(湖北专用)2020届高考数学一轮复习 第八章立体几何8.7空间向量的应用练习 理 新人教A版

课时作业42 空间向量的应用
一、选择题
1．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )．
A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2) D ．(－1,1,4)
2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →
＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )．
A ．337，－157，4
B ．407，－15
7，4
C ．407，－2,4
D ．4，40
7
，－15
3．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则异面直线CE 与BD 所成的角为( )．
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4．已知a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)，c ＝m a ＋n b ＋(4，－4，1)．若c 与a 及b 都垂直，则m ，n 的值分别为( )．
A ．－1,2
B ．1，－2
C ．1,2
D ．－1，－2 5．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M
＝AN ＝2a
3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )．
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定 6．在空间直角坐标系O ­xyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )．
A ．4
B ．2
C ．3
D ．1
7．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝1
2
AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )．
A.
66 B.33 C.63 D.23 二、填空题
8．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．
9．如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成角的大小是__________．
10．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD ＝AD ＝1，则点C 到平面PAB 的距离d ＝__________.
三、解答题
11．如图，已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．求证：
(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .
12．(2012湖北高考)如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．
图1 图2
(1)当BD 的长为多少时，三棱锥ABCD 的体积最大；
(2)当三棱锥ABCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．
参考答案
一、选择题
1．D 解析：AB →＝(2，1，1)，AC →
＝(3，－1，－1)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ⎩⎪⎨
⎪⎧AB →·n ＝2x ＋y ＋z ＝0，AC →·n ＝3x －y －z ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝－z . 取y ＝1，则n ＝(0，1，－1)．
D 选项中(－1，1，4)·(0，1，－1)＝1－4＝－3≠0.故选D.
2．B 解析：AB →⊥BC →⇒AB →·BC →
＝3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. 又BP ⊥平面ABC ， ∴BP →·AB →
＝x －1＋5y ＋6＝0，① BP →·BC →
＝3x －3＋y －3z ＝0，②
由①②得x ＝407，y ＝－15
7
.
3．D 解析：以D 点为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，1，B (1，1，0)，D (0，0，0)，
∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－12，1，
BD →
＝(－1，－1，0)．
∴CE →·BD →
＝－12＋12
＋0＝0.
∴CE →⊥BD →
，即CE ⊥BD .
4．A 解析：c ＝(m ，m ，m )＋(0，2n ，－n )＋(4，－4，1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)．
∵c 与a 及b 都垂直， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ·a ＝0，c ·b ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4＋m ＋2n －4＋m －n ＋1＝0，2m ＋4n －8－m ＋n －1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＋1＝0，m ＋5n －9＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2. 5．B 解析：分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．
∵A 1M ＝AN ＝
2
3
a ， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23a ，a 3，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，23a ，a . ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a
3
，0，23a .
又C 1(0，0，0)，D 1(0，a ，0)， ∴C 1D 1→
＝(0，a ，0)． ∴MN →·C 1D 1→＝0.∴MN →⊥C 1D 1→. ∵C 1D 1→
是平面BB 1C 1C 的法向量， 且MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C .
6．B 解析：OP →＝(－1，3，2)，|OP →
|＝1＋9＋4＝14，
|cos 〈OP →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪OP →·n |OP →|·|n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－6＋214×3＝147.d ＝147×14＝2. 7．C 解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
则A (0，0，0)，B (0，2a ，0)，C (0，2a ，2a )，G (a ，a ，0)，F (a ，0，0)，AG →
＝(a ，a ，0)，AC →＝(0，2a ，2a )，BG →＝(a ，－a ，0)，BC →
＝(0，0，2a )，
设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧AG →·n 1＝0，AC →·n 1＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，2ay 1＋2a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－1⇒n 1＝(1，－1，1)．
sin θ＝BG →·n 1|BG →||n 1|
＝2a 2a ×3＝6
3.
二、填空题
8．45°或135° 解析：cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12＝2
2
，
∴〈m ，n 〉＝45°.∴二面角为45°或135°.
9．60° 解析：分别以BA ，BC ，BB 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设
AB ＝1，
则B (0，0，0)，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，
F ⎝
⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0，1，1)， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，0，12，BC 1→＝(0，1，1)．
cos 〈EF →，BC 1→
〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝1
222
×2
＝12，
∴直线EF 和BC 1所成角的大小为60°.
10.2
2
解析：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图
所示的空间直角坐标系．
则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)， ∴AP →＝(－1，0，1)，AB →＝(0，1，0)，AC →＝(－1，1，0)，CP →
＝(0，－1，1)． 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AB →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，
y ＝0，
令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1，0，1)．
∴d ＝|AC →
·n ||n |＝|－1|2
＝22.
三、解答题
11．证明：如图建立空间直角坐标系A ­xyz ，令AB ＝AA 1＝4，
则A (0，0，0)，E (0，4，2)，F (2，2，0)，B (4，0，0)，B 1(4，0，4)． (1)取AB 中点为N ，
则N (2，0，0)，C (0，4，0)，D (2，0，2)， ∴DE →＝(－2，4，0)，NC →
＝(－2，4，0)． ∴DE →＝NC →
.∴DE ∥NC .
又NC 在平面ABC 内，故DE ∥平面ABC .
(2)B 1F →＝(－2，2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →
＝(2，2，0)， B 1F →·EF →
＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， 则B 1F →⊥EF →
，∴B 1F ⊥EF . ∵B 1F →·AF →
＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥AF →
，即B 1F ⊥AF .
又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .
12．解：(1)方法一：在题图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x . 由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如题图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D . 所以AD ⊥平面BCD . 又∠BDC ＝90°，
所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝1
2x (3－x )．
于是V ABCD ＝12AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝1
12
·2x (3－x )(3－x )
≤112⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2x ＋（3－x ）＋（3－x ）33＝23， 当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥ABCD 的体积最大．
方法二：同方法一，得V ABCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16
(x 3－6x 2
＋9x )．
令f (x )＝16(x 3－6x 2
＋9x )，由f ′(x )＝12
(x －1)(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.
当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，3)时，f ′(x )＜0.
所以当x ＝1时，f (x )取得最大值．
故当BD ＝1时，三棱锥ABCD 的体积最大．
(2)方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系Dxyz . 由(1)知，当三棱锥ABCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.
于是可得D (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，0，2)，M (0，1，1)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，0，且BM →
＝(－1，1，1)．
设N (0，λ，0)，则EN →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，λ－1，0，因为EN ⊥BM 等价于EN →·BM →＝0，即
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，λ－1，0·(－1，1，1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0. 所以当DN ＝1
2
(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .
设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩
⎪⎨⎪⎧n ⊥BN →，n ⊥BM →，及BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1，12，0，
得⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－x .可取n ＝(1，2，－1)． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由EN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，－12，0，n ＝(1，2，－1)，可
得sin θ＝cos(90°－θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EN →|n |·|EN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－16×
2
2
＝32，即θ＝60°.
故
EN 与平面
BMN 所成角的大小为60°.
图a
图b
图c 图d
方法二：由(1)知，当三棱锥ABCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2， 如图b ，取CD 的中点F ， 连接MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD . 由(1)知AD ⊥平面BCD ， 所以MF ⊥平面BCD .
如图c ，延长FE 至P 点使得FP ＝DB ，连BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP ⊥BF .取DF 的中点N ，连接EN ， 又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ， 所以EN ⊥BF .因为MF ⊥平面BCD ， 又EN ⊂平面BCD ，所以MF ⊥EN . 又MF ∩BF ＝F ，所以EN ⊥平面BMF . 又BM ⊂平面BMF ，所以EN ⊥BM .
因为EN ⊥BM 当且仅当EN ⊥BF ，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的．
即当DN ＝1
2(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)，EN ⊥BM .
连接MN ，ME ，由计算得NB ＝NM ＝EB ＝EM ＝
52
， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，
则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中，过点E 作EH ⊥GN 于H ， 则EH ⊥平面BMN ，故∠ENH 是EN 与平面BMN 所成的角．
在△EGN 中，易得EG ＝GN ＝NE ＝2
2
，所以△EGN 是正三角形，
故∠ENH ＝60°，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.。