t2＋5t＋4 4 ＝ ＝t＋ t ＋5≥2 t 4 t· t ＋5＝9，
[变式训练 1] (a＋b＋c)．
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2
分析：解决此题的关键是要记住一些常用的不等式：若 a＋b 2, 2 ＋ a， b∈R ， 则 ab≤( ) 2(a ＋b2)≥(a＋b)2, 2 a2＋b2 a＋b ≥ 2 2
n 2ab 1 ≥ ab ≥ ， (a ＋ a2 ＋ … ＋ an)≥ a1a2…an (ai>0 ， i ＝ a＋b n 1 1,2，…，n)等．
• 4．在利用均值不等式求最值时，凑定值是很 重要的一步，但是很多时候都是因为取不到最 值而苦恼，那么，在求最值时有哪些技巧可以 使用呢？ • 利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适 当的变形．在变形过程中常要用到某些特定的 技巧，主要有下面几点： • (1)将所得出的正函数平方，然后再使用均值 不等式求解．有时候直接带有根号的定值不容 易看出来，可以先平方再找最值，得出结果开 方即可，但是要注意平方前后的正负问题；
1 事实上，当 x<0 时，x＋ 的最大值是－2，这是因为 x 1 1 1 1 x<0⇒－x>0，－ >0⇒－(x＋ )＝(－x)＋(－ )≥2⇒x＋ x x x x ≤－2. 可以看出，最大值是－2，它在 x＝－1 时取得．
• 2．函数式中，含变数的各项的和或积必须是 常数，才能利用“定理”求出函数的最大值或 最小值．若含变数的各项之和或之积不是常数 (定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变 为常数(定值)，方可使用“定理”求出函数的 最大值或最小值．
4 当且仅当 t＝ t ，即 t＝2，x＝1 时等号成立． x2＋7x＋10 ∴当 x＝1 时，函数 y＝ (x>－1)取得最 x＋1 小值 9.
[例 4]
1 9 (一题多解)已知 x>0，y>0，且 x＋ y＝1，求 x
＋y 的最小值．
• 分析：要求x＋y的最小值，根据均值定理，应 构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的 变形，下面给出三种解法，请仔细体会．
2 2x2 2x－3 ＋12x－3＋18 又 y＝ ＝ ＝2(x－3)＋ x－3 x－3
18 ＋12≥2 x－3
18 2x－3· ＋12＝24，当且仅当 2(x x－3
18 －3)＝ ，即 x＝6 时，上式等号成立． x－3 ∴当 x＝6 时，ymin＝24.
(3)a 1＋b2＝ a
1 b2 2 ＋ ＝ 2· a 2 2
sinx 2 2 · sinx＝2.
正解：∵0<x<π，∴0<sinx≤1. sinx 1 设 t＝ 2 ，t∈(0，2]，则 sinx＝2t， 1 1 1 1 ∴y＝t＋ (0<t≤ )，可证明此函数 y＝t＋ 当 t∈(0， ]时为减 t 2 t 2 函数． 1 sinx 1 π 1 5 ∴当 t＝2，即 2 ＝2，sinx＝1，x＝2时，y 有最小值 2＋2＝2. 5 ∴ymin＝2.
[变式训练 2]
若 a>0，b>0，a＋b＝1.求证：
1 1 (1)(1＋a)(1＋b)≥9； 1 (2)a ＋b ≥8.
4 4
b a 证明：(1)因为 a>0，b>0，所以a＋b≥2， a＋b a＋b 1 1 故(1＋a)(1＋b)＝(1＋ a )(1＋ b ) b a b a ＝(2＋a)(2＋b)＝5＋2(a＋b)≥5＋4＝9.
3．利用算术平均数与几何平均数定理求最值时， 必须保证“＝”能取得．若取不到等号，必须经过适当 的变形，使之能取到等号． sinx 2 如：求 y＝ 2 ＋sinx(0<x<π)的最小值．
错解：∵0<x<π，∴0<sinx≤1. sinx 2 ∴y＝ 2 ＋sinx≥2 ∴ymin＝2.
错误剖析：这种解法的错误在于忽视了不等式取 sinx 2 等号的条件， 由于该不等式取等号的条件为 2 ＝sinx. 即 sin2x＝4，但 sin2x∈(0,1]，从而出现了错误．
证明：由不等式 a2＋b2≥2ab，得 a2＋b2 a＋b a＋b 2 2 2 ≥ 2 ，即 a ＋b ≥ 2 . b＋c c＋a 2 2 同理， b ＋c ≥ ， c ＋a ≥ ， 2 2
2 2
三 式 相 加 得
a2＋b2 ＋
b2＋c2 ＋
c2＋a2
2a＋b＋c ≥ ＝ 2(a＋b＋c)． 2
• (2)有些和(积)不为常数的函数求最值时，可通 过引入参数后，再使用均值不等式求解．主要 是一些比较复杂的式子，使用一个参数作一个 整体代换可以使整个式子更加简洁，也更容易 得出定值； • (3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值 不等式进行放缩才能达到目的，放缩时要保证 几个等号能同时成立； • (4)有时候使用均值不等式的变形，要根据题 目的特点，选用合适的公式．例如
1. 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函 数的最大、最小值时应注意什么？ 函数式中各项 ( 必要时还要考虑常数项 ) 必须都是正 数，若不是正数，必须变为正数． 1 如：对于函数式 x＋x ，当 x<0 时，不能错误地认为 1 1 关系式 x＋x ≥2 成立，并由此得出 x＋ x的最小值是 2.
5 1 如：若 x< 时，求 y＝1－4x＋ 的最小值． 4 5－4x 5 显然∵x<4，∴4x<5，即 5－4x>0， 1 ∴y＝5－4x＋ －4≥2 5－4x ＝2－4＝－2， 1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时， 5－4x 3 5 3 上述不等式等号成立，(∵2>4，∴2舍去) ∴当 x＝1 时，y 有最小值－2. 1 5－4x· －4 5－4x
[例 2]
已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1.
1 1 1 求证：( －1)( －1)( －1)≥8. a b c
证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1， 1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ， c－1≥ c ， 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘． 1 1 1 ∴(a－1)(b－1)( c－1) 2 bc 2 ac 2 ab ≥ · · ＝8， a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
2 2
12 1 1 1 4 4 ≥(1－2×4) －8＝8，所以 a ＋b ≥8.
a＋b 使用基本不等式 ab ≤ 2 (a ， b∈R＋ )求函数最值 时，必须注意有三个条件：一是 a、b 均为正数；二是 a ＋b 与 ab 有一个定值；三是等号必须取到．三者缺一不 可．
[例 3]
2 (1)求函数 y＝2x－5x (0<x< )的最大值； 5
1 9 解法 1：∵ x＋ y＝1， 1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋y)· (x ＋y )＝10＋x＋ y . y 9x ∵x>0，y>0，∴x＋ y ≥2 y 9x x· y ＝6.
y 9x 当且仅当x＝ y ，即 y＝3x 时，取等号． 1 9 又 ＋ ＝1，∴x＝4，y＝12. x y ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
1 9 y 解法 2：由 x＋ y＝1，得 x＝ . y－9 ∵x>0，y>0，∴y>9， y－9＋9 y ∴x＋y＝ ＋y＝y＋ y－9 y－9 9 9 ＝y＋ ＋1＝(y－9)＋ ＋10. y－9 y－9 ∵y>9，∴y－9>0. 9 ∴y－9＋ ≥2 y－9 9 y－9· ＝6. y－9
9 当且仅当 y－9＝ ，即 y＝12 时，取等号，此时 y－9 x＝4. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
1 9 解法 3：由 x＋ y＝1，得 y＋9x＝xy， ∴(x－1)(y－9)＝9. ∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9) ≥10＋2 x－1y－9＝16. 当且仅当 x－1＝y－9 时取等号(x>1， y>9)． 1 9 又 ＋ ＝1，∴x＝4，y＝12. x y ∴当 x＝4， y＝12 时， x＋y 取得最小值 16.
a＋b 利用基本不等式 ab≤ 2 时，要会把相关问题转化 为能运用基本不等式的问题， 还要注意基本不等式的适用 条件． [例 1] 求证：a>b>1 时，
a＋b 1 lga· lgb< (lga＋lgb)<lg . 2 2
证明：由 a>b>1 知 lga>0，lgb>0， lga＋lgb 故 lga· lgb≤ . 2 1 又 a≠b，则 lga≠lgb，故 lga· lgb<2(lga＋lgb)． a＋b ∵a>b>1，∴ > ab， 2 a＋ b 1 而 (lga＋lgb)＝lg ab<lg ， 2 2 a＋b 1 故有 lga· lgb< (lga＋lgb)<lg . 2 2
1 解析：(1)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝5· 5x(2－5x)．
2
2 ∵0<x<5，∴5x>0,2－5x>0， 5xห้องสมุดไป่ตู้2－5x 2 ∴5x· (2－5x)≤( ) ＝1， 2 1 1 2 ∴y≤5，当且仅当 5x＝2－5x，即 x＝5∈(0，5) 1 时，ymax＝5.
(2)∵x>3，∴x－3>0.
1 b2 1 ＋ ≤ 2· 2 2 2
2 1 b 3 2 2 (a ＋2＋ 2 )＝ 4 ，当且仅当 a＝
2 1 b2 b 2 ＋ 且 a ＋ ＝ 2 2 2
3 2 3 2 2 1，即 a＝ ，b＝ 时，a 1＋b 有最大值 . 2 2 4
[变式训练 3] 最小值．
1 (1)当 0<x<2，求函数 y＝x(2x－1)的