福建省建瓯市芝华中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

芝华中学2020-2021学年上学期高一数学第一次月考试卷
时间:120分钟 分值:150分
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.若集合A ={x |-1≤x ≤2,x ∈N},集合B ={2,3},则A ∪B 等于 ( )
A.{-1,0,1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3}
D.{2}
2.若命题p :∃x ∈R,x 2
+2x +1≤0,则命题p 的否定为 ( )
A .∃x ∈R,x 2
+2x +1>0 B .∃x ∈R,x 2
+2x +1<0 C .∀x ∈R,x 2
+2x +1≤0 D .∀x ∈R,x 2
+2x +1>0
3．下列不等式中正确的是( )
A ．a ＋4a ≥4
B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2
＋3
x 2≥2 3 4.若p :0232<+-x x q :2x >1,则p 是q 的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．若集合A ＝{x |(1-2x)(x －3)>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )
A ．{1,2,3}
B ．{1,2}
C ．{4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
6.若集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x ≥1},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A.{-1}
B.{0}
C.{-1,0}
D.{-1,0,1}
7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处
8.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是()
A．{a|3<a<4} B．{a|－2<a<－1或3<a<4}
C．{a|3<a≤4} D．{a|－2≤a<－1或3<a≤4}
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的四个选项有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.若集合A={x|x2-2x=0},则有()
A.⌀⊆A
B.-2∈A
C.{0,2}⊆A
D.A⊆{y|y<3}
10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值1
4 B.a＋b有最小值 2
C.1
a＋
1
b有最小值4 D．a2＋b2有最小值
2
2
11．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值为( )
A ．0
B ．1 或2 C.3 D ．4
12.若不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )
A ．b ＜0且c ＞0
B ．a －b ＋c ＞0
C ．a ＋b ＋c ＞0
D ．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |－2＜x ＜1}
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.若a ＞1，则a ＋1
a －1的最小值是
14．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ⋂B ∅≠则a ＝ .
15.已知p :4x -m <0,q :-2≤x ≤2,若p 是q 的一个必要不充分条件,则m 的取值范围为
16.某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少5
2t 万m 3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．
四、解答题：共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(10分)已知A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求A B ，∁R (A ∩B )，
18.（12分）解下列不等式：
（1）32-2-<+x x ； （2）0122
≤+-x x
19.（12分）已知关于x 的不等式a x 2+b x ＋4>0．若不等式的解集是{x|-4<x<1}求a,b 的值；
20.(12分)已知命题p :3a <m <4a (a >0),命题q :1<m <2
3
,且q 是p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.
21.(12分)已知集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0,a ∈R}. (1)若A 是空集,求a 的取值范围;
(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来;
22某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．
(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入1
6(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入1
5x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
芝华中学2020-2021学年上学期高一数学第一次月考试卷
出卷人： 时间:120分钟 分值:150分
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.若集合A ={x |-1≤x ≤2,x ∈N},集合B ={2,3},则A ∪B 等于 ( )
A.{-1,0,1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3}
D.{2}
解析:由题意知,集合A ={x |-1≤x ≤2,x ∈N}={0,1,2},又因为集合B ={2,3},所以A ∪B ={0,1,2,3}.
答案:B
2.若命题p :∃x ∈R,x 2
+2x +1≤0,则命题p 的否定为 ( ) A .∃x ∈R,x 2
+2x +1>0 B .∃x ∈R,x 2
+2x +1<0 C .∀x ∈R,x 2
+2x +1≤0 D .∀x ∈R,x 2
+2x +1>0
解析:由命题p “∃x ∈R,x 2
+2x +1≤0”得命题p 的否定为:∀x ∈R,x 2
+2x +1>0.
答案:D
3．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4
a ≥4
B ．a 2＋b 2≥4ab
C.ab ≥a ＋b
2
D ．x 2
＋3
x 2≥2 3
解析：a <0，则a ＋4
a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，
b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；
a ＝4，
b ＝16，则ab <a ＋b
2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．
4.若p :0232<+-x x q :2x >1,则p 是q 的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解析:由题意,得p :1<x <2,q :x >
,
所以p ⇒q ,q ⇒/p ,所以p 是q 的充分不必要条件. 答案:A
5．若集合A ＝{x |(1-2x)(x －3)>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
B [∵(2x-1)(x －3)<0，∴1
2<x <3， 又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]
6.若集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x ≥1},则图中阴影部分所表示的集合为
( )
A.{-1}
B.{0}
C.{-1,0} D .{-1,0,1}
解析:阴影部分可表示为A ∩(∁R B ),因为∁R B ={x |x <1}, 所以A ∩(∁
R
B )={-1,0}.
答案:C
7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )
A．5 km处B．4 km处
C．3 km处D．2 km处
解析：设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝k
1
x(k1≠0)，运输费用y2
＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝4 5，
故总费用y＝20
x＋
4
5x≥2
20
x·
4
5x＝8，当且仅当
20
x＝
4
5x，即x＝5时等号成立．
8.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是(D)
A．{a|3<a<4} B．{a|－2<a<－1或3<a<4}
C．{a|3<a≤4} D．{a|－2≤a<－1或3<a≤4} 解析：原不等式可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，解得1<x<a，此时解集中的整数为2,3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1.故a∈{a|－2≤a<－1或3<a≤4}．
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若集合A ={x |x 2-2x =0},则有 ( ) A.⌀⊆A
B.-2∈A
C.{0,2}⊆A
D.A ⊆{y |y <3}
答案:ACD
10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值1
4 B.a ＋b 有最小值 2 C.1a ＋1
b 有最小值4
D ．a 2
＋b 2
有最小值2
2
AC [∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14，
∴ab 有最大值1
4，∴选项A 正确；
(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋(a ＋b )2＝2，∴0＜a ＋b ≤ 2. ∴B 错误；
1
a ＋1
b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，∴1a ＋1
b 有最小值4，∴C 正确； a 2
＋b 2
≥2ab,2ab ≤12，∴a 2＋b 2
的最小值不是2
2，∴D 错误．
故选AC.]
11．设集合A ＝{x |x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，集合A ∪B 中所有元素之和为7，则实数a 的值为( )
A ．0
B ．1 或2 C.3
D ．4
ABD [x 2－(a ＋2)x ＋2a ＝(x －2)(x －a )＝0，解得x ＝2或x ＝a ，则A ＝{2，
a }．x 2－5x ＋4＝(x －1)(x －4)＝0，解得x ＝1或x ＝4，则B ＝{1,4}．当a ＝0时，A ＝{0,2}，B ＝{1,4}，A ∪B ＝{0,1,2,4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a ＝1时，A ＝{1,2}，B ＝{1,4}，A ∪B ＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a
＝2时，A＝{2}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a ＝4时，A＝{2,4}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为{0,1,2,4}．]
12.若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )
A．b＜0且c＞0
B．a－b＋c＞0
C．a＋b＋c＞0
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}
ABD[对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2
＝1＝b
a，－1×2＝
c
a，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；
令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，＝a－b＋c＞0，所以B 正确；
对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误；
对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，
所以x1＋x2＝－b
a＝－1，x1x2＝
c
a＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式
ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}，所以D正确．]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若a＞1，则a＋
1
a－1的最小值是
[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋
1
a－1＝a－1＋
1
a－1＋1≥2（a－1）·
1
a－1＋
1＝3.当且仅当a－1＝
1
a－1时，即a＝2时取等号．故选3
14．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ⋂B ∅≠则a ＝ . 解析：由题意可知⎩⎨⎧
a 2
＝a ≠1，
a ≠－1，
解得a ＝0.
15.
已知p :4x -m <0,q :-2≤x ≤2,若p 是q 的一个必要不充分条件,则m 的
取值范围为
解析:因为p :4x -m <0,即p :x <
,且q :-2≤x ≤2,p 是q 的一个必要不充
分条件,所以{x |-2≤x ≤2}⫋,故>2,即m >8.
答案:m >8
16.
某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减
少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．
则y ＝2 400⎝ ⎛
⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)． 令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.
答案：{t |3≤t ≤5}
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(10分)已知A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求A B ，∁R (A ∩B )，
18.（12分）解下列不等式：（1）32-2-<+x x ；（2）0122≤+-x x
19.已知关于x 的不等式a x 2+b x ＋4>0．若不等式的解集是{x|-4<x<1}求a,b 的值；
解法一：把x=-4，x=1带入一元二次方程a x 2+b x ＋4=0得0
44b -16a 0
4b a {
=+=++，
解得a= -1,b= -3.
解法二：根与系数的关系
a b
-14-a
4
14-{
=+=
⨯解得a= -1,b= -3
20.(12分)已知命题p :3a <m <4a (a >0),命题q :1<m <2
3
,且q 是p 的必要不充分条件,
求实数a 的取值范围.
解:因为q 是p 的必要不充分条件,所以p ⇒q ,q ⇒/p ,从而有或
解得≤a ≤.
所以实数a 的取值范围是≤a ≤.
21.(12分)已知集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0,a ∈R}. (1)若A 是空集,求a 的取值范围;
(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来; 解:(1)若A 是空集,
则方程ax 2-3x +2=0无解,当a=0时不符合题意，当a 0时
Δ=9-8a <0, 即a >8
9.
(2)若A 中只有一个元素,
则方程ax 2-3x +2=0有且只有一个实根, 当a =0时方程为一元一次方程,满足条件.
当a ≠0,此时Δ=9-8a =0,解得:a =.89
所以a =0或a =
.
若a =0,则有A =,
若a =
,则有A =.
22某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．
(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入1
6(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入1
5x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
[解] (1)设每件商品的定价为m 元；
依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫
8－m －251×0.2m ≥25×8， 整理，得m 2－65m ＋1 000≤0，解得25≤m ≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元． (2)设明年的销售量为a 万件．
依题意，当x ＞25时，ax ≥25×8＋50＋16(x 2
－600)＋1
5x ，即当x ＞25时，a ≥150
x ＋16x ＋1
5，
因为150x ＋16x ≥2150
x ×1
6x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，所以a ≥
10.2.
所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元．。