二次根式典型题-因式分解

【例1】 (06年宁波市中考题)已知1x =222111
x x x
x x ++-
--的值
当
a =，求代数式2963a a a -+-的值.
【巩固】 已知：
x =y =
.
【巩固】 当
m =24
22m m m
+
--的值
【巩固】 ⑴先化简，再求值.2221343
1121
x x x x x x x +++-÷
+--+，其中x =.
⑵化简二次根式已知a =.
【例2】 已知：3a b +=，1ab =，且a b >的值.
【巩固】 已知12x =，1
2
y =，求下列各式的值.⑴22x xy y -+； ⑵
x y y x +.
板块二 有理数≠无理数
【例3】 已知a 、b 均为有理数，并满足等式42b a =+，求a 、b 的值.
【巩固】 已知x 、y 是有理数，且11 2.25034x y ⎛⎛+-- ⎝⎭⎝⎭，
求x 、y 的值．
板块三估算整数部分、小数部分
【例4】已知a，b为有理数，x，y分别表示5的整数部分和小数部分，且满足21
axy by
+=，求
a b
+的值.
【巩固】已1的整数部分为a，小数部分为b，求
2
2
a b
a b
+
+
的值.
【例5】如果x y
，
的整数和小数部分，求2(1
x xy
+.
【例6】x，小数部分为y，试求
1
x y
y
++的值= .
【巩固】m.
板块四提取公因式
【例7】200120001999
1)1)1)2001
--+
【巩固】满足等式2003的正整数对()
,x y的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
【例8】化简：
．
【巩固】化_________．
【例9】2
x=，2
y=
【巩固】化
【巩固】化
【巩固】A=A的值.
【例10】计.
【巩固】化
板块五裂项
【例11】化
10099
++++
【巩固】（2006
2025
++=【例12】计
2007
++
【巩固】计
4947
+++
【补充】已知对于正整数n
=，若某个正整数k
2
....
3
++=，则
k=_______．
【补充】定义
()
f x，求(1)(3)(5)(999)
f f f f
++++的值.
【补充】计算:
2
1
1
2003
+
板块六 互为倒数、化简求值
【例13】 已知：x =
，y =
，求
22
y x
x y +的值.
【巩固】 已知：a =b =
，求22a ab b -+的值.
【巩固】 已知：x =，y =
，求44x y +的值.
【例14】 设x =
y =
n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成
立，求n 值.
板块七 换元
【例15】 计+
=_____.
【例16】 计．
【巩固】22006=_________．
板块八
【例17】 若1x ，则54322171816x x x x x +--+-的值为 .
【巩固】 已知x 654322x x x x +-+-+
【例18】 若
a =，则54321996a a a --的值是 .
【巩固】 当x =
32001(419971994)x x --的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．20012 D.20012-
【巩固】 如果
x == .
【例19】 已知p q ，
是有理数，x =
满足30x px q ++=，则b 是一个（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D.3
【例20】
若x 4322621823
815
x x x x x x --++=-+ .
【巩固】 已
知x =，试求4322
621823
815x x x x x x --++-+的值。

练习 1． （2008乌鲁木齐，15，6分）先化简，再求值：
22
111
1121
x x x x x +-÷+--+
，其中1x =．
练习 2． (2006年南通中考题)先化简，再求值.2222
22
(1)2a b a b a b ab ab
-+÷+-
，其中5a =
3b =-+
练习 3． 化简求值：22
22
2a ab b a b ++-
，其中a
，b ．
练习 4． 已知2a b +=-，1
2
ab =
.
练习 5． 设a 是一个无理数，且a ，b 满足1ab a b +-=，求b
练习 6．
9
9-a 和b ，求348ab a b -++的值.
课后练习
练习 7． 已知a b 32()(2)a b -++的值.
练习 8． )
)
)
2002
2001
2000
12
1
4
1
2002--+=______．
练习 9． 观察下面的式子，根据你得到的规律回答：
； 2111...122...2n
n
-.
练习 10．
23
1415+++
练习 11． 已知：x =
，y ，求
x y
y x
+的值.
练习 12．
练习 13．
21992 .
练习 14．
已知x ，求6542334x x x x ---+-的值。

板块一：换元
【例 1】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++
【例 2】 (“希望杯”培训试题)分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【巩固】 分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- 【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++-
【例 3】 证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方． 【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数. 【例 4】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91a a a +--- 【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-
【例 5】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+- 【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-
【巩固】 分解因式：21
(1)(3)2()(1)2
xy xy xy x y x y +++-++-+-
【例 6】 (重庆市竞赛题)分解因式：4
4(1)(3)272x x +-+- 【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++-
板块二：因式定理
因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式. 有理根：有理根p
c q
=
的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 【例 7】 分解因式：32252x x x --- 【巩固】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++ 【巩固】 分解因式：43265332x x x x ++-- 【巩固】 分解因式：322392624x x y xy y -+- 【例 8】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-
【巩固】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+
板块三：待定系数法
如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++
++=+++
++
那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.
【例 9】 用待定系数法分解因式：51x x ++
【巩固】
421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积? 【巩固】
631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积? 【例 10】 分解因式：43223x x x x ++-+
板块四：轮换式与对称式
对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…
在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．
类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++， 222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持
不变．
这样的多项式称为x y z 、的对称式．
轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，
222xy yz zx ++，xyz …
在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变． 这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z
、、
的轮换式．
但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式． 例如，222x y y z z x ++就不是对称式． 次数低于3的轮换式同时也是对称式．
两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对
称式)． 【例 11】 分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+- 【例 12】 分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+- 【例 13】 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-
【例 14】 要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，则常数m 的值为________ 【例 15】 分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++ 【例 16】 分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+ 【例 17】
分解因式：32252x x x --- 【例 18】 分解因式：326116x x x +++ 【例 19】 用待定系数法分解：541x x ++
【例 20】 分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-。