专题28 数列的概念与简单表示法押题专练-2018年高考数

1．数列1，－58，715，－9
24，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝(－1)n ＋1
2n －1
n 2
＋n
(n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －1
2n ＋1
n 2
＋3n
(n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n
＋1
2n －1
n 2
＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n
－1
2n ＋1
n 2
＋2n
(n ∈N *) 解析：观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－9
4×6，故选D 。

答案：D
2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项和第6项
解析：令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，整理得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6。

答案：D
3．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.
⎝⎛⎭
⎫n ＋1n n －1
C ．n 2
D ．n
解析：因为a n ＝n (a n ＋1－a n )，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2
a 1×a 1
＝
n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×2
1×1＝n 。

答案：D
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝( ) A ．36 B ．35 C ．34 D ．33
解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，故a 2＋a 18＝34。

答案：C
5．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5) D ．(－∞，3]
解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2
－2
≤1，即λ≤4。

答案：B
6．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n
n 的最小值为( ) A.172 B.212 C ．10 D ．21
即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增，又5＜33＜6，且f (5)＝5＋33
5－1＝535，f (6)＝6＋112－1＝212，所以f (5)＞f (6)，所以当n ＝6时，a n n 有最小值212。

答案：B
7．数列{a n }满足a n ＋1＝1
1－a n ，a 8＝2，则a 1＝__________。

解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝
11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n
，可求得a 6
＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝1
1－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，
且周期为3，所以a 1＝a 7＝1
2。

答案：12
8．已知数列{a n }满足a 1＝1
2，a n －1－a n ＝a n －1a n
n n －1
(n ≥2)，则该数列的通项公式a n ＝
__________。

解析：∵a n －1－a n ＝a n －1a n
n n －1(n ≥2)，
∴
a n －1－a n a n －1a n ＝1
n n －1。

∴1a n
－1a n －1＝1n －1－1n 。

∴1a 2－1a 1＝11－12，1a 3－1a 2＝12－13，…，1a n －1a n －1＝1n －1－1n 。

∴1a n －1a 1＝1－1n 。

∴1a n ＝3－1
n 。

∴a n ＝n 3n －1。

答案：n
3n －1
9．如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为__________。

1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 2
2 18 9
…
解析：由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，…，即a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，…，
∴a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2n －3，∴累加得：a n －a 2＝3＋5＋7＋…＋(2n －3)，∴a n ＝n 2－2n ＋3。

答案：n 2－2n ＋3
10．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
1a n ＝n 3，求数列{a n }的通项公式。

11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4。

(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值。

(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，求实数k 的取值范围。

解析：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4。

因为n ∈N *，所以n ＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a 2， a 3。

因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭
⎫n －522－9
4，
由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时， a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2。

(2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，
可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *， 所以－k 2＜3
2，即得k ＞－3。

12．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)。

(1)求数列{a n }的通项公式。

(2)证明：数列{a n }是单调递增数列。

解析：(1)由f (2a n )＝2n (n ∈N *)，得log 22a n －1log 22a n ＝2n ，即a n －1
a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0，故a n ＝n ±n 2＋1。

由0<x <1，知0<2a n <1，即a n <0，故a n ＝n －n 2＋1。