高中数学人教A版选修4-4阶段质量检测(一) B卷 Word版含解析

阶段质量检测（一） B 卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)
D ．(－2π，0)
解析：选A x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)． 2．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫2，π6、B ⎝⎛⎭⎫6，－π
6，则OA 、OB 的夹角为( ) A.π
6 B ．0 C.π3
D.5π6
解析：选C
如图所示，夹角为π
3
.
3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝1
3cos 2x 按伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 后为( )
A ．y ＝cos x
B ．y ＝3cos x
2
C ．y ＝2cos x
3
D ．y ＝1
2
cos 3x
解析：选A 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y ，
得⎩⎨⎧
x ＝x ′2
，y ＝y ′
3.
代入y ＝1
3cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′.
∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x .
4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭
⎫1，π2 B.⎝
⎛⎭⎫1，－π
2 C ．(1,0) D ．(1，π) 解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝
⎛⎭⎫1，－π
2.
5．曲线θ＝2π
3
与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) A ．1
B. 3 C ．3 3 D ．6
解析：选C 极坐标方程θ＝
2π
3
，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π2，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×3
2
＝3 3.
6．点M ⎝⎛⎭⎫1，7π6关于直线θ＝π
4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( ) A.⎝
⎛⎭⎫1，4π3 B.⎝⎛⎭⎫1，2π3 C.⎝⎛⎭
⎫1，π
3 D.⎝
⎛⎭⎫1，－7π
6 解析：选A 法一：点M ⎝⎛⎭⎫1，7π6关于直线θ＝π
4
(ρ∈R)的对称点为⎝⎛⎭⎫1，7π6＋π6，即⎝
⎛⎭⎫1，4π3.
法二：点M ⎝⎛⎭⎫1，7π6的直角坐标为⎝⎛⎭⎫cos 7π6，sin 7π6＝－32，－1
2， 直线θ＝π
4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，
点⎝⎛⎭
⎫
－
32，－12关于直线y ＝x 的对称点为－12，－32， 再化为极坐标即⎝
⎛⎭⎫1，4π
3. 7．极坐标方程ρsin 2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( ) A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
解析：选C 由ρsin 2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－2ρcos θ＝0， ∴化为直角坐标方程是y 2－2x ＝0，即x ＝1
2y 2，表示抛物线．
8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝1
2
B ．ρcos θ＝2
C ．ρ＝4sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π3 D ．ρ＝4sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π
3 解析：选B 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ， 即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.
由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22
B. 2 C ．2
D ．2 2
解析：选B 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2， 在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π
4，
∴|CD |＝ 2.
10．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4(r >0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
解析：选D 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，①
圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2r sin θcos π4＋cos θsin π
4＝－2r (sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ) ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②
①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________． 解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0， 取θ－α＝π
2.
答案：θ＝π
2＋α
13换题内容
13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为________． 12．在极坐标系中，若过点A (4,0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．
解析：
将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x －2)2＋y 2＝1，如图易得－33≤k ≤33
. 答案：⎣⎡
⎦
⎤
－
33，
33 13．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫
2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．
解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )， 柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝
2π3cos 2π3＝－π3
，y ＝2π3sin 2π3＝3π
3，
z ＝2π3，
由⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝x 2＋y 2＋z 2
，cos φ＝z
r ，得⎩⎨⎧
r ＝22π
3，cos φ＝22
.即⎩⎨⎧
r ＝22π3，
φ＝π
4.
∴点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－π3，
3π3，2π3，球坐标为⎝⎛⎭⎫22π3，π4，2π3.
答案：⎝⎛⎭⎫－π3，
3π3
，2π3 ⎝⎛⎭⎫22π3，π4，2π3
14．在极坐标系中，定点A (1，π
2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段
AB 最短时，点B 的极坐标是________．
解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点A ⎝⎛⎭⎫1，π2化为直角坐标得A (0,1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，
则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B ⎝⎛⎭
⎫22，3π4.
答案：
⎝⎛⎭
⎫22，3π4 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤)
15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A 为⎝⎛⎭⎫1，π
4，半径为1的圆的极坐标方程．
解：在极坐标系中，设点P (ρ，θ)是圆上任意一点，则有 r 2＝OP 2＋OA 2－2OP ·OA ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4， 即1＝ρ2＋1－2ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4. 即ρ2－2ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＝0为所求圆的极坐标方程． 16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x ， 即(x ＋1)2＋y 2＝1表示圆， 圆心为(－1,0)，半径为1.
将ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0， ∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝3
2
＞1， ∴直线与圆相离．
17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫m ，π3(m ＞0)到直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＝2的距离． 解：将直线极坐标方程化为ρcos θcos π3＋sin θsin π
3＝2，化为直角坐标方程为x ＋3y
－4＝0，
点⎝⎛⎭⎫m ，π3的直角坐标为⎝⎛⎭⎫
m 2
，3m 2， ∴点⎝⎛⎭⎫m 2，3m 2到直线x ＋3y －4＝0的距离为m 2＋3·3m
2－41＋3＝2|m －2|2＝|m －2|.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π
3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程．
解：(1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)， 由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3， 所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＋3＝0. (2)设Q (x ，y )，则P (2x,2y )，
由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上， 所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，
则Q 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －3
22＝14
. 19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π
4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π
4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ
＝2cos θ.
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π
3
＝1.
又⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋3
2y ＝1.
即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝
23
3
. ∴M (2,0)，N ⎝
⎛⎭⎫0，
233.
∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为
⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)M 、N 连线的中点P 的直角坐标为⎝
⎛⎭
⎫1，33， 直线OP 的极角为θ＝π
6
.
∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6(ρ∈R)．。