高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测50 Word版含答案

课时跟踪检测(五十)
1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2
＋y 2
－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交
D ．以上三个选项均有可能 答案：C
解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2
＋y 2
－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2
＋y 2－2x －2＝0相交．
2．已知圆x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
答案：B
解析：将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，
圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|
2＝2，
故r 2
－d 2
＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.
3．圆x 2
＋y 2
＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )
A.2－1或－2－1 B ．1或－3 C ．1或－ 2 D. 2
答案：B
解析：由题意知，圆的标准方程为x 2
＋(y ＋1)2
＝4. 较短弧所对圆周角是90°，
所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为2
2
r ＝ 2. 即
|1＋k |
2
＝2，解得k ＝1或－3. 4．若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9
D ．－11
答案：C
解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1， 圆C 2的方程可化为(x －3)2
＋(y －4)2
＝25－m ， 所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ， 从而|C 1C 2|＝32
＋42
＝5.
由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.
5．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S
△AOB
＝1时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在
答案：A
解析：由于S △AOB ＝1
2×2×2sin ∠AOB ＝1，
∴sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝
π2
， ∴点O 到直线l 的距离OM 为1，
而OP ＝2，OM ＝1，在直角△OMP 中，∠OPM ＝30°， ∴直线l 的倾斜角为150°，故选A.
6．过点P (1，3)作圆O ：x 2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( ) A. 3 B ．2 C. 2 D ．4
答案：A
解析：
如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2
＋y 2
＝1的切线， ∴AB ⊥OP .
∵P (1，3)，O (0,0)，
∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，
在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝1
2，
∴∠AOP ＝60°，
∴|AB |＝2|OA |sin ∠AOP ＝ 3.
7．若a 2
＋b 2
＝2c 2
(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2
＋y 2
＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1
C.22
D. 2
答案：D
解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝
|c |
a 2
＋b
2
＝
|c |
2|c |＝22
， 因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝22，所以弦长为 2. 8．直线l 与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )
A ．x ＋y －3＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y ＋5＝0
D ．x －y －5＝0
答案：C
解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)， 所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，
由x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)， 所以圆心到直线的距离为2，
所以|－k －2＋2k ＋3|k 2
＋1＝2，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.
9．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2
＋y 2
－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →
＝________.
答案：5
解析：解法一：由已知得，圆心C (0,2)，半径r ＝5， △ABC 是直角三角形，|AC |＝－
2
＋－
2
＝10，|BC |＝5，
∴cos ∠ACB ＝BC AC
＝
510
，
∴CA →·CB →＝|CA →||CB →
|cos ∠ACB ＝5.
解法二：CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →
， 由于|BC |＝5，AB ⊥BC ， 因此CA →·CB →
＝5＋0＝5.
10．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2
＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△
ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.
答案：4±15
解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于3
2
×2＝3， 于是有|a ＋a －2|a 2
＋1
＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 11．若曲线C 1：x 2
＋y 2
－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是为________．
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－
33，0∪⎝
⎛⎭⎪⎫0，33 解析：整理曲线C 1的方程得，(x －1)2
＋y 2
＝1，故曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，1为半径的圆；
曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m
＋
－0|
m 2＋1
＜r ＝1，解得m ∈
⎝ ⎛
⎭⎪⎫－33
，33，
又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－
33，0∪⎝
⎛⎭⎪⎫0，33. 12．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．
答案：x ＋y －3＝0
解析：依题意得，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大， 此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1， 因此所求直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2
＋(y －3)2
＝8相切，则a 的值为( )
A ．3
B ．2 2
C ．3或－5
D ．－3或5
答案：C
解析：解法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋4，
x －a 2
＋
y －
2
＝8，
消去y 可得，2x 2
－(2a －2)x ＋a 2
－7＝0， 则由题意可得Δ＝2
－4×2×(a 2
－7)＝0， 整理可得a 2
＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.
解法二：因为(x －a )2
＋(y －3)2
＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2
＋(y －3)2
＝8相切知，圆心到直线的距离等于半径，
所以
|a －3＋4|12
＋－
2
＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.
2．在圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( ) A.π
6 B.π4 C.π3
D.3π4
答案：B
解析：由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，
∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π
4
.
3．设直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
答案：D
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝4x 1，y 2
2＝4x 2，
两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，
当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当直线l 的斜率k 存在时，如图，x 1≠x 2，
则有
y 1＋y 22·y 1－y 2
x 1－x 2
＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB ，得k ·
y 0－0
x 0－5
＝－1， y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，
即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2
＝4x ，得y 2
＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，
∴(x 0－5)2
＋y 2
0＝r 2
，r 2
＝y 2
0＋4＜12＋4＝16， 又y 2
0＋4＞4，∴4＜r 2
＜16，∴2＜r ＜4.故选D.
4．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1，P 为直线x －2y ＋5＝0上的动点，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．
答案：2
解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0， 过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ， 易知此时|PA |的值最小． 由点到直线的距离公式，得 |OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋2
2
＝ 5. 又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2
－|OA |2
＝2.
5.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .
(1)求圆A 的方程；
(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .
由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5
＝2 5.
∴圆A 的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝20.
(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .
∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝
|k －2|
k 2＋1
＝1，得k ＝3
4，
∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.
故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 6．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝4和点M (1，a )．
(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程；
(2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值． 解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2
＝4，则a ＝± 3.
当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33
， 此时切线方程为y －3＝－3
3
(x －1)， 即x ＋3y －4＝0，
当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33
， 此时切线方程为y ＋3＝3
3
(x －1)， 即x －3y －4＝0.
所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 2
1＋d 2
2＝OM 2＝3.
又有|AC |＝24－d 2
1，|BD |＝24－d 2
2， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 2
1＋24－d 2
2.
则(|AC |＋|BD |)2
＝4×(4－d 2
1＋4－d 2
2＋24－d 2
1·4－d 2
2) ＝4×
＝4×(5＋24＋d 21d 22)． 因为2d 1d 2≤d 2
1＋d 22＝3， 所以d 21d 2
2≤94，
当且仅当d 1＝d 2＝
6
2
时等号成立， 所以4＋d 21d 2
2≤52
，
所以(|AC |＋|BD |)2
≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.
所以|AC |＋|BD |≤210， 即|AC |＋|BD |的最大值为210.。