2020-2021学年人教B版数学选修2-3课时作业：第二章 概率 单元质量评估1

第二章单元质量评估(一)
时间：120分钟总分：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p1等于(B) ξ－12 4
P 1
5
2
3
p1
A.0
B.2
15
C.1
15D．1
2．已知离散型随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤ξ≤3)＝1
5，则n的值为(D)
A．3 B．5
C．10 D．15
解析：由于ξ等可能取值1,2,3，…，n，
∵P(1≤ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1
n＋
1
n＋
1
n＝
3
n＝
1
5，∴n＝
15.
3．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(D)
A.1
32 B.1
64
C.3
32 D.3
64
解析：P＝3
8×8＝
3 64.
4．两人同时向一敌机射击，甲的命中率为1
5，乙的命中率为
1
4，则两
人中恰有一人击中敌机的概率为(A)
A.720
B.1220
C.121
D.220
解析：所求事件的概率为15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×14＝320＋420＝720. 5．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是( A )
A.29
36 B.551720 C.2972
D.29144
解析：当开关合上时，电路畅通，即A 至B 畅通，且B 至C 畅通，可求得A 至B 畅通的概率为P 1＝1－14×[1－(1－12)×(1－13)]＝5
6，B 至C 畅通的概率为P 2＝1－15×16＝2930，所以电路畅通的概率为P ＝P 1P 2＝56×2930＝2936.
6．若随机变量ξ的分布列为
ξ
1 P m
n
，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是( C )
A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3
B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2
C ．E (ξ)＝1－m ，
D (ξ)＝m －m 2 D ．
E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2
解析：∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m
－m 2.
7．如图所示是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( D )
A ．σ1>1>σ2>σ3>0
B ．0<σ1<σ2<1<σ3
C ．σ1>σ2>1>σ3>0
D ．0<σ1<σ2＝1<σ3 解析：
8．设一随机试验的结果只有A 和A ，P (A )＝p ，令随机变量ξ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
1，A 出现，0，A 不出现，则ξ的方差为( D ) A ．p B ．2p (1－p ) C ．－p (1－p ) D ．p (1－p )
解析：ξ服从二点分布，即特殊的二项分布N (1，p )，由二项分布的方差公式得D (ξ)＝p (1－p )．
9．盒子中有10个大小相同的球，其中只有2个是红球，甲、乙两位同学各取一个不放回，已知甲先取出一个红球，则乙再取到红球的概率为( C )
A.15
B.110
C.19
D ．0
解析：甲、乙两位同学各取一个不放回，甲先取一个是红球，包含的基本事件数为2×9＝18，甲先取出一个红球，乙再取到红球包含的基本事件数为2×1＝2，故所求概率为218＝1
9.
10．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1
5，E (ξ)＝1，则D (ξ)等于( B )
A.34
B.2
5 C.23
D.35
解析：设P (ξ＝1)＝x 1，P (ξ＝2)＝x 2，则
⎩⎨⎧
x 1＋x 2＋15＝1x 1＋2x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝35
x 2＝1
5
.
D (ξ)＝(0－1)2
×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2
×15＝25.
11．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( C )
A ．(90,100]
B ．(95,125]
C ．(100,120]
D ．(105,115]
解析：∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5，
∵57
60＝0.95≈P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (100<X ≤120)，∴选C.
12．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A,3个球标有字母B ，第二个盒子中有红球和白球各5个，第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为( A )
A ．0.59
B ．0.54
C ．0.8
D ．0.15
解析：试验成功包括两类：①从第一个盒子中取标有字母A 的球，从第二个盒子中取一个红球；②从第一个盒子中取标有字母B 的球，从第三个盒子中取一个红球．故试验成功的概率为710×510＋310×8
10＝0.59.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知随机变量ξ～B (5，13)，随机变量η＝2ξ－1，则E (η)＝7
3. 解析：E (ξ)＝53，E (η)＝2E (ξ)－1＝7
3.
14．已知A 、B 、C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝1
8，P (AB C )＝18，则P (A B )＝13.
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
P (A )·P (B )＝1
6，
(1－P (B ))·
P (C )＝1
8，P (A )·P (B )·(1－P (C ))＝1
8，
解得P (A )＝13，P (B )＝1
2. ∴P (A B )＝23×12＝1
3.
15．设离散型随机变量X ～N (0,1)，则P (X ≤0)＝1
2；P (－2<X <2)＝0.954. 解析：正态曲线的对称轴为x ＝0， ∴P (X ≤0)＝P (X >0)＝12；
P (－2<X <2)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954.
16．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝2
3.
解析：ξ所有可能的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝2×23×3＝49，P (ξ＝1)＝
C 12×C 1
2
3×3
＝49，P (ξ＝2)＝13×3
＝19，故E (ξ)＝0×49＋1×49＋2×19＝2
3.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2)设A ＝“男生甲被选中”，B ＝“女生乙被选中”，求P (B )和P (B |A )． 解：(1)设C ＝“甲、乙都不被选中”，则 P (C )＝C 34
C 36
＝420＝15；
所以所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝4
5.
(2)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (A )＝C 25C 36
＝1020＝1
2.
P (A ∩B )＝C 14
C 36＝420＝15.
P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )
＝1
512
＝2
5.
18．(12分)某中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列； (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． 解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，
设“第一次训练时取到i 个新球(即ξ＝i )”为事件A i (i ＝0,1,2)． 因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P (A 0)
＝P (ξ＝0)＝C 23C 26＝15；P (A 1)＝P (ξ＝1)＝C 13C 13C 26＝35；P (A 2)＝P (ξ＝2)＝C 23C 26
＝1
5，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
15 35 15
(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件
A 0B ＋A 1B ＋A 2B ，而事件A 0B 、A 1B 、A 2B 互斥， 所以P (A 0B ＋A 1B ＋A 2B ) ＝P (A 0B )＋P (A 1B )＋P (A 2B )
＝15×C 13C 13
C 26＋35×C 12C 14C 26＋15×C 1
5C 26
＝3875.
即第二次训练时恰好取到一个新球的概率为38
75.
19．(12分)某射手每次射击击中目标的概率是2
3，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次没有击中目标的概率．
解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫5，23，
在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为 P (X ＝2)＝C 2
5×⎝ ⎛⎭
⎪⎫232×⎝
⎛⎭
⎪⎫1－233＝40243.
(2)设A i ＝“第i 次射击击中目标”，i ＝1,2,3,4,5，A ＝“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A
4
A 5)＋(A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A
1
A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
132
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫233＝881. 20．(12分)为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选，假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、
D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，1
2.这三项测试能否通过相互之间没有影响．
(1)求A 能够入选的概率；
(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．
解：(1)设A 通过体能、射击、反应分别记为事件M 、N 、P ，则A 能够入选包含以下几个互斥事件：MN P ，M N P ，M NP ，MNP .
∴P (A )＝P (MN P )＋P (M N P )＋P (M NP )＋P (MNP )
＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝2
3.所以，A 能够入选的概率为2
3.
(2)记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则ξ的所有可能值为0,3 000,6 000,9 000,12 000.
由(1)知，每个人入选的概率都为2
3，则 P (ξ＝0)＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－234＝1
81，
P (ξ＝3 000)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭
⎪⎫133＝8
81，
P (ξ＝6 000)＝C 24⎝
⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827， P (ξ＝9 000)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＝32
81，
P (ξ＝12 000)＝C 44
⎝ ⎛⎭
⎪⎫234＝16
81，
ξ的分布列为
ξ 0 3 000 6 000 9 000 12 000 P
181
881
827
3281
1681
E (ξ)＝3 000×881＋6 000×827＋9 000×3281＋12 000×16
81＝8 000， 所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．
21．(12分)2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量．某游客计划在游园期间种植n 棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率都为p (0<p <1)，用X 表示他所种植的树中成活的棵数，X 的数学期望为E (X )，方差为D (X )．
(1)若n ＝1，求D (X )的最大值；
(2)已知E (X )＝3，标准差D (X )＝3
2，试求n 与p 的值，并写出X 的分布列．
解：(1)当n ＝1时，随机变量满足二点分布， D (X )＝p (1－p )＝－⎝
⎛
⎭
⎪⎫p －122＋14，
即当p ＝12时，D (X )有最大值1
4. (2)∵X ～B (n ，p )，
∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )， 即np ＝3，np (1－p )＝3
2， 解得，n ＝4，p ＝3
4， 所以
P (X ＝k )＝C k 4⎝
⎛⎭⎪⎫34k ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫144－k
，k ＝0,1,2,3,4， 即X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 P
1256
364
27128
2764
81256
22.(12分)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为1
2，且各局胜负相互独立．求：
(1)恰好打满2局比赛就停止的概率；
(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与数学期望E (ξ)．
解：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜，且它们都是相互独立的．
(1)恰好打满2局比赛就停止的概率 P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝1
2. (2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6， 由(1)有P (ξ＝2)＝1
2，
P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝1
4. P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4) ＝124＋124＝18.
P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5) ＝125＋125＝116，
P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5) ＝125＋125＝116， 故有分布列为
ξ 2 3 4 5 6 P
12
14
18
116
116
从而E (ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×1
16 ＝47
16(局)．
知识改变格局 格局决定命运！
11。