青岛市黄岛区八年级下期中数学试卷含答案解析

山东省青岛市黄岛区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共24分，共8道小题，每小题3分）
1．若m＞n，下列不等式一定成立的是（）
A．m﹣2＞n+2 B．2m＞2n C．﹣＞D．m2＞n2
2．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．不等式组有（）个整数解．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）
A．40°B．45°C．60°D．70°
7．如图，将边长为3的等边△ABC沿BC方向向右平移得到△A′B′C′，若△ABC与△A′B′C 重叠部分面积为2，则此次平移的距离是（）
A．3﹣2 B．C．2 D．2
8．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得道△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC．其中正确的序号是（）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（本题18分，每小题3分，共6道题）
9．命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：．10．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是．
11．如图，在三角形纸片△ABC中，AC=BC，∠B=70°，将△ABC沿线段DE所在直线对折，使点A、点C重合，连接AE，则∠AED的度数是度．
12．为筹备趣味运动会，李明去酒店买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，那么李明最多可买
个球拍．
13．如图，在长方形ABCD中，AB=，AD=1，该长方形绕点A顺时针旋转α度得长方形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则线段BC′的长是．
14．对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是．
三、作图题（本题满分4分，请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
15．已知：锐角∠α和线段a如图所示．
求作：等腰△ABC，使它的底角为α，腰为a．
四、解答题（本题满分74分）
16．解下列不等式
（1）≤﹣1
（2）解不等式组．
17．如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE=CE．
18．列方程（组）或不等式（组）解应用题：
每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C （﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P1、P2的坐标．
20．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1（干元）、乙厂的总费用y2（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示．
（l）甲厂的制版费为千元，印刷费为平均每个元，甲厂的费用y l与证书数量x之间的函数关系式为；
（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个元；当印制证书数量超过2千个时，求乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式
为；
（3）若甲厂的总费用高于乙厂，但相差不超过500元，该单位需印制证书数量的范围
是．
21．已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C=∠C1．求证：△ABC≌△A1B1C1．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B 型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
23．课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
24．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，
DF=（40﹣40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为米．
山东省青岛市黄岛区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共24分，共8道小题，每小题3分）
1．若m＞n，下列不等式一定成立的是（）
A．m﹣2＞n+2 B．2m＞2n C．﹣＞D．m2＞n2
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、左边减2，右边2，故A错误；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、左边除以﹣2，右边除以2，故C错误；
D、两边乘以不同的数，故D错误；
故选：B．
2．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质．
【分析】由有三条公路相交如图，现计划修建一个油库，要求到三条公路的距离相等，可得在角平分线的交点处．
【解答】解：∵有三条公路相交如图，现计划修建一个油库，要求到三条公路的距离相等，∴在角平分线的交点处．
如图．
故选D．
3．如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．
4．不等式组有（）个整数解．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】求出不等式组的解集，即可确定出整数解．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤3，
则整数解为0，1，2，3，共4个，
故选C．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】平移的性质．
【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=AB=4，再根据平移的性质得
AD=BE，AD∥BE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到AC•BE=8，即4BE=8，则可计算出BE=2，所以平移距离等于2．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=4，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于8，
∴AC•BE=8，即4BE=8，
∴BE=2，
即平移距离等于2．
故选A．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）
A．40°B．45°C．60°D．70°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：A．
7．如图，将边长为3的等边△ABC沿BC方向向右平移得到△A′B′C′，若△ABC与△A′B′C 重叠部分面积为2，则此次平移的距离是（）
A．3﹣2 B．C．2 D．2
【考点】平移的性质．
【分析】重叠部分为等边三角形，设B1C=x，则B1C边上的高为，根据重叠部分的面
积列方程求x，再求BB1．
【解答】解：设B1C=x，
根据等边三角形的性质可知，重叠部分为等边三角形，
则B1C边上的高为x，
∴×x×x=2，解得x=2（舍去负值），
∴B1C=2，
∴BB1=BC﹣B1C=3﹣2=．
故选B
8．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得道△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；
②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC．其中正确的序号是（）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而
∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长
=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．
【解答】解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正确；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③正确．
故选D．
二、填空题（本题18分，每小题3分，共6道题）
9．命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等．
【考点】命题与定理．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的题设是“如果两个有理数相等”，结论是“它们的平方相等”，故其逆命题是“如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等”．
10．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】把x=﹣2代入y1=kx+b与y2=x+a，由y1=y2得出=2，再求不等式的解集．
【解答】解：把x=﹣2代入y1=kx+b得，
y1=﹣2k+b，
把x=﹣2代入y2=x+a得，
y2=﹣2+a，
由y1=y2，得：﹣2k+b=﹣2+a，
解得=2，
解kx+b＞x+a得，
（k﹣1）x＞a﹣b，
∵k＜0，
∴k﹣1＜0，
解集为：x＜，
∴x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
11．如图，在三角形纸片△ABC中，AC=BC，∠B=70°，将△ABC沿线段DE所在直线对折，使点A、点C重合，连接AE，则∠AED的度数是50度．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线性质得到CE=AE，由等腰三角形的性质得到∠C=∠CAE，根据三角形的内角和即可得出结论．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴∠C=∠CAE，
∵AC=BC，∠B=70°，
∴∠C=40°，
∴∠AED=50°，
故答案为：50．
12．为筹备趣味运动会，李明去酒店买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，那么李明最多可买7个球拍．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设购买球拍x个，根据乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，购买的金额不超过200元，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设购买球拍x个，依题意得：
1.5×20+22x≤200，
解之得：x≤7，
由于x取整数，故x的最大值为7，
故答案是：7．
13．如图，在长方形ABCD中，AB=，AD=1，该长方形绕点A顺时针旋转α度得长方形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则线段BC′的长是2﹣．
【考点】旋转的性质．
【分析】直接利用旋转的性质得出AC=AC′，再利用勾股定理得出AC的长即可得出答案．【解答】解：由题意可得：AC=AC′，
∵AB=，AD=1，
∴AC==2，
∴BC′=AC′﹣AB=2﹣．
故答案为：2﹣．
14．对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是4≤a＜5．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】利用题中的新定义化简所求不等式，求出a的范围即可．
【解答】解：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，
∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，
∴a的范围为4≤a＜5，
故答案为：4≤a＜5
三、作图题（本题满分4分，请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
15．已知：锐角∠α和线段a如图所示．
求作：等腰△ABC，使它的底角为α，腰为a．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】首先画∠NBM=α，再在BN上截取AB=a，再以A为圆心a长为半径画弧，交BM 于C，再连接AC即可．
【解答】解：如图所示：
．
四、解答题（本题满分74分）
16．解下列不等式
（1）≤﹣1
（2）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．
【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求解；
（2）首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，
去括号，得8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项，得8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项，得﹣x≤﹣2，
系数化成1得x≥2；
（2），
解①得x＞﹣3，
解②得x≤2．
则不等式组的解集是﹣3＜x≤2．
17．如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，从而得出∠BAE=∠EAC，根据SAS证明
△ABE≌△ACE，再得出BE=CE．
【解答】证明：∵AB=AC，D是BC的中点
∴∠BAE=∠EAC
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE．
18．列方程（组）或不等式（组）解应用题：
每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设这份快餐含有x克的蛋白质，根据所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设这份快餐含有x克的蛋白质，
根据题意可得：x+4x≤400×70%，
解不等式，得x≤56．
答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C （﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P1、P2的坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标，进而结合平移的性质得出答案；
（2）利用A，B，C点坐标变化得出P点坐标的变化，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2，即为所求；
（2）∵A（﹣3，4），A1（﹣4，﹣3），B（﹣4，2），B1（﹣2，﹣4），
∴P（a，b），则P1（﹣b，a），
∵A1（﹣4，﹣3），B1（﹣2，﹣4），A2（2，﹣1），B2（4，﹣2），
∴P2（﹣b+6，a+2）．
20．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1（干元）、乙厂的总费用y2（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示．
（l）甲厂的制版费为1千元，印刷费为平均每个0.5元，甲厂的费用y l与证书数量x 之间的函数关系式为y l=0.5x+1；
（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个 1.5元；当印制证书
数量超过2千个时，求乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=；
（3）若甲厂的总费用高于乙厂，但相差不超过500元，该单位需印制证书数量的范围是6＜x≤2006．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）结合图象便可看出y是关于x的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1千元，一次函数的斜率为0.5，即为证书的单价；
（2）用2到6千个时的费用除以证件个数计算即可得解，设函数解析式后用待定系数法解答即可；
（3）分别求出甲乙两厂的费用y关于证书个数x的函数，根据题意列不等式即可得到结论．【解答】解：（1）制版费1千元，y l=0.5x+1，证书单价0.5元；
故答案为：1；0.5；y l=0.5x+1；
（2）当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费为平均每个=3÷2=1.5元，
故答案为：1.5；
设y2=kx+b，
由图可知，当x=6时，y2=y1=0.5×6+1=4，
所以函数图象经过点（2，3）和（6，4），
所以把（2，3）和（6，4）代入y2=kx+b，
得，
解得，所以y2与x之间的函数关系式为y2=；
故答案为：y2=；
（3）0＜0.5x+1﹣（）≤500，
解得6＜x≤2006．
故答案为：6＜x≤2006．
21．已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C=∠C1．求证：△ABC≌△A1B1C1．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由AC=A1C1，BC=B1C1，∠C=∠C1可知，两三角形满足SAS的条件，从而得出结论．
【解答】证明：在△ABC和△A1B1C1中，
，
∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）．
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B 型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，然后根据利润4000元和3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①据题意得，y=100x+150，
即y=﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33，
∵y=﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
23．课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．
【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．
（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．
【解答】解：（1）如图2作图，
（2）如图3 ①、②作△ABC．
①当AD=AE时，
∵2x+x=30+30，
∴x=20．
②当AD=DE时，
∵30+30+2x+x=180，
∴x=40．
所以∠C的度数是20°或40°．
24．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足∠BAD=2∠EAF关系时，仍有EF=BE+FD．【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=（40﹣40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为109
米．
【考点】全等三角形的应用；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80×=40，HF=HD+DF=40+40（﹣1）=40，
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°
从而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．
故答案是：109．
第21 页共22 页
第21页（共22页）
第22 页共22 页第22页（共22页）。