K12推荐学习2018年高中数学 第1章 计数原理 1.5 二项式定理教学案 苏教版选修2-3

1.5 二项式定理
第1课时二项式定理
问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？
提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.
1．二项式定理
公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．
2．二项展开式的通项
C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r．
3．二项式系数
C r n(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．
1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．
2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．
3．二项式系数依次为组合数C 0
n ，C 1
n ，…，C r n ，…，C n
n .
4．(a ＋b )n
的二项展开式中，字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐次减1直到0；字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n .
[例1] 求下列各式的展开式：
(1)(a ＋2b )4
；(2)⎝
⎛⎭⎪⎫2x －32x 25
. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a
n －1
b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n ，
得(a ＋2b )4
＝C 04a 4
＋C 14a 3
2b ＋C 24a 2
(2b )2
＋C 3
4a (2b )3
＋C 4
4(2b )4
＝a 4
＋8a 3
b ＋24a 2b 2
＋32ab 3
＋16b 4
.
(2)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25
＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x 2＋ C 2
5
(2x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＋C 55⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32x 25
＝32x 5－120x 2
＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x
10.
法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25
＝（4x 3－3）5
32x 10
＝132x 10[C 05(4x 3)5
＋ C 1
5(4x 3)4
·(－3)＋…＋C 4
5(4x 3
)·(－3)4
＋C 5
5·(－3)5
] ＝
132x
10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3
－243)
＝32x 5－120x 2
＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x
10.
[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n
的展开式中会出现正负间隔的情况．
1．写出(1＋2x )4
的展开式．
解：(1＋2x )4
＝C 0
4×14
×(2x )0
＋C 1
4×13
×(2x )1
＋C 2
4×12
×(2x )2
＋C 3
4×11
×(2x )3
＋C 4
4×10
×(2x )4
＝1＋8x ＋24x 2
＋32x 3
＋16x 4
.
2．求⎝
⎛⎭⎪⎫x －12x 4
的展开式．
解：法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x ＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪
⎫12x 3
＋C 44
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 4
＝x 2
－2x ＋32－12x ＋116x
2.
法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4
＝
116x
2(16x 4－32x 3＋24x 2
－8x ＋1) ＝x 2
－2x ＋32－12x ＋116x 2.
[例2] 已知二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10
.
(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．
[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解；
(2)利用通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r
⎝
⎛⎭
⎪⎫
a ＝x 2
，b ＝
12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数
等于0即可求出r .
[精解详析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10
的展开式的第5项为
T 5＝C 410
·(x 2)6
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 4
＝C 4
10
·⎝ ⎛⎭⎪⎫124· x 12
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 4＝1058x 10.
(2)设第r ＋1项为常数项， 则T r ＋1＝C r
10·(x 2)
10－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x r ＝C r
10·x 20－52r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r
(r ＝0，1，2，…，10)，
令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 8
10·⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256，
即第9项为常数项，其值为45
256.
[一点通]
(1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n a
n －r b r
表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该
项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .
(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．
3．(x －2y )6
展开式中的第4项为________．
解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6
展开式中的第4项为C 36x 6－3
·(－2y )3＝－160x 3y 3
.
答案：－160x 3y 3
4．二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n
的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．
解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x
3n －3r x －2r
＝C r n x
3n －5r
，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3
(r ＝0，1，2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.
答案：5
5．求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8
的展开式中的有理项． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8
的展开式的通项为 T r ＋1＝C r
8(x )8－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－124x r
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12r
C r
8x 16－3r
4(r ＝0，1，2，…，8)，
为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是
T 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－120
C 08
x 4＝x 4， T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124
C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－128
C 8
8x －2＝1256x 2
.
[例3] 已知二项式⎝
⎛⎭⎪⎫3x －23x 10
.
(1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．
[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10
的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r
10()3x 10－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23x r (r ＝0，1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 3
10＝120.
(2)第4项的系数为C 310
37⎝ ⎛⎭
⎪⎫－233
＝－77 760. [一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r
n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．
6．(x －1)－(x －1)2
＋(x －1)3
－(x －1)4
＋(x －1)5
的展开式中，x 2
的系数等于________． 解析：x 2
的系数是四个二项展开式中4个含x 2
的系数和，则有 －C 0
2(－1)0
＋C 1
3(－1)1
－C 2
4(－1)2
＋C 3
5(－1)3
＝－(C 0
2＋C 1
3＋C 2
4＋C 3
5)＝－20. 答案：－20
7．在二项式(1－x 2)20
的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________．
解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －1
20和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋1
20. 由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解． 由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4. 答案：4
8．求⎝
⎛⎭⎪⎫2x 2＋1x 9
的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．
解：通项公式为T r ＋1＝C r
9(2x 2)9－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r
＝29－r ·C r 9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 2
9＝
36，第4项的系数为 26C 3
9＝5 376.
1．求二项展开式特定项的一般步骤
2．求二项展开式的特定项应注意的问题
通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含x r(或x p y q)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．
3．二项式系数与项的系数的区别
二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．
课下能力提升(八)
一、填空题
1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．
解析：第3项的二项式系数为C210＝10！
8！×2！
＝45.
答案：45
2．(四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．
解析：只需求(1＋x )6
的展开式中含x 2
项的系数即可，而含x 2
项的系数为C 2
6＝15. 答案：15
3．二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x 3－1x 25
的展开式中的常数项为________．
解析：∵T r ＋1＝C r
5(－1)r x
15－5r
，令15－5r ＝0，∴r ＝3.
故展开式中的常数项为C 3
5(－1)3
＝－10. 答案：－10
4．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *
)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________． 解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2
n ，又∵a ∶b ＝3∶1，
∴C n －3
n C n －2n ＝C 3
n C 2n ＝31，即n （n －1）（n －2）·2
6n （n －1）＝3，解得n ＝11. 答案：11
5.⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 9
的展开式中有理项共有________项．(用数作答)
解析：由T r ＋1＝C r
9(x 2)9－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r
＝C r 9x 18－3r,
依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，
即r ＝0，1，2，3，4，5，6共7项．
答案：7 二、解答题
6．求()x －2y 3
7
的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？
解：∵T 4＝C 37
(
)
x 7－3
(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9
， ∴第四项的二项式系数为C 3
7＝35，第四项的系数为－280.
7．若⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值．
解：二项式⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是
T r ＋1＝C r 6x 6－r
()－a r x －2r ＝C r 6x 6－3r
()－a r
.
当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 2
6a ， 根据已知C 2
6a ＝60，解得a ＝4.
8．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋12x n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数
及二项式系数．
解：⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋12x n
展开式的通项公式为
T r ＋1＝C r
n
·(
)x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r C r
n x n －2r
2.
由题意知，C 0
n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列，
则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2
－9n ＋8＝0，
解得n ＝8或n ＝1(舍去)．
∴T r ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r
C r 8x 4－r
.令4－r ＝1，得r ＝3.
∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
C 38＝7，二项式系数为C 3
8＝56.
第2课时 二项式系数的性质及应用
(a ＋b )n
的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：
问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ 提示：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n
. 问题3：二项式系数最大值有何规律？
提示：n ＝2，4，6时，中间一项最大，n ＝3，5时中间两项最大．
二项式系数的性质
一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C n
n 有如下性质： (1)C m n ＝C n －m
n ； (2)C m n ＋C m －1n ＝C m
n ＋1； (3)当r ＜n －1
2
时，C r n ＜C r ＋1
n ；
当r ＞
n －1
2
时，C r ＋1
n ＜C r
n ；
(4)C 0
n ＋C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C n n ＝2n
．
1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n
2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以C n －1
2n
和C n ＋1
2
n
(两者相等)最大．
3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．
[例1] 已知(1－2x )7
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 7x 7
，求：
(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.
[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．
[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37
② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，
得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－3
7
2＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋3
72＝1 093.
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37
＝2 187. [一点通]
(1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为1
2[f (1)－f (－
1)]，偶次项系数和为1
2
[f (1)＋f (－1)]．
1．设(2x －1)6
＝a 6x 6
＋a 5x 5
＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________． 解析：∵T r ＋1＝C r
6(2x )6－r
(－1)r ＝(－1)r 2
6－r C r 6x 6－r
，
∴a r ＝(－1)r 2
6－r C r
6.
∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|
＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝[2×(－1)－1]6
＝36
. 答案：36
2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n
的展开式中各项系数的和为________．
解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝
⎛⎭⎪⎫12－11n
＝0.
答案：0
3．已知(2x －1)5
＝a 0x 5
＋a 1x 4
＋a 2x 3
＋a 3x 2
＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.
解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 ＝－(－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5)，
∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝243. (3)a 1＋a 3＋a 5＝①＋②
2
＝－121.
[例2] (1＋2x )n
的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[思路点拨] 求(a ＋bx )n
的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式
中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，
A r ＋1≥A r ＋2，确定
r 的值．
[精解详析] T 6＝C 5
n (2x )5
，T 7＝C 6
n (2x )6
，依题意有 C 5n 25
＝C 6n 26
⇒n ＝8.
∴(1＋2x )8
的展开式中，二项式系数最大的项为
T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4
.
设第r ＋1项系数最大，则有
⎩
⎪⎨⎪⎧C r
8·2r
≥C r －1
8·2r －1
，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.
∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5
，T 7＝1 792x 6
. [一点通]
(1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．
(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．
(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．
4．已知(a ＋b )n
的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________． 解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.
答案：8
5．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n
的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A
＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．
解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n
， 而各项的二项式系数的和等于2n
， 根据已知，得方程4n
＋2n
＝72，解得n ＝3. 所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r
3()
x 3－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x r
＝3r C r 3x 32－3
2r ，
显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 1
3＝9.
答案：9
6．在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 23＋3x 25
的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．
解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25
(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3
＝270x 223.
(2)设展开式中第r ＋1项系数最大，
则T r ＋1＝C r
5⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 235－r
(3x 2)r ＝3r C r
5x 10＋4r 3，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧3r C r
5≥3r －1C r －1
5，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋1
5，∴72≤r ≤92，∴r ＝4. 即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45
(x 23)(3x 2)4
＝405x 26
3.
[例3] 求证：2
n ＋2
·3n ＋5n －4(n ∈N *
)能被25整除．
[思路点拨] 将2n ＋2
·3n ＋5n －4＝4·6n
＋5n －4转化为25的倍数即可证明．
[精解详析] 原式＝4·6n
＋5n －4 ＝4·(5＋1)n
＋5n －4 ＝4·(C 0
n ·5n ＋C 1n ·5
n －1
＋C 2n ·5
n －2
＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5
n －1
＋…＋C n －2n ·5
2
＋C n －1
n ·51
)＋4C n
n ＋5n －4
＝4(C 0
n ·5n ＋C 1n ·5n －1
＋…＋C n －2n ·52
)＋20n ＋4＋5n －4 ＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5
n －1
＋…＋C n －2
n ·52
)＋25n .
以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2
·3n
＋5n －4能被25整除．
[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．
7．求证：5151
－1能被7整除． 证明：5151
－1＝(49＋2)51
－1
＝C 0
51·4951
＋C 1
51·4950
·2＋…＋C 50
51·49·250
＋C 51
51·251
－1. 易知除C 51
51·251
－1以外各项都能被7整除． 又251
－1＝(23)17
－1＝(7＋1)17
－1 ＝C 0
17717
＋C 1
17·716
＋…＋C 16
17·7＋C 17
17－1
＝7·(C 0
17·716
＋C 1
17·715
＋…＋C 16
17)． 显然能被7整除， 所以5151－1能被7整除．
8．求证：对任何非负整数n ，33n
－26n －1可被676整除． 证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除． 当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除． 当n ≥2时，
原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n
－26n －1 ＝(26n ＋C 1n 26n －1
＋…＋C n －2n ·262＋C n －1
n ·26＋1)－26n －1
＝26n
＋C 1
n 26
n －1
＋…＋C n －2
n ·262
.
每一项都含262
这个因数，故可被262
＝676整除．
综上所述，对一切非负整数n ，33n
－26n －1可被676整除．
1．用赋值法求多项式系数和
求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
2．二项式系数的性质
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式
⎩
⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题 (1)求余数问题
求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．
(2)整除问题
整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．
课下能力提升(九)
一、填空题
1．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12n
的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．
解析：由题设，得C 0
n ＋14×C 2n ＝2×12
×C 1n ，
即n 2
－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，
则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋128
的展开式的通项为
T r ＋1＝C r 8x 8－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12r
， 令r ＋1＝4，得r ＝3，
则第四项为T 4＝C 38
x 5⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
＝7x 5
.
答案：7x 5
2．若⎝
⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．
解析：令x ＝1，2n
＝64⇒n ＝6.
由T r ＋1＝C r
6·3
6－r
·x 6－r
2·(－1)r
·x －r 2
＝(－1)r C r 63
6－r x 3－r
，令3－r ＝0⇒r ＝3.
所以常数项为－C 3633
＝－20×27＝－540. 答案：－540
3．若⎝
⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n
展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________.
解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.
答案：10
4．已知(1＋x )10
＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2
＋…＋a 10(1－x )10
，则a 8＝________． 解析：(1＋x )10
＝[2－(1－x )]10
其通项公式为：
T r ＋1＝C r 102
10－r (－1)r (1－x )r
，a 8是r ＝8时，第9项的系数． 所以a 8＝C 81022(－1)8
＝180. 答案：180
5．若C 3n ＋1
23＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n
a n
＝________．
解析：由C 3n ＋1
23＝C n ＋6
23，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，
问题即转化为求(3－x )4
的展开式中各项系数和的问题， 只需在(3－x )4
中令x ＝－1，
即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4
＝256. 答案：256 二、解答题
6．二项式(2x －3y )9
的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．
解：设(2x －3y )9
＝a 0x 9
＋a 1x 8
y ＋a 2x 7y 2
＋…＋a 9y 9
. (1)二项式系数之和为C 0
9＋C 1
9＋C 2
9＋…＋C 9
9＝29
. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，
令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9
＝－1.
(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，
得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59
，②
将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59
－1
2，此即为所有奇数项系数之和．
7．求(1－x )8
的展开式中 (1)二项式系数最大的项； (2)系数最小的项．
解：(1)因为(1－x )8
的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8
的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为
T 5＝C 48(－x )4＝70x 4
.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者． 即第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.
8．求证：32n ＋2
－8n －9能被64整除．
证明：∵32n ＋2
－8n －9＝9n ＋1
－8n －9
＝(1＋8)
n ＋1
－8n －9
＝C 0
n ＋1＋C 1n ＋1·8＋C 2
n ＋1·82
＋C 3
n ＋1·83
＋…＋C n n ＋1·8n ＋C n ＋1n ＋1·8n ＋1
－8n －9
＝1＋(n ＋1)·8＋C 2
n ＋1·82
＋C 3
n ＋1·83
＋…＋C n n ＋1·8n ＋8n ＋1
－8n －9
＝C 2
n ＋1·82
＋C 3
n ＋1·83＋…＋C n n ＋1·8n ＋8n ＋1
＝82
(C 2
n ＋1＋C 3
n ＋1·8＋…＋C n n ＋18n －2
＋8
n －1
)，
又∵C 2
n ＋1＋C 3
n ＋1·8＋…＋C n n ＋18n －2
＋8
n －1
是整数，
∴3
2n ＋2
－8n －9能被64整除.。