陕西省黄陵中学高二数学下学期期末考试试题文

2015-2016学年黄陵中学第二学期期终考试高二年级数学（文科）试
题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A ＝{x |－1<x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2,3}，则A ∪B 等于( )
A ．{2}
B ．{1,2,3}
C ．{－1,0,1,2,3}
D ．{0,1,2,3}
2. 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝
x －
2
B ．y ＝x －1与y ＝
x －1
x －1
C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2
D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x
100
3．下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 2
B ．y ＝2|x |
C ．y ＝log 2
1|x |
D ．y ＝sin x
4．已知cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )
A.43
B.34 C ．－34 D ．±3
4
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．正三角形6．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →
＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7,4) B ．(7,14) C ．(5,4)
D ．(5,14)
7．曲线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋cos θ，
y ＝2＋sin θ
(θ为参数)的对称中心( )
A ．在直线y ＝2x 上
B ．在直线y ＝－2x 上
C ．在直线y ＝x －1上
D ．在直线y ＝x ＋1上
8．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( ) A ．第22项 B ．第23项 C ．第24项 D ．第28项
9．设二次不等式ax
2
＋bx ＋1>0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－1<x <
13，
则ab 的值为( )
A ．－6
B ．－5
C ．6
D ．5
10．命题“∀x ∈R ，x 2
－3x ＋2≥0”的否定是( )
A ．∃x 0∈R ，x 2
0－3x 0＋2<0 B ．∃x 0∈R ，x 2
0－3x 0＋2>0 C ．∃x 0∈R ，x 2
0－3x 0＋2≤0 D ．∃x 0∈R ，x 2
0－3x 0＋2≥0
11．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
12.在极坐标系中，直线ρ (3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极
坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3
C.⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6 D.⎝
⎛⎭⎪⎫4，π3
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．不等式x －2
x 2－1
<0的解集为 ---------------------
14. 函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝e x －e ，则f ′(1)＝
________.
15.若抛物线y 2
＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为
------------------
16.．命题“∃x 0∈R,2x 2
0－3ax 0＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（共6小题，共70分）
17.若函数f (x )＝12x 2
－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．
18.若不等式(1－a )x 2
－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．
(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .
19．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3
在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值．
20．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{
a n
2
n －1
}的前n 项和S n .
21.如图，已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴
的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：
(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋cos α，y ＝sin α
(α为参数)，试判断直线l 与
圆C 的位置关系．
1．答案：D 2. 答案：D 3．答案：C 4．答案：B 5．答案：C 6．答案：D 7．答案：B 8．答案：B 9．答案：C 10．答案：A 11．答案：D 12.答案：A
13．答案：{x |x <－1或1<x <2} 14.答案：e 15.答案：、 y 2
＝8x . 16.答案：[－22，22]
17.若函数f (x )＝12x 2
－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．
解：∵f (x )＝12(x －1)2
＋a －12
.
∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1
2
＝1①
f (x )max ＝f (b )＝12
b 2－b ＋a ＝b ②
又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝32
，
b ＝3.∴a 、b 的值分别为3
2
、3.
18.若不等式(1－a )x 2
－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2
＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R . 解：(1)由根与系数的关系解得a ＝3. 所以不等式变为2x 2－x －3>0，
解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞. (2)由题意知，3x 2
＋bx ＋3≥0的解集为R ，
Δ＝b 2
－4×3×3≤0，解得b 的取值范围是[－6,6]．
19．已知曲线y ＝16x 2－1与y ＝1＋x 3
在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值．
解：对于y ＝16x 2－1，有y ′＝13x ，k 1＝y ′|x ＝x 0＝1
3x 0；
对于y ＝1＋x 3
，有y ′＝3x 2
，k 2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2
0. 又k 1·k 2＝－1，则x 3
0＝－1，x 0＝－1.
20． 已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n
2
n －1}的前n 项和S n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，
有⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝02a 1＋12d ＝－10，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1d ＝－1，
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)S n ＝a 120＋a 221＋a 322＋…＋a n
2n －1①， 12S n ＝a 121＋a 222＋a 323＋…＋a n
2n ②， ①－②得，
12S n ＝a 1＋a 2－a 121＋a 3－a 222＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－12＋12＋…＋12－2－n 2
＝1－12－12n －1·121－12－2－n 2n ＝n 2n ，
所以S n ＝n
2n －1.
21.如图，已知F 1、F 2为双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线
交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：
(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．
解：(1)∵∠PF 2F 1＝90°，∠PF 1F 2＝30°.
在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|＝|F 1F 2|cos ∠PF 1F 2＝2c cos30°＝43c
3，
|PF 2|＝12|PF 1|＝23c
3
，
又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即233c ＝2a ，c
a ＝3，
∴e ＝c
a
＝ 3.
(2)对于双曲线，有c 2
＝a 2
＋b 2
，∴b ＝c 2
－a 2
.
∴b a ＝c 2－a 2a
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2－1＝3－1＝ 2.
∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .
22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l
上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关
系．
解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.
(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2
＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12
＝
2
2
<1，所以直线l 与圆C 相交．
22．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 3
5＋C 22C 2
5
C 4
7
＝67
. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6
7.
(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 3
3C 47＝135，P (X ＝2)＝C 3
4C 47＝4
35，
P (X ＝3)＝C 3
5C 47＝27，P (X ＝4)＝C 3
6C 47＝4
7.
所以随机变量X 的分布列是。