2020_2021学年新教材高中数学单元素养评价第一章三角函数作业含解析北师大版必修第二册

单元素养评价(一)(第一章)
(120分钟150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.cos= (
A. B.- C.- D.
【解析】选D.cos=cos=.
2.(2020·西安高一检测)已知角α的终边经过点,则sin α+= (
A.-
B.
C.
D.
【解析】选D.因为角α的终边经过点,
所以r==5,则sin α=-,cos α=,即sin α+=.
3.点A位于(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为2 019°=5×360°+219°,所以2 019°为第三象限角,则sin 2 019°<0,cos 2 019°
<0,
所以点A位于第三象限.
4.为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=sin 2x的图象(
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
【解析】选D.因为y=sin=sin 2,
所以将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,便可得到函数y=sin的图象.
5.(2020·浙江高考)函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]的图象大致为(
【解析】选A.因为-xcos (-x)+sin (-x)=-xcos x-sin x,故y=xcos x+sin x为奇函数,排除C,D选项,
当x=π时,y=-π,故选A.
【补偿训练】
已知函数f=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将f的图象向右
平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是( A. B. C. D.
【解析】选 B.由函数的最小正周期公式可得:ω===2,则函数的解析式为
f=sin,将f的图象向右平移φ个单位长度后所得的函数解析式为:
g=sin=sin,
函数图象关于y轴对称,则函数g为偶函数,即当x=0时:
2x-2φ+=-2φ+=kπ+,
则φ=--,①
令k=-1可得φ=,
其余选项明显不适合①式.
6.(2020·宁波高一检测)已知cos=,且-π<α<-,则cos等于(
A. B.
C.-
D.-
【解析】选D.依题意cos
=sin
=sin=,由于-π<α<-,
所以<-α<,故cos=-=-.
7.已知tan θ=3,则等于(
A.-
B.
C.0
D.
【解析】选B.因为tan θ=3,
所以
====.
8.设a=sin,b=cos,c=tan,则(
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.b<a<c
【解析】选D.sin=cos=cos=cos,而函数y=cos x在(0,π)上为减函
数,则1>cos>cos>0,
即0<b<a<1,tan>tan=1,即b<a<c.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2020·济南高一检测)已知函数f=sin的最小
正周期为π,将该函数的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数为偶函数,则下列
说法正确的是(
A.f=
B.函数y=f的图象关于直线x=对称
C.函数y=f的图象关于点对称
D.函数y=f的图象关于直线x=对称
【解析】选ABC.因为函数f=sin的最小正周期为=π,
所以ω=2,故f=sin,将该函数的图象向左平移个单位后,得到
g=sin的图象,根据得到的图象对应的函数为偶函数且|φ|<,可得
+φ=,
所以φ=,故f=sin,
对于A,f=sin=,故A正确;
对于B,当x=时,f=sin=1,故B正确;
对于C,f=sin=0,故C正确;
对于D,f=sin=sin=,故D错误.
10.已知函数f(x)=tan x,x1,x2∈,则下列结论中正确的是( )
A.f=f
B.f=f
C.>0
D.f>
【解析】选AC.f(x)=tan x的周期为π,故A正确;函数f(x)=tan x为奇函数,故B不正确;
C表明函数为增函数,而f(x)=tan x为区间上的增函数,故C正确;
由函数f(x)=tan x的图象可知,
函数在区间上有f>,在区间上有
f<,故D不正确.
11.关于函数f=cos x+有下述四个结论,其中正确的是(
A.f是偶函数
B.f在区间上递减
C.f为周期函数
D.f的值域为
【解析】选AC.因为f=cos
+=cos x+=f,
所以f为偶函数,A正确;
当x∈时,f=cos x-cos x=0,不满足单调递减定义,B错误;
当x∈,k∈Z时,f=2cos x;
当x∈,k∈Z时,f=0,
所以f是以2π为最小正周期的周期函数,C正确;当x∈
,k∈Z时,f∈,
当x∈,k∈Z时,f=0,
故f的值域为,D错误.
12.已知函数f=Asin(其中A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点M成中心对
称,且与点M相邻的一个最低点为N,则下列判断正确的是(
A.函数f=Asin中T=π,ω=2
B.直线x=是函数f图象的一条对称轴
C.点是函数f的一个对称中心
D.函数y=1与y=f的图象的所有交点的横坐标之和为7π
【解析】选ACD.因为函数f(x)的图象关于M成中心对称,且最低点为N,
所以A=3,T=4×=π,ω===2,
所以f=3sin,将N代入得φ=,所以f=3sin,由此可得B
错误,C正确,D当-≤x≤时,0≤2x+≤6π,所以与y=1有6个交点,设各个交点坐标依次为
x1,x2,x3,x4,x5,x6,
则x1+x2+x3+x4+x5+x6=7π.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020·亳州高一检测)y=cos在上的值域为.
【解析】因为0≤x≤π,所以-≤x-≤,
所以≤cos≤1,即≤y≤1.
答案:
14.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20 cm,则扇形的周长为cm.
【解析】因为圆心角α=54°=,
所以l=|α|·r=6π,所以周长为(6π+40)cm.
答案:(6π+40)
15.已知函数f(x)=sin,x∈,则函数f(x)的单调递增区间为. 【解析】令-+2kπ≤3x-≤+2kπ,
解得-+2kπ≤3x≤+2kπ,故-+≤x≤+,令k=1,解得≤x≤,
故函数的单调递增区间为.
答案:
16.tan≥的解集为.
【解析】由题得kπ+≤2x+<kπ+,k∈Z,
所以kπ≤2x<kπ+,所以≤x<+,k∈Z.
所以不等式的解集为.
答案:
四、解答题(共70分)
17.(10分)设函数f=Asin
的部分图象如图所示,求f的表达式.
【解析】由图象可得A=1,=-=,
所以T=π,所以ω=2,所以f=sin.
又点在函数的图象上,
所以sin=1,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z.
又φ∈,所以φ=,
所以f=sin.
18.(12分)(2020·新乡高一检测)求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=l g(1-cos x)+.
【解析】(1)因为2sin x-≥0,
所以sin x≥,在单位圆中作出满足该不等式的角的集合,如图①所示可得x∈
(k∈Z).
(2)因为所以-≤cos x<,在单位圆中作出满足该不等式的角的集合,如图②所示可得x∈∪(k∈Z).
19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<π)的一段图象如图所示.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若x∈,求函数f(x)的值域.
【解析】(1)由题图可得f(x)=2sin,
由-+2kπ≤2x+π≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,
所以函数f的单调增区间为,k∈Z.
(2)因为x∈,所以2x+π∈
所以当x=时,f=-,
当x=-时,f=2,
所以函数f的值域为[-,2].
20.(12分)(2020·潍坊高一检测)方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
【解析】作出y=cos x,x∈与y=的大致图象,如图所示.
由图象可知,当≤<1,即-1<a≤0时,
y=cos x,x∈的图象与y=的图象有两个交点,即方程cos x=在x∈
上有两个不同的实数根,故实数a的取值范围为.
21.(12分)(2020·武威高一检测)已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调增区间和对称轴;
(2)若x∈,求f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)由题意知T=π=,解得ω=2,
所以f(x)=2cos,
令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ(k∈Z),
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z),
令2x+=kπ(k∈Z),解得x=-+,k∈Z,
所以f(x)的对称轴为x=-+(k∈Z);
(2)由(1)知函数f(x)=2cos在上单调递增,在上单调递减,
因为f=2cos=,
f=2cos 0=2,f=2cos=-,
所以当x∈时,f=2,f=-.
22.(12分)已知函数f(x)=-sin2x+asin x+1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若当a>0时,函数f(x)的最大值是3,求实数a的值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=-sin2x+sin x+1,
令t=sin x,-1≤t≤1;则y=-t2+t+1=-+,
当t=时,函数f(x)的最大值是,
当t=-1时,函数f(x)的最小值是-1,
所以函数f(x)的值域为.
(2)当a>0时,f(x)=-sin2x+asin x+1
=-+1+,
当≥1,即a≥2时,当且仅当sin x=1时,
f(x)max=a,又函数f(x)的最大值是3,所以a=3; 当0<<1,0<a<2时,
当且仅当sin x=时,f(x)max=1+,
又函数f(x)的最大值是3,所以1+=3,
所以a=2,又0<a<2,不符合题意;
综上,实数a的值为3.。