2020年济南市市中区育英中学中考数学模拟试卷(三)(含答案解析)

2020年济南市市中区育英中学中考数学模拟试卷(三)
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.−2019的绝对值是()
A. 2019
B. −2019
C. 0
D. 1
2.截至到2019年2月19日，浙江省的注册志愿者人数达到14480000人，数据14480000用科学
记数法表示为()
A. 1.4487
B. 1.448×104
C. 1.448×106
D. 1.448×107
3.如图所示的几何图的俯视图是()
A.
B.
C.
D.
4.将一副直角三角板按如图方式放置，使直角顶点C重合，当DE//BC时，∠α的度数是()
A. 105°
B. 115°
C. 95°
D. 110°
5.下列运算正确的是()
A. (x5)2=x7
B. x3+x4=x7
C. (x+2)2=x2+4
D. x8÷x2=x6
6.跳绳是中考体育考试的选考项目，如表是某校904班模拟考试10名女生的测试成绩．(单位：
个/分钟)
成绩(个/分钟)148160166170176182
人数111322
现有以下说法：①方差是98；②平均数是170；③中位数是170；④众数是170，其中正确的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是()
A. 0
B. −5
C. 2
D. −2
9.某公司移动电话信号收发塔AB建在学校的科技楼BC上，小飞同学利用
测倾器在与点C距离为27米远的点D处测得塔顶A的仰角为60°，塔底
B的仰角为30°，则信号收发塔AB的高度约为()米．(精确到0.1米，
√3≈1.73,√5≈2.24)
A. 31.2
B. 31.1
C. 30.2
D. 30.3
10.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=60°，弧BD是以点A为圆心、
AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心、BC长为半径的弧，则阴
影部分的面积为()
A. 1cm2
B. √3cm 2
C. 2cm 2
D. πcm 2
11. 如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，
连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE ，下列结论中：
①CE =BD ；
②∠ADC =90°；
③S 四边形BCDE =1
2BD ⋅CE ；
④BC 2+DE 2=BE 2+CD 2
其中正确的是( ) A. ①②③④
B. ①②③
C. ①④
D. ①③④
12. 已知抛物线的对称轴为直线x =2，若关于x 的一元二次方程
为实数)在0<x <4的范围内有解，则t 的取值范围是( )
A. t >0
B. 0<t <2
C. 2<t ≤4
D. 0<t ≤4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 分解因式：x 4−2x 2y 2+y 4=______．
14. 一个不透明的袋中只装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出
两个球，颜色是一红一白的概率是______．
15. 如果一个正多边形的内角是140°，则它是______ 边形．
16. 当x =______ 时，代数式2x −12与代数式1
2x −3的值相等．
17. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(单位：米)与挖掘时间x(单
位：天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x =4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的是____(直接填序号)．
18.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上
一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB 边于点G，连接GE.若AD=6√2，则GE的长是___________．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
)−2−|√2−2|−2cos45°+(3−π)0
19.计算：(−1
2
四、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
20.解不等式组{4x+2≥2(x+3)
2x+1>3x−5，并求其整数解．
21.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且
BE=DF，连接AF，CE求证：AF=CE．
22.为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率提高了20%，
结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？
23.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=6，BC=8，EF切⊙O于点E，交
BA的延长线于F，EF//BC，连接CE、AE．
(1)求证：∠AEF=∠ACE；
(2)求线段AE长．
24.文化如水，润物无声。

闽学在三明产生发展，深深根植于三明土地，在近两千年的历史传承中，
三明区域蕴臧着深厚的文化积淀，潜移默化地传承着闽学传统，其思想精华影响着人们的价值观和人生观。

近日，市区某中学团委开展“弘扬闽学文化”为主题的书法、诵读、演讲、征文四个项目的比赛(每人只能参加一个项目)，初三(1)班全体同学都参加了比赛，为了解比赛的具体情况，小明收集整理数据后，绘制了以下不完整的折线统计图和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
(1)初三(1)班的总人数为________，扇形统计图中“征文”部分的圆心角度数为________度；
(2)请把折线统计图补充完整；
(3)小文和小闽两个同学参加了比赛，请用列表或画树状图的方法，求出他们参加的比赛项目相
同的概率．
25.如图，点A在反比例函数y=1
x
(x>0)的图象上，OB⊥OA，且OB=2OA.研究发现，当点A在
反比例函数y=1
x (x>0)的图象上滑动时，若点B也落在某反比例函数y=k
x
的图象上，请你求
出k的值．
26.(1)问题发现：如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线
上，连接BE，易证△BCE≌△ACD.则①∠AEB=________°；②线段AD、BE之间的数量关系
是．
(2)拓展研究：如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E
在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
(3)探究发现：如图，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，
DP=8，求BD的长．
27.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)、B(3,0)两点，且
交y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段BC上的点(不与B、C重合)，过M作MN//y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：−2019的绝对值是：2019．
故选：A．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2.答案：D
解析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
解：数据14480000用科学记数法表示为1.448×107．
故选：D．
3.答案：B
解析：[分析]
在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线，用虚线画出，在解答本题的过程中，需要明确所选的图为该几何体的俯视图，而不是正视图和左视图，再根据三视图的画法便可确定本题的答案．
[详解]
解：根据该几何体的组成，可确定其俯视图如下图所示．
故选：B．
[点睛]
问题主要考查几何体的三视图，掌握三视图的画法是解答本题的关键；
4.答案：A
解析：解：∵DE//BC，
∴∠D=∠DCB=45°，
∴∠α=∠DCB+∠B=45°+60°=105°．
故选：A．
根据DE//BC得出∠D=∠DCB=45°，再由三角形外角的性质可得出∠α=∠DCB+∠B．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
5.答案：D
解析：
本题主要考查幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式和同底数幂的除法，
根据这些运算法则计算即可．
解：A、(x5)2=x10，此选项错误；
B、x3与x4不能合并，此选项错误；
C、(x+2)2=x2+4x+4，此选项错误；
D、x8÷x2=x6，此选项正确；
故选：D．
6.答案：C
解析：
此题考查了平均数、方差、中位数和众数，掌握平均数、方差、中位数和众数的定义是解题的关键，根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
解：这组数据的平均数是：(148+160+166+170×3+176×2+182×2)÷10=170.
[(148−170)2+(160−170)2+(166−170)2+3×(170−170)2+2×(176−
则方差=1
10
170)2+2×(182−170)2]=96；
∵共有10个数，
∴中位数是第5个和6个数的平均数，170；
∵170出现了三次，出现的次数最多，
∴众数是170；
∴说法错误的是①；说法正确的是②、③、④.
故选C.
7.答案：B
解析：
【试题解析】
本题考查了轴对称与中心对称图形．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形进行逐一判断即可．
解：前两个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图是中心对称图形，不是轴对称图形．
因此既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．
故选B．
8.答案：B
解析：
由题意可得根的判别式Δ=b2−4ac=m2−4>0，即m2>4，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
解：根据题意得Δ=m2−4>0，
即m2>4，
只有B选项中，当m=−5时，m2=25>4满足条件．
故选B．
9.答案：B
解析：解：在Rt△ACD中，AC=CD⋅tan60°=27×√3=27√3．
=9√3．
在Rt△BCD中，BC=CD⋅tan30°=27√3
3
∴AB=AC−BC=27√3−9√3=18√3≈31.1(米)．
答：该塔的高度约为31.1米，
故选B．
在Rt△ACD中，根据CD的值可以求得AC的值，在Rt△BCD中，根据CD的值可以求得BC的值，根据AB=AC−BC即可求得AB的值，即可解题．
此题是解直角三角形的应用--仰角俯角问题，主要考查了特殊角的三角函数，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算AC、BC的长是解题的关键．
10.答案：B
解析：解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
又∵菱形的对边AD//BC，
∴∠ABC=180°−60°=120°，
∴∠CBD=120°−60°=60°，
∴S
阴影=S
扇形CBD
−(S
扇形BAD
−S△ABD)，
=S△ABD，
=1
2×2×(√3
2
×2)，
=√3cm2．
故选：B．
连接BD，判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD=60°，再求出∠CBD=60°，然后求出阴影部分的面积=S△ABD，计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．11.答案：D
解析：解：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC
∠BAD=∠CAE AD=AE
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴CE=BD，故①正确；
∠ABD=∠ACE，
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°−(∠BCG+∠CBG)=180°−90°=90°，∴BD⊥CE，
∴S
四边形BCDE =1
2
BD⋅CE，故③正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，
在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，
在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，
∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2，故④正确；
只有AE//CD时，∠AEC=∠DCE，
才有∠ADC=∠DAE=90°，
无法说明AE//CD，故②错误；
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：D．
根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；
根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出③正确；
根据勾股定理，表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到④正确；
再求出AE//CD时，才有∠ADC=∠DAE=90°，判断出②错误；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
12.答案：D
解析：
本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键．
如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
解：如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，
由抛物线y=−x2+mx的对称轴为直线x=2，
易得m=4，
所以抛物线为y=−x2+4x，
顶点为(2,4)，
与x轴交点为(0,0)(4,0)，
由图象可知关于x的一元二次方程−x2+4x−t=0(t为实数)在0<x<4的范围内有解，直线y=t在直线y=0和直线y=4之间包括直线y=4，
∴0<t⩽4．
故答案为D．
13.答案：(x+y)2(x−y)2
解析：解：x4−2x2y2+y4
=(x2−y2)2
=(x+y)2(x−y)2．
故答案为：(x+y)2(x−y)2．
直接利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14.答案：2
3
解析：解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一白的有4种情况，
∴颜色是一红一白的概率为4
6=2
3
，
故答案为：2
3
．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.答案：九
解析：解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得
(n−2)×180°=n×140°．
解得n=9，
故答案为：九．
多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成140°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
16.答案：−5
3
解析：解：根据题意得：2x−1
2=1
2
x−3，
去分母得：4x−1=x−6，移项合并得：3x=−5，
解得：x=−5
3
，
故答案为：−5
3
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
17.答案：①②③④
解析：
本题考查了一次函数的应用，施工距离、速度、时间三者之间的关系的运用，但难度不大，读懂图象信息是解题的关键.从图象可以看出甲队完成工程的时间不到6天，故工作效率为100米，乙队挖2天后还剩300米，4天完成了200米，故每天是50米，当x=4时，甲队完成400米，乙队完成400米，甲队完成所用时间是6天，乙队是8天，通过以上的计算就可以得出结论．
解：由图象，得
①600÷6=100米/天，故①正确；
②(500−300)÷4=50米/天，故②正确；
③甲队4天完成的工作量是：100×4=400米，
乙队4天完成的工作量是：300+2×50=400米，
∵400=400，
∴当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同，故③正确；
④由图象得甲队完成600米的时间是6天，
乙队完成600米的时间是：2+300÷50=8天，
∵8−6=2天，
∴甲队比乙队提前2天完成任务，故④正确；
故答案为①②③④．
18.答案：√10
解析：解：作EH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6√2，
∴OA =OB =6，
∵OB =3OE ，
∴OE =2，EB =4，
∵∠EBH =∠BEH =45°，
∴EH =BH =2√2，
∴AH =AB −BH =4√2，
∵∠ADG +∠DAF =90°，∠DAF +∠EAH =90°，
∴∠ADG =∠EAH ，∵∠DAG =∠AHE ，
∴△DAG∽△AHE ，
∴AD AH
=AG EH ， ∴√2
4√2=2√2， ∴AG =3√2，
∴GH =AH −AG =√2，
在Rt △EGH 中，EG =√EH 2+GH 2=√10．
故答案为√10．
作EH ⊥AB 于H.想办法求出EH 、GH 即可解决问题．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是需要添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
19.答案：解：原式=4−2+√2−√2+1=3．
解析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.答案：解：{4x +2≥2(x +3) ①2x +1>3x −5 ②
∵解不等式①得：x ≥2，
解不等式②得：x <6，
∴不等式组的解集为2≤x <6，
∴不等式组的整数解为2，3，4，5．
解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出不等式组的解集．
21.答案：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，AD =BC ，
∴∠ADB =∠DBC ，
∵∠ADF +∠ADB =180°，∠CBE +∠DBC =180°，
∴∠ADF =∠CBE ，
∵DF =BE ，
∴△ADF≌△CBE ，
∴AF =CE ．
解析：只要证明△ADF≌△CBE ，即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.答案：解：设原计划每天种x 棵树，则实际每天种(1+20%)x 棵，
依题意得：4000x −4000+80(1+20%)x =3 解得x =200，
经检验得出：x =200是原方程的解．
所以4000200=20．
答：原计划植树20天．
解析：此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题关键．
设原计划每天种x 棵树，则实际每天种(1+20%)x 棵，根据题意可得等量关系：原计划完成任务的天数−实际完成任务的天数=3，列方程即可．
23.答案：证明：(1)连接OC 、EB 、EO ，并延长EO 交BC 于H ，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF为切线，
∴OE⊥EF，
∴∠OEF=90°，
∵∠AEF+∠AEO=90°，∠AEO+∠1=90°，∴∠1=∠AEF，
而OE=OB，
∴∠1=∠2，
∴∠AEF=∠2，
而∠ACE=∠2，
∴∠AEF=∠ACE；
(2)解：在Rt△ABC中，AB=√62+82=10，∵∠CEA=∠ABC，
而∠1=∠2=∠AEF，
∴∠CEF=∠CBE，
∵EF//BC，
∴∠CEF=∠BCE，
∴∠BCE=∠CBE，
∴EB=EC，
而OB=OC，
∴OH垂直平分BC，
∴BH=1
2BC=4，OH=1
2
AC=3，
∵EO=1
2
AB=5，
∴EH=EO+OH=5+3=8，
在Rt△BEH中，BE=√42+82=4√5，
在Rt△ABE中，AE=√102−(4√5)2=2√5．
解析：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理和勾股定理．(1)连接OC、EB、EO，并延长EO交BC于H，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据切线的性质得∠OEF=90°，接着证明∠1=∠AEF，从而得到∠AEF=∠2，然后再利用圆周角定理和等量代换得到结论；
(2)利用勾股定理得到AB=10，再证明∠BCE=∠CBE得到EB=EC，从而可得到OH垂直平分BC，
所以BH=4，OH=1
2
AC=3，然后利用勾股定理计算出BE、AE即可．
24.答案：(1)48；45
(2)解：∵国学诵读占50%，
∴国学诵读人数为：48×50%=24(人)，
∴书法人数为：48−24−12−6=6(人)；
补全折线统计图；
(3)解：分别用A，B，C，D表示书法、国学诵读、演讲、征文，
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有4种情况，
∴他们参加的比赛项目相同的概率为：4
16=1
4
.
解析：
此题考查了列表法或树状图法求概率以及折线与扇形统计图的知识．注意掌握折线统计图与扇形统计图的对应关系．
(1)由演讲人数12人，占25%，即可求得初三(1)全班人数；由“征文”的人数即可求出“征文”部分的圆心角度数；
(2)首先求得书法与国学诵读人数，继而补全折线统计图；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：(1)∵演讲人数12人，占25%，
∴初三(1)全班人数为：12÷25%=48(人)；
∵“征文”中的人数为6人，
∴“征文”部分的圆心角度数=6
48
×360°=45°，
故答案为48，45；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.答案：解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是(m,n)，则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，
∴BD
OC =OC
AC
=OB
OA
，
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
∴B点的坐标是(−2n,2m)，
∵点A在反比例函数y=1
x
的图象上，
∴mn=1，
∵点B在反比例函数y=k
x
的图象上，
∴k=−2n⋅2m=−4mn=−4．
解析：本题考查反比例函数的图象、性质和相似三角形的判定与性质，属于综合题，比较有难度．首先过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，设点A的坐标是(m,n)，根据角的关系得到△BDO 与△OCA相似，从而得出B的坐标，因为A和B都在反比例函数图象上，由此可解．
26.答案：解：(1)60；AD=BE；
(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
{AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE 
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD=BE=AE−DE=15−7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°．
∴AB=√AE2+BE2=√152+82=17；
(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：
则△BEC≌△APC，
∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，
∴∠BEP=∠BEC−∠PEC=90°，
∵∠APD=30°，
∴∠DPC=150°−30°=120°，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△BDE中，BD=√DE2+BE2=√122+52=13，
即BD的长为13．
解析：
【试题解析】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识.本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC.由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
(2)同(1)证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE−DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC−∠CED=90°.由勾股定理求出AB即可；
(3)把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE= CP=4，求出∠BEP=∠BEC−∠PEC=90°，再证明D、P、E在同一条直线上，得出DE=DP+PE= 12，再由勾股定理求出BD即可．
解：(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
{AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE
,
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
又∠DEC=60°，
∴∠AEB=120°−60°=60°故答案为60；
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案为AD =BE ．
(2)见答案；
(3)见答案．
27.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1,0)、B(3,0)两点，
∴{a −b +3=09a +3b +3=0
， 解得{a =−1b =2
， ∴抛物线的解析式：y =−x 2+2x +3；
(2)由抛物线y =ax 2+bx +3可知，C(0,3)，
设直线BC 的解析式为：y =kx +3，
代入B(3,0)得，3k +3=0，
解得k =−1
故直线BC 的解析式：y =−x +3，
已知点M 的横坐标为m ，MN//y ，则M(m,−m +3)、N(m,−m 2+2m +3)，
∴故MN =−m 2+2m +3−(−m +3)=−m 2+3m(0<m <3)；
(3)如图；∵S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN(OD +DB)=12MN ⋅OB ，
∴S △BNC =12(−m 2+3m)⋅3=−32(m −32
)2+278(0<m <3)； ∴当m =32时，△BNC 的面积最大，最大值为27
8．
解析：本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求二次函数解析式以及待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，利用三角形的面积得出二次函数是解题关键．
(1)直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(2)先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，已知点M 的横坐标，代入直线BC 、抛物线的解析式中，可得到M 、N 点的坐标，N 、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长；
(3)设MN 交x 轴于D ，那么△BNC 的面积可表示为：S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN(OD +DB)=1
2MN ⋅OB ，MN 的表达式在(2)中已求得，OB =3，由此列出关于S △BNC 关于m 的函数关系式，根据
函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．。