推荐下载 数学人教A版选修1-2自我小测：2.2 直接证明与间接证明第2课时 含解析

自我小测
1．用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A ．假设a ，b ，c 都是偶数
B ．假设a ，b ，c 都不是偶数
C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数
D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数
2．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( )
A ．a ＜b
B ．a ≤b
C ．a ＝b
D ．a ≥b
3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
( ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”．若四位歌手的话只有两位是对的，则获奖的歌手是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP .用反证法证明时应分：假设__________和__________两类．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________．
7．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”．用反证法证明时应假设为________．
8．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．
(1)求证：数列{S n }不是等比数列；
(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？
9．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，试求a 的取值范围．
10．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”．
答案：B
2．解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．
答案：B
3．解析：a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a
≤－6，三者不能都大于－2. 答案：C
4．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后知获奖的歌手是丙．
答案：C
5．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面就是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .
答案：∠BAP ＝∠CAP ∠BAP ＞∠CAP
6．解析：对此命题的否定有两部分：一是“任何三角形”，二是“至少有两个”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”
7．解析：a ＝b ＝1是a ＝1且b ＝1.又∵“p 且q ”的否定为“(p )或(q )”，∴a ＝b ＝1的否定为a ≠1或b ≠1.
答案：a ≠1或b ≠1
8．解：(1)反证法：假设{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，
即a 12(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．
∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，
即q ＝0，与q ≠0矛盾，故{S n }不是等比数列．
(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．
当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，{S n }是等差数列，则S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3.
∴2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．
由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，q ＝q 2，
∵q ≠1，∴q ＝0，与q ≠0矛盾．
∴当q ≠1时，{S n }不是等差数列．
9．解：若三个方程均无实根，
则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，Δ2＝(a －1)2－4a 2＜0，
Δ3＝(2a )2－4(－2a )＜0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，
即－32＜a ＜－1. 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪
－32＜a ＜－1， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪
a ≥－1，或a ≤－32. 故所求实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪
a ≥－1，或a ≤－32. 10．解：不存在．理由如下：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2
＝－1，∴(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2， 即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.
由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，
∴x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2
. ∴(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2
＋1＝0， 即a 2＝－2，这是不可能的．
∴假设不成立，故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .
备选习题
1．证明：假设a ＋b 为有理数，则(a ＋b )(a －b )＝a －b .
由a ＞0，b ＞0，得a ＋b ＞0.∴a －b ＝
a －
b a ＋b . ∵a ，b 为有理数，且a ＋b 为有理数， ∴a －b a ＋b 为有理数，即a －b 为有理数， ∴(a ＋b )＋(a －b )为有理数， 即2a 为有理数，从而a 也应为有理数，这与已知a 为无理数矛盾，∴a ＋b 一定为无理数．
2．证明：假设bc ＝0，则有三种情况出现：。