旧教材适用2023高考数学一轮总复习第十二章算法初步复数推理与证明第4讲合情推理与演绎推理课件

2
PART TWO
核心考向突破
考向一 综合法证明 例 1 已知 sinθ，sinx，cosθ 成等差数列，sinθ，siny，cosθ 成等比数列， 证明：2cos2x＝cos2y. 证明 ∵sinθ 与 cosθ 的等差中项是 sinx，等比中项是 siny， ∴sinθ＋cosθ＝2sinx，① sinθcosθ＝sin2y，② ①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即 4sin2x－ 2sin2y＝1.
5．若 a，b，c 为实数，且 a<b<0，则下列命题正确的是( )
A．ac2<bc2
B．a2>ab>b2
C.1a<1b
D．ba>ab
答案 B
解析 当 c＝0 时，ac2＝bc2，故 A 错误；∵a2－ab＝a(a－b)，a<b<0， ∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab ①.又 ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2 ②， 由①②，得 a2>ab>b2.故 B 正确；∵a<b<0，∴1a>1b，故 C 错误；∵a<b<0， ∴0<ba<1，ab>1，∴ba<ab，故 D 错误．故选 B.
c b.
证明：要证 ba< bc，只需证ba<bc. 由题意知 a，b，c>0，则只需证 b2<ac.
因为 b2<ac 是已知条件，
所以
b a<
c b.
(2)求证：B 不可能是钝角． 解 (2)证明：假设 B 是钝角，则 cosB<0，
a2＋c2－b2 2ac－b2 ac－b2 而 cosB＝ 2ac > 2ac > 2ac >0， 这与 cosB<0 矛盾，故假设不成立． 所以 B 不可能是钝角．
a＋3a＋4的大小，即比较 a2＋7a 与 a2＋7a＋12 的大小，只需比较 0 与 12 的大小，∵0<12，∴P<Q.故选 C.
4．(2021·甘肃张掖高三月考)若 a>b>0，且 x＝a＋1b，y＝b＋1a，则(
)
A．x>y
B．x<y
C．x≥y
D．x≤y
答案 A
解析 因为 a＋1b－b＋1a＝(a－b)1＋a1b>0，所以 a＋1b>b＋1a.故选 A.
∴a，b，c 三数中至少有一个不小于 2.
角度
证明唯一性命题
例 5 (2021·浙江嘉兴月考)用反证法证明：过已知直线 a 外一点 A 有且
只有一条直线 b 与已知直线 a 平行．
证明 假设过点 A 还有另外一条直线 b′与已知直线 a 平行，即 b∩b′ ＝A，b′∥a.
又 b∥a，所以 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以假设不成立，所 以过已知直线 a 外一点 A 有且只有一条直线 b 与已知直线 a 平行．
角度
证明存在性问题
例 4 设 x，y，z>0，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，求证：a，b，c 三
数中至少有一个不小于 2. 证明 假设 a，b，c 都小于 2，
则 a＋b＋c<6.
而事实上 a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6(当且仅当 x＝y＝z ＝1 时取“＝”)，与 a＋b＋c<6 矛盾，
2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )
A．假设 a，b，c 都是偶数 B．假设 a，b，c 都不是偶数 C．假设 a，b，c 中至多有一个偶数 D．假设 a，b，c 中至多有两个偶数
答案 B
所以(1－a)a≤1－2a＋a2＝14， 同理(1－b)b≤14，(1－c)c≤14， 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614， 这与假设矛盾，故原命题正确．
证法二：假设三式同时大于14，
因为 0<a<1，所以 1－a>0，
1－a＋b 2 ≥ 1－ab>
41＝12，
同理1－2b＋c>12，1－2c＋a>12，
3.(2022·广西柳州模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1 ＋ 2，S3＝9＋3 2.
(1)求数列{an}的通项公式与前 n 项和 Sn；
解 (1)由已知，得3aa1＝1＋32d＋＝19，＋3 2， 所以 d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．
(2)设 bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等 比数列．
a＋b b＋c c＋a 得 2 × 2 × 2 ≥abc，
又 a，b，c 不全相等，
∴a＋2 b×b＋2 c×c＋2 a>abc，
两边取对数得，lg
a＋b b＋c c＋a
2
×
2
×
2
>lg
(abc)，
a＋b b＋c c＋a ∴lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 >lg a＋lg b＋lg c.
考向二 分析法证明
例 2 (2022·安徽蚌埠检测)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
b＋21≤2. 证明 要证
a＋21＋
b＋21≤2，
只需证 a＋12＋b＋12＋2 a＋12b＋12≤4，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又 a＋b＝1，故只需证
a＋21b＋12≤1，
a＋21＋
只需证a＋12b＋12＝ab＋12(a＋b)＋14≤1，只需证 ab≤14. 因为 a>0，b>0,1＝a＋b≥2 ab，所以 ab≤14， 故原不等式成立当且仅当a＝b＝12时取等号.
三式相加，得32>32，这与事实矛盾，故假设错误，所以原命题正确．
5．(2021·山西阳泉高三阶段考试)若函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是一 条连续不断的曲线，f(a)<0，f(b)>0，且 f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x) 在(a，b)内有且只有一个零点．
证明 由于 f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(a)<0， f(b)>0，即 f(a)·f(b)<0，
∴4×1－c2os2x－2×1－c2os2y＝1， 即 2－2cos2x－(1－cos2y)＝1. 故 2cos2x＝cos2y.
综合法证明的思路 (1)分析条件，选择方向．分析题目中的已知条件及已知条件与结论之间 的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法． (2)转化条件，组织过程．把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是 文字、符号、图形三种语言之间的转化． (3)适当调整，回顾反思．回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对 一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
第4讲 直接证明与间接证明
1
PART ONE
基础知识整合
1．直接证明
内容
综合法
分析法
从要 □03 证明的结论 出发，逐步寻
利用已知条件和某些数学定 求使它成立的□04 充分条件，直到
义、公理、定理等，经过一系
定义
最后，把要证明的结论归结为判
列的□01 推理论证 ，最后推导出
定一个明显成立的条件(已知条 所要证明的结论□02 成立的方法
6．(2021·深圳调研)设 a>b>0，m＝ a－ b，n＝ a－b，则 m，n 的大 小关系是___m_<_n___．
解析 解法一：(取特殊值法)取 a＝2，b＝1，得 m<n. 解法二：(综合法)∵a>b>0，∴m＝ a－ b>0，n＝ a－b>0.m2－n2＝( a － b)2－( a－b)2＝2b－2 ab＝2( b2－ ab)．∵a>b>0，∴ab>b2，∴ ab > b2，∴ b2－ ab<0，∴m2－n2<0，∴m2<n2， ∴m<n.
分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析， 寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合 法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．
1．(2022·山西大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设
a>b>c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a”，“索”的“因”应是( )
A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
答案 C
解析 b2－ac< 3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac －3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－ b)>0.故选 C.
当且仅当 a＝b＝c＝13时取“＝”． 所以原不等式成立．
精准设计考向，多角度探究突破
考向三 反证法证明
角度
证明否定性命题
例 3 已知△ABC 的内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，三边互不 相等，且满足 b2<ac.
(1)比较 ba与 bc的大小，并证明你的结论；
解 (1)结论：
b a<
所以p＋2 r2＝pr，所以(p－r)2＝0. 所以 p＝r，这与 p≠r 矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成 为等比数列．
4．已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大 于14.
证明 证法一：假设三式同时大于14， 即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14， 三式相乘，得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>614. 因为 a，b，c∈(0,1)，
1.(2021·成都一中月考)若 a，b，c 是不全相等的正数，求证： a＋b b＋c c＋a lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 >lg a＋lg b＋lg c.
证明 ∵a>0，b>0，∴a＋2 b≥ ab>0，① 同理b＋2 c≥ bc>0，② c＋2 a≥ ac>0.③
①②③三个不等式相乘，
分析法证明的思路 分析法证明的思路：先从结论入手，由此逐步推出保证结论成立的充分 条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式 等)或要证命题的已知条件时，命题得证． 易错警示：分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它 的常用书面表达形式为“要证…只需要证…”或“…⇐ …”．注意用分析法 证明时，一定要严格按照格式书写．
解 (2)证明：由(1)，得 bn＝Snn＝n＋ 2.假设数列{bn}中存在三项 bp，bq， br(p，q，r 互不相等)成等比数列，
则 b2q＝bpbr，即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)， 所以(q2－pr)＋ 2(2q－p－r)＝0. 因为 p，q，r∈N*，所以q22q－－ppr－＝r0＝，0，
解析 “a，b，c 中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c 都不是偶 数”．故选 B.
3．若 P＝ a＋ a＋7，Q＝ a＋3＋ a＋4(a≥0)，则 P，Q 的大小关系
是( )
A．P>Q
B．P＝Q
C．P<Q
D．由 a 的取值确定
答案 C
解析 要比较 P，Q 的大小关系，只要比较 P2，Q2 的大小关系，即比 较 2a＋7＋2 aa＋7与 2a＋7＋2 a＋3a＋4的大小，即比较 aa＋7与
件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果(顺推证法)
执果索因
P⇒ Q1 → Q1⇒ Q2 框图表示
→…→ Qn⇒ Q
Q⇐ P1 → P1⇐ P2 得到一个明显
→…→ 成立的条件
文字语言
因为……所以…… 或由……得……
要证……只需证…… 即证……
2．间接证明 (1)反证法的定义 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说 明 □05 假设错误，从而证明 □06 原命题成立 的证明方法． (2)利用反证法证题的步骤 ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； ③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定 →归谬→断言．
2.已知正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1， 求证： a＋ b＋ c≤ 3. 证明 欲证 a＋ b＋ c≤ 3， 则只需证( a＋ b＋ c)2≤3， 即证 a＋b＋c＋2( ab＋ bc＋ ac)≤3， 即证 ab＋ bc＋ ac≤1. 又 ab＋ bc＋ ac≤a＋2 b＋b＋2 c＋a＋2 c＝1，
1．反证法的适用范围 当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现 时，宜用反证法来证．
2．用反证法证明不等式要把握的三点 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面． (2)必须从结论的反面出发进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须 依据这一条件进行推理证明． (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知条件矛盾，有的与假设矛盾， 有的与基本事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．