(最新整理)不定方程和解不定方程应用题经典

不定方程和解不定方程应用题经典
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不定方程
———研究其解法
方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块,许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然,它的解法就尤为重要了. 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程-—不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难,以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解.二、不定方程的解法1、筛选试验法
根据方程特点,确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验,筛去不合理的值。

如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？
解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解:(y ，z ）为（1，98） （2，97）……(98，1）. 当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为（1,97） (2，96)……(97，1）。

……
当 x = 98时,y ﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= = 4851
2
99
98 ∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法
如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。

解:
X 1
2
3
4
5……12y
7
517
477
437
395
……
1
× × × × √ √∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有
x = 5 x = 12 y = 5 y = 1
3、分离系数法
如： 求7x ﹢2 y =38的整数解
解： y =
=19—3x—x 2738X -21
令 t=x
2
1
x=2 t
则 y=
=19-7t
2
2738t
⨯-2t ＞0
19—7t ＞0 （t 为整)→ 2＞t ＞0
7
5
t=2，1
当 t=2时, x=2×2=4 x=4
y=19—7×2=5 y =5
当 t=1时， x=2×1=2 x=2
y=19—7×1=12 y=12
第四十周 不定方程
专题简析:
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9的解有：
x＝2。

4 x＝2.7 x＝3。

06 x＝3。

6
………
y＝1 y＝1.5 y＝2。

1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3,Y＝2这一组了.因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数.
对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解.
解答应用题时，要根据题中的限制条件(有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

例1．
求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝。

可列表试验求解：
X1234567
Y5×××2××
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5
Y=5 y=2
练习一
1、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

3、求5x－3y＝16的最小自然数解。

例2
求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程.
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
由①×2+②,得13x+13y＝52
X+y＝4 ③
把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3。

当x＝1时，y＝3
当x＝2时,y＝2
当x＝3时,y＝1
把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解.
x＝2,y＝2时，z也无正整数解。

x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为 x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。

1、 4x+3y－2z＝7
2、 7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52
4、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
例3
一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。

如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。

设大盒子有x个，小盒子有y个,则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0,x+y＞9）
y＝(99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7
y＝15 y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个.
练习3.
1、某校6（1)班学生48人到公园划船。

如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人.那么需要
小船和大船各几只？（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几
枝?
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的
两种,而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
例题4
买三种水果30千克，共用去80元。

其中苹果每千克4元,橘子每千克3元，梨每千克2元。

问三种水果各买了多少千克?
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了(30－x－y）千克。

根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y)＝82
x＝10－Error!
由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。

因此,原方程的解如下表：
苹果987654321
橘子24681012141618
梨191817161514131211
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少
只？
2、用10元钱买25枝笔。

已知毛笔每枝2角,彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角.问每种笔各买
几枝？（每种都要买）
3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角.她一
共用了一元两角两分钱.那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
例5
某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生.原计划一等奖每人
发6枝,二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。

后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。

问：一、二、三等奖的学生各有几人？ 设一等奖有x 人，二等奖有y 人，三等奖有z 人。

则 6x+3y+2z ＝22 ①
9x+4y+z ＝22 ②由②×2－①,得12x+5y ＝22
y ＝Error! x ＝1
x 只能取1。

Y ＝2,代入①得z ＝5，原方程的解为 y ＝2
z ＝5
所以，一等奖的学生有1人,二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。

练习5
1、某人打靶，8发打了53环,全部命中在10环、7环和5环。

他命中10环、7环和5环各几发？
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元.已知煮蛋每个0.60元,茶叶蛋每个1元,
皮蛋每个1。

20元.问篮子里最多有几个皮蛋？
3、一头猪卖3个银币，一头山羊卖1个银币，一头绵羊买个银币。

有人用100个银币卖了
121
3这三种牲畜100头。

问猪、山羊、绵羊各几头?
答案：练1
1、 x ＝1 x ＝3 x ＝5 x ＝7
y ＝11 y ＝8 y ＝5 y ＝22、 x ＝3 x ＝8
y＝11 y＝1
4、 x＝5
y＝3
练2
1、x＝1
y＝3
z＝3
2、 x＝3 x＝4
y＝4 y＝2
z＝1 z＝2
3、 x＝3
y＝1
z＝1
练3
1、设需要小船x只，大船y只。

则3x+5y＝48，y＝根据题意，x可取1、6、11,
方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11
y＝9 y＝6 y＝3
2、设买甲级笔x枝，乙级笔y枝，则7x+3y＝60,y＝。

x≤
不定方程
方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。

它的解是不定的。

如果没有给定不定方程的某种限制条件，那么它就有无限多个解.本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范围内,它可能有解，也可能无解,如果有解，也只能是有限个解.但是，限制的条件，有时很隐蔽，需要我们去认真思考。

例1工程队要铺78米长的地下排水管道,仓库中有3米和5米长的两种管子，问两种管子各用多少根？
例2在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共46只脚，求蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
例3将601个球分别装在大小两种包装盒里，大盒每盒装5个，小盒每盒装3个.求使用的包装盒的个数有多少种不同的安排方法？
例4将426个乒乓球装在三种盒子里。

大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个.现共装了24盒，求用了多少个大盒?
【例5】小李同学把他出生的月份乘以３１，再把出生日期乘以１２,把他们加起来是１７０，试求小李生日是哪一天?
说明：通过以上例题说明，小学生解不定方程,应该紧紧结合题意及数字特征，灵活运用学习过的知识来确定解的限制范围.
【例6】一个两位数，各位数字和的5倍比原数大10，求这个两位数。

【例７】小明准备到商店买２角钱一支的铅笔和９角钱一支的圆珠笔，两种笔都要买，并且刚好花了４元钱,问小明铅笔与圆珠笔各买了几支？
例8有三张扑克牌,牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人。

每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23。

请问这三张牌的数字是什么？
例9采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张)。

如把购A 种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反。

问购A物几个，B
物几个？
例10王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元,西红柿种子每包4元,萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？
练习：
1。

小明问小强：“你养了几只兔和鸡？"小强说:“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？"
2。

李明带6元钱到花店买花。

如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？
3。

甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？
4。

李大伯下山去小商店买东西。

下午1时离开家,先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路,到了小商店。

半小时后,他离开商店沿原路返回家,下午3时半到家。

已知平地每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米。

请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？
5.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？
6、有一个两位数，加上36以后,十位上的数字与个位上的数字的位置正好交换，求这个两位数.
7、甲乙两家养鸡106只，甲家养的鸡中，公鸡占;乙家养的鸡中，母鸡占.甲乙两家共养8311
5母鸡多少只？
8、学校将70人分成12个小组,有8人一组的，有7人一组的，有5人一组的。

求8人一组的共有多少组？
答案：分析
例1、问3米和5米长的管子各用多少根，设3米长的管子用X根，那5米长的管子用的根数呢，如果用共78米这个条件表示出5米长的管子的根数,列方程时则没有其他等量关系了，只能设其为Y根，列出一个含两个未知数的方程，即不定方程。

解:设3米长的管子用X根,5米长的管子用Y根。

3X+5Y=78
3X=78-5Y
X=(78—5Y）÷3
X=35
78Y
－
根据题意,X一定是一个整数,且不等于0。

X是整数，78—5Y的值一定是3的倍数,78已经是3的倍数，则5Y的值也一定是3的倍数，那么Y=3、6、9、12、15，当Y=18时，5Y的值大于78，一符合题意。

所以Y可能是3、6、9、12、15这五种可能，相应的X也有五种可能,从而得出原方程有下面五组解.
X=21 X=16 X=11 X=6 X=1
Y=3 Y=6 Y=9 Y=12 Y=15
在本例中，只列一个方程,却包含两个未知数，结果也不唯一,这样的方程就是不定方程.在解不定方程时，可将方程变形为用代数式表示出其中一个未知数，再根据题意及数字特点讨论其可能的解。

例2解:设蟋蟀有X 只，蜘蛛Y 只
6X ＋8Y=46
6X=46－8Y X=
6846Y
－X 、Y 均为整数，是一个整数，则46－8Y 的值是6的倍数。

因为46÷6余4, 所以8Y÷66846Y
－也应该余4， 那么8×几÷6余4呢?可以是2、5。

如果再大些则46>8Y ，不符合题意.
解得:
答：蟋蟀有5只，蜘蛛2只；或者蟋蟀有1只，蜘蛛5只.
例3解：设大盒用X 个,小盒用Y 个，根据题意列方程
5X+3Y=601
5X=601—3Y
X=
53601Y
－X 、Y 均为整数，是一个整数，则601—3Y 的值是5的倍数。

601除以5余1，3Y 除以5
53601Y
－也应该余1，则Y=2、7、12、…、197，Y 的值是一个首项是2，公差是5的等差数列，都有一个与之相对应的X 值。

共有40种不同的安排方法.
说明：本题中讨论Y 的取值，实质是从同余的角度来理解，若用同余的知识来讨论会更快捷一些，有兴的同学可以试一试.
例4、分析 题目中大、中、小三种盒子，根据共装24盒，可设X 个大盒，Y 个中盒,小盒个数用代数式24-X—Y 来表示。

再根据共有426个乒乓球这个等量关系列方程。

解： 设用X 个大盒，Y 个中盒，那么用小盒24-X-Y 个。

列方程有
25X+20Y+16（24-X—Y ）=426
化简整理，得 9X+4Y=42
由方程9X+4Y=42可知，X ＜5。

42是偶数,4Y 的值也是偶数,则9X 的值也应该是偶数,那么X 也一定是偶数.
解得
答： 用了2个大盒.
例5、二月9日
例6、25
例7、x=11 y=2 x=2 y=4
例8、
六年级奥数：不定方程（一）
年级 班 姓名 得分
一、填空题
1.已知1999×△+4×□=9991，其中△, □是自然数,那么□= .
2。

数学测试卷有20道题。

做对一道得7分;做错一道扣4分；不答得0分。

张红得了100分，她有 道题没答。

3。

x 是自然数,,字母a 表示一个数字,x 是 .
∙
∙=÷52.0810a x 4.不定方程的整数解是 。

172112=+y x
5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么，他的出生年份是 。

6.如果在分数的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是,那么a+b 的432812
7最小值等于 。

7。

40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中，共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚。

8.甲、乙两个小队的同学去植树。

甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人。

9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书。

已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和。

那么,小明第五天至少看了
页.
10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候，一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤；猴王在场监督的时候，大猴子的和小猴子的必须515
1停止采摘,去伺侯猴王。

有一天，采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有
猴王在场监督，结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中，大猴子共有 个。

二、解答题
11.今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只。

用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
12。

某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度，每度收5角;如果超过50度，超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电？
13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片。

他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位，且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙"文具店买的卡片数量的所有可能情形。

14.现有两小堆小石头，如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍，相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少？并在这种情况下求出第二堆的石头块数。

——--—-—————————答案————-—--—--———————-———
1. 1998.
提示：△是小于4的奇数，检验△=1或3两种情况即可。

2。

1.
设张红做对x道题,做错y道题,依题意得:
①
10047=-y x 所以 ≥.74100y x +=7
2147100=又 x +y ≤20 ②
所以 x ≤20-y ≤20，
故 ≤x ≤20.
7214又4｜4 y ，4｜100，由①知4｜7 x ，又4与7互质,所以4｜ x ，故 x=16或20.当x=20时,由①得y=10，与②产生矛盾.
因此x=16，代入①得y=3。

张红共有20-x -y=1（道)题没做。

3. 750。

根据题意,
，整理得,99925100810+=a x 。

37)14(2530999)25100(810+⨯⨯=+⨯=a a x 因为x 为自然数,37是质数,所以4a +1一定能被37整除,
推知a=9，因此.
7502530=⨯=x 4. 没有整数解。

若方程有整数解，则，，因此,且3|17，产生矛盾，因此原方x 123y 213y x 21123+程没有整数解.
5. 1975。

设他出生年份为，依题意,得：ab 19b
a a
b +++=-91191997整理得:87
211=+b a 所以 11
287b
a -=
由0≤b ≤9得≤ ≤,即≤a ≤.1192871136⨯-=11287b -111071187=113611107故a =7,从而b =5,他出生于1975年。

6. 24。

依题意，有，12
74328=++b a 于是可得12（28+a )=7（43+b ）
即 12a +35=7b ①
显然，7｜35。

又因(12,7）=1,故7｜a .
由①知， b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17。

所以, a +b 的最小值是7+17=24.
7. 14.
设有x 只蜈蚣,y 只三头龙，每只三头龙有n 只脚,依题意得方程组：
⎩⎨⎧=+=+2984026
3ny x y x ①×40—②，得，即
()742120=-y n ③
5372)120(⨯⨯=-y n 由于x 和y 都是正整数，从①式得y ≤8.又因为,
537120120⨯<<-n 所以从③式得y =7,，由此得n =14。

106120=-n 8。

32。

设甲小队有x 人,乙小队有y 人.由两小队植树棵数相等,得到
13 x -7=10 y —5.
因为上式右端个位数为5,所以13x 的个位数应是2，得到x =4， y =5是上式的一组解，且x 每增大10, y 就增大13,仍是上式的解.
为使10y —5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人，甲小队有4+10=14（人)，共有18+14=32（人)。

①
②
9. 84。

设小明第一天看了a 页，第二天看了b 页，则前五天看的页数依次为:
a ,
b ， a+b ， a+2b ， 2a+3b .
上面各个数的和是200，得到
5a +7b =200。

因为5a 与200都是5的倍数,所以b 是5的倍数。

因为b >a ，所以上式只有两组解: b =20, a =12； b =25， a =5.
将这两组解分别代入2a +3b ,得到第五天至少看了84页.
10. 15。

以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38（千克）.同理,以5只小猴子为一组，这天可采摘11×38(千克）.设有大猴子x 组，小猴子y 组,则有 ,
338238113815=⨯⨯+⨯⨯y x .
891115=+y x 易知其整数解为x =3, y =4,所以有大猴子5×3=15（只).
11。

设公鸡、母鸡、小鸡各买x ， y ， z 只,由题意列方程组:
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100
1003135z y x z y x 3×①-②整理得 。

10047=+y x 又4|4 y ，4｜100，所以4｜7 x ,又(4,7）=1，所以4｜ x 。

又≤.74100y x -=7
2147100=所以x=4，8或12.
①②
x=4时，y=18, z=78; x=8时，y=11，z=81; x=12时，y=4，z=84。

即可能有三种情况：4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡;12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡.
12。

因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度，乙用电不足50度。

设甲用电(50+x ）度,乙用电(50— y ）度。

因为甲比乙多交33角电费，所以有: 8x+5y=33.
容易看出x=1时，y=5。

推知甲用电51度,乙用电45度。

13。

设哲洙在乙文具店买了x 张卡片,花了100分.由共花钱数可列方程⨯y ()30400
10050500=⨯⨯+-⨯x y x 整理得 54
)5(=-y x 因为x 是小于50的54的约数,则x 与y 的关系如下表:x
1
23691827y —5
5427189632
因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y 小于2000÷100=20,即y —5〈15,所以x 的可能取值是6,9，18,27.
14。

设第一堆有x 块石头，第二堆有y 块石头,并设z 为从第二堆取出放进第一堆的块数，由题意:
⎩
⎨⎧-=++=-)(6100)100(2z y z x y x 由①得 .
1002-=x y ①
代入②整理得 .
1800711=-z x 所以 。

11
)1(71631171800++=+=z z x 又x ,z 自然数，所以11｜z+1，
当z=10时， x 有最小值，此时x=170，y=40,即第一堆中最少有170块。

在这种情况下,第二堆40块。

不定方程
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生。

已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高______分。

（1998年奥林初赛试题）
分析与解：设甲班的平均成绩为x 分,乙班的平均成绩为y 分。

依题意列方程：
42x=48y
根据甲、乙两班的平均成绩都是整数，平均成绩都高于80分,且是百分制，可分别取y=84、91、98尝试可得y ＝84，x ＝96。

因此，甲班的平均成绩比乙班高的分数为：96-84＝12（分）
例2一群猴子采摘水蜜桃。

猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤，一个小猴子一小时可采摘11公斤;猴王在场监督的时候，大猴子
只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘3382公斤水蜜桃，那么在这个猴群中，共有大猴子_______个。

（1998年奥林决赛试题）
分析与解:设大猴子有x 个,小猴子有y 个.依题意列方程：
15x＋11y=445
11y=445—15x
15、
20、
25尝试可得x=15，
10、
y＝20。

因此，
可分别取x＝5、
小猴子的个数均为整数，
根据大、
且是5的倍数，
在这个猴群中，共有大猴子15个.
练一练：
和的最小值是。

(1991年奥林初赛试题)
【教学内容】
求二元一次方程与多元一次方程组的整数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题。

【典型问题】
1。

甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支。

张明用五角钱恰好可以买两种不同的铅笔共多少支？
解答：7x+3y=50,有两组解（x=2,y=12）或（x=5，y=5）,所以共10或14支。

2。

将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗忽略不计）。

问：剩余部分的管子最少是多少厘米？
解答：36和24的最大公约数是12，374÷12=31…2，所以至少剩下2厘米.
3。

有43位同学,他们身上带的钱从8分到5角,钱数都各不相同，每个同学部把身上带的全部钱各自买了画片,画片只有两种，3分一张和5分一张,每人都尽量多买5分一张的画片。

问他们所买的3分画片的总数是多少张？
解答：8,13，18，23，28，33，38，43，48都是1张3分的；9，14，19,24，29,34，39，44，49都是3张3分的；10，15，20，25,30，35，40，45，50都不用3分的；11，16,21，26，31，36，41，46都是2张3分的；12,17，22,27，32，37,42，47都是4张3分的，所以一共是9×1+9×3+0+8×2+8×4=36+48=84张。

4。

小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角。

她共用了一元二角二分。

那么小萌寄的三种信的总和最少是多少封？
解答：因为最后是122分,个位只能是平信的，所以至少有9封平信(9×8=72分）,还差50分，最好是1封航空,2封挂号，所以至少是12封信.
5. 有三堆砝码,第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克。

请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为130克.写出你的取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克的砝码各有几个？
解答:7克的要尽量多，如果18个就是126克，差4克，不行！那17个7克就是119克，差11克，1个5克和2个3克就够了！所以一共是20个。

6。

五种商品的价格如下表，其中的单位是元：
品种单价
A 2。

9
B 4。

7
C 7。

2
D 10。

6
E 14.9
现用60元钱恰好买了10件商品,那么有多少种不同的选购方式？
解答：29a+47b+72c+106d+149e=600,a+b+c+d+e=10,用第一个等式减去第二个等式的29倍，得到18b+43c+77d+120e=310，找到4组整数解！
7。

有纸币60张,其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？
解答：每张纸币的金额除以9的余数都是1,所以60张纸币的金额除以9的余数就是60,即6，但是100元除以9余1，所以不能！
8. 设A和B都是自然数,并且满足A/11+B/3=17/33，那么A+B等于多少？
解答：显然A=2，B=1,那么A+B=3。

9。

两位数中，能被其各位数字和整除，并且除得的商恰好是4的数有多少个？
解答：12，24,36，48共4个。

（个位必须是十位的2倍！）
10. 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工也有女职工,并且有1/3的职工各带一个孩子参加。

男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工?
解答：13x+10y+6×1/3（x+y）=216，即15x+12y=216，5x+4y=72,有（x=4,y=13），（x=8，y=8）和（x=12,y=3)三组解，考虑到职工人数应该是3的倍数,所以男职工应该是12人。

11。

哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。

间：168是哪两个两位数的质数之和,并且其中的一个的个位数字是1。

解答：168=71+97.
12。

（1）将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少？ (2）将60分拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？
解答:（1)最大的要尽量大，那就让别的都小，全是2不行，所以是8个2和1个3,这时最大的是31。

(2）最大的尽量小,那就很接近平均数6,所以看看7，实际上5个5和5个7就行了，所以最大是7.
13。

某居民要装修房屋，买来长0．7米和0．8米的两种木条各若干根.如果从这些木条中取出一些接起来,可以得到许多种长度的木条，例如，0。

7＋0。

7＝1.4（米)，0。

7＋0。

8＝1。

5（米）
等等，那么在3.6米、3.8米、3。

4米、3。

9米和3。

7米这5长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?
解答：3。

6=0.7+0。

7+0.7+0。

7+0.8；3。

7=0。

7+0.7+0.7+0。

8+0。

8；3。

9=0。

7+0。

8+0。

8+0。

8+0.8；3。

8=0。

7+0。

7+0.8+0. 8+0.8；只有3。

4不行！
14。

有30个2分硬币和8个5分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？
解答：首先1分和3分不行，然后看100—1=99分和100—3=97分也不行，所以共4种。

其他都可以构成,大家不妨自己证明一下！
15. 小明买红、蓝两支笔,共用了17元。

两种笔的单价都是整元,并且红笔比蓝笔贵。

小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完，那么红笔的单价是多少元？
（x=15,y=2），
（x=16,y=1），
显然x和y不是35的约数,否则是可以将35元恰好用完的。

解答：x+y=17，
（x=14，y=3），(x=13，y=4），（x=12,y=5）,（x=11，y=6)，(x=10，y=7）,(x=9，y=8）这些解中很快可以将第一，五，七组排除，然后排除第二，三，六，八组，只有第四组是可以的，所以红笔的价钱是13元.
三不定方程
1装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?
2有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个,小盒装7个。

问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？
3大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位。

问：需大、小客车各几辆？
4某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元，问:这两种钢笔共卖出多少支?
5小明花4。

5元钱买了0.14元一支的铅笔和0.67元一支的圆珠笔共17支。

问：铅笔和圆珠笔各几支？
6小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。

你知道小明的生日是几月几日吗？
7在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”,他们让“小博士”猜他们各命中多少次。

“小博士"让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数。

丁丁和冬冬分别命中几次？
8甲、乙二人植树，用每天植18棵，乙每天植21棵,两人共植了135棵树。

问：甲、乙二人各干了几天？
9有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。

问：大、小油桶各几个？。