2019年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标41直线平面平行的判定及其性质理

2019年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标41直线平面平行
的判定及其性质理
[解密考纲]对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质常以解答题为主，难度中等．
一、选择题
1．(2017·广东揭阳模拟)设平面α，β，直线 a ，b ，a ⊂α，b ⊂α，则“a ∥β，b ∥β”是“α∥β”的( B )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为“a ∥β，b ∥β”，若a ∥b ，则α与β不一定平行，反之若“α∥β”，则一定“a ∥β，b ∥β”，故选B.
2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( B )
A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形
B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形
C ．HG ∥平面AB
D ，且四边形EFGH 是菱形
D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形
解析：由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15
BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12
BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形．
3．设a ，b 表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( D )
A ．若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α
B ．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β
C ．若a ∥α且a ∥β，则α∥β
D ．若γ∥α且γ∥β，则α∥β 解析：对于A 选项，若a ⊥α且a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故A 选项不正确；对于B 选项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B 选项不正确；对于C 选项，若a ∥α且a ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 选项不正确．排除A ，B ，C 三个选项，故选D.
4．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中
点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是( A
)
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP .
5．已知a ，b 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是( C )
A ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则 a ∥b
B ．若a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β
C ．若a ∥b ，α∩β＝a ，则b ∥α或b ∥β
D ．若直线a 与b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β
解析：对于A ，a 与b 还可能相交或异面，此时a 与b 不平行，故A 不正确；对于B ，α与β可能相交，此时设α∩β＝m ，则a ∥m ，b ∥m ，故B 不正确；对于D ，α与β可能相交，如图所示，故D 不正确，故选C ．
6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：
① ⎭⎪⎬⎪
⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④ ⎭
⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中所有正确命题的序号是( B )
A ．③④
B ．②③
C ．①②
D ．①②③④
解析：①不正确，n 可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m ，n 可能为异面直线．故选B.
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF
解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，
EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，
所以EF ∥AC ，
又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，
由中位线定理可得EF ＝12
AC ， 又在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，
所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.
8．(2017·北京模拟)设α，β，γ是三个不同平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且①，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是③(把所有正确的题号填上)．
解析：①可以，由a ∥γ得a 与γ没有公共点，由b ⊂β，α∩β＝a ，b ⊂γ知，a ，b 在面β内，且没有公共点，故平行．
②a ∥γ，b ∥β不可以．举出反例如下：使β∥γ，b ⊂γ，a ⊂β，则此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b .这些条件无法确定两直线的位置关系．
③b ∥β，a ⊂γ，可以，由b ∥β，α∩β＝a 知，a ，b 无公共点，再由a ⊂γ，b ⊂γ，可得两直线平行．
9．在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在线
段PC 上，PM ＝tPC ，PA ∥平面MQB ，则实数t ＝13
. 解析：连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，
连接MN ，如图，则O 为BD 的中点．
又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线，
∴N 为正三角形的中心．
令菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33a ，AC ＝3a . ∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，
平面PAC ∩平面MQB ＝MN ，
∴PA ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ， 即PM ＝13PC ，t ＝13
. 三、解答题
10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△PAB 的重心．求证：平面 A ′ B ′ C ′∥平面 ABC ．
证明：连接PA ′，PC ′并延长，分别交BC ，AB 于M ，N .
∵A ′，C ′分别是△PBC ，△PAB 的重心，
∴M ，N 分别是BC ，AB 的中点．连接MN ，
由PA ′PM ＝PC ′PN ＝23
知A ′C ′∥MN ，∵MN ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC ．同理，A ′B ′∥平面ABC ，而A ′C ′和A ′B ′是平面A ′B ′C ′内的相交直线，∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC ．
11．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
解析：当点F 为棱C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE ，证明如下：
分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接EG ，BG ，CD 1，FG ，
因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，
所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，
因此D 1C ∥A 1B ，又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B ，这说明A 1，B ，G ，E 共面，所以BG ⊂平面A 1BE .因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 为平行四边形，所以B 1F ∥BG ，而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .
12．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，Q 是CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点且A 1F ∥平面D 1AQ ，求A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围．
解析：设平面AD
1Q 与直线BC 交于点G ，连接AG ，QG ，则G 为BC
的中点．分别取B 1B ，B 1C 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N ，如图所示．
∵A 1M ∥D 1Q ，A 1M ⊄平面D 1AQ ，
D 1Q ⊂平面D 1AQ ，∴A 1M ∥平面D 1AQ .
同理可得MN ∥平面D 1AQ .
∵A 1M ，MN 是平面A 1MN 内的两条相交直线，
A 1M ∩MN ＝M ，
∴平面A 1MN ∥平面D 1AQ .
由此结合A
1F ∥平面D 1AQ ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上的动点．
设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ，移动点F 并加以观察，可得当点F 与M (或N )重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ＝A 1B 1B 1M
＝2；当点F 与MN 的中点重合时，A 1F 平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ＝
A 1
B 1
22B 1M ＝2 2. ∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围为[2,22]．。